大学电磁场第二讲

y dE x2 y2
Ex
L2


L1 4 o (x2 y2 )
x dx (
x2 y2
4 o
1 L22 y2
Ey
L2


L1 4 o( x2 y2 )
y dx (
x2 y2
4 o
L2

L22 y2
1) L12 y2
面电荷分布
E( r ) 1
4 0
r r' V' r r' 3 dq
1
4 0
( r' )dv'
v'
R2
eR
线电荷分布
dq (r')ds'
E( r ) 1
4 0
s'

(
r' )ds' R2
eR
dq (r')dl'
1 ( r' )dl'
E( r )
4 0 l'
R2
eR
例1.1.1 真空中有长为L的均匀带电直导线 , 电荷线密度为 ,
试求P 点的电场.
解: 采用直角坐标系, 令y轴经过场点p,导线与x轴重合。
dE(
x, y
)

4
dx
o( x2
y2
)
dEx
x dE x2 y2
图1.1.4 带电长直导线的电场
dEy
1.1 电场强度
1.1.1 库仑定律
库仑定律是静电现象的基本实验定律。大量试验表明: 真空中两个静止的
点电荷 q与1 q之2 间的相互作用力:
F21

q1q2
4 0

e12 R2
F12

q1q2
4 0

e21 R2
N( 牛顿) N( 牛顿)
F21 F12
图1.1.1 两点电荷间的作用力
• A= 0 (正源)
• A= 0 (负源)
在矢量场中，若• A= 0，称之为有源 场， 称为(通量)源密度；若矢量场中处处 • A=0，称之为无源场。
矢量场的环量与旋度 环量：矢量A沿空间有向闭合曲线L的线积分
LA dl
例：流速场
水流沿平行于水管轴
线方向流动=0，无涡
很大，总电量不变的带电小球体。
当 a 0 时，电荷密度趋近于无穷大，通常
用冲击函数 表示点电荷的密度分布。
( x, y,z ) ( r ) 0
当r 0
当r 0
图1.1.5 单位点电荷的密度分布
( x, y, z )dV' ( r )dV' 1
V'
a) 点电荷产生的电场强度
Ep(r )
F qt

q
4 0r 2
er
V/m
图1.1.2 点电荷的电场
F
q r r'
Ep( r ) qt 4 0 r r' 2 r r'

q(
4
r
0
r' ) r r'
3

q
4 0 R2
eR
V/m
b) n个点电荷产生的电场强度 (注意:矢量叠加)
L1
)
L12 y2
当L L1 L2 时,
E p ( y ) Eyey Exex 2 0 y e y E( , , z ) E e E e Ezez e
(直角坐标) ( 圆柱坐标)
无限长直均匀带电导线产生的电场为平行平面场。
点电荷：q、单位：C。
电荷体密度：、单位：C/m3。 电荷面密度：、单位：C/m2。 电荷线密度：、单位：C/m。
如果已知上述各种电荷的分布规律，则对应的q、
、 和 都应是已知的空间坐标变量的函数。又
若已知电荷均匀分布，则意味着这些源量都将是 某个已知的常量。
电流：i、单位：A。 电流密度（面积电流）：J、单位：A/m2。 面电流密度：K、单位：A/m。
缩小为点P时,通量与体积之比的极限存在，即
divA

lim
v0
1
v
A dS
S
直角坐标系计算公式
div
A

A

Ax x

Ay y

Az z
散度(divergence)
散度的物理意义 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；
散度代表矢量场的通量源的分布特性
• A= 0 (无源）
rot A A
它与环量密度的关系为
d rot A en
dS
在直角坐标系下
ex ey ez
A
x
y
z
Ax Ay Az
旋度的物理意义 • 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。
• 点P 的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 • 点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。 • 在矢量场中，若A=J0,称之为旋度场
(或涡旋场)，J 称为旋度源(或涡旋源)；
• 若矢量场处处A=0，称之为无旋场。
高斯公式(散度定理)
divA

lim
v0
1
v
A dS
S
由于A是通量源密度，
即穿过包围单位体积的闭
合面的通量，对 A 体 积分后，为穿出闭合面S
的通量


A dS
S

lim
n Vn 0
旋运动
流体做涡旋运动
0，有产生涡旋的源
环量密度
过点P作一微小曲面S,它的边界曲线记 为L,面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则。 当S点P时,存在极限
d
1
lim
Α dl
dS SP S L
定义为环量密度，取不同的路径， 其环量密度不同。
旋度 旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大 值；方向为最大环量密度的方向。
V'
( 积分区域 V' 包含r 0点)
点电荷的密度 ( r ) q( r )
已知
矢量A的通量源密度 矢量A的旋度源密度
场域边界条件
在电磁场中
电荷密度 电流密度J （矢量A唯一地确定）
场域边界条件
例：判断矢量场的性质
F ? =0 F ? 0 F ? =0 F ? =0 F ? =0 F ? 0
3. 电磁场物理模型的构成 源量
D E
HB

J E
4.电磁场的基本规律-麦克斯韦方程组
H J D t
E B t
B 0
D ρ
第一章 静电场
1.1 电场强度 1.2 高斯定律 1.3 静电场基本方程 1.4 静电场边值问题 1.5 分离变量法 1.6 有限差分法 1.7 镜像法和电轴法 1.8 电容和部分电容 1.9 静电能量与力
E( r ) 1
4 0
N k 1
r
qk rk'
2

r r
rk' rk'
1
4 0
N k 1
qk Rk 2
ek
V/m
c) 连续分布电荷产生的电场强度
dE( r ) 1
4 0
r r' r r' 3
dq(
r'
)
体电荷分布 dq ( r' )dV'
图1.1.3 体电荷的电场
电场强度 E( x, y,z )的矢量积分一般先转化为标量积分, 然后再点 (x', y', z') 进行的,计算结果是场点 (x, y, z)的函数。
点电荷的数学模型 点电荷是电荷体分布的极限情况,可以把它看成是一个体积很小,电荷密度
场量 电场强度：E、单位：V/m。 磁感应强度（磁通密度）：B、单位：T。 电磁性能参数
电介质：介电常数、单位：F/m。真空中，
0

1 36
10-9

8.85410-12
磁介质：磁导率、单位：H/m。真空中，
0 4 10 -7
导电媒质：电导率、单位：S/m
媒质的构成方程（本构关系） 电位移矢量：D、单位：C/m2。 磁场强度：H、单位：A/m。 构成方程（本构关系）：

n1
AVn

AdV
V
A dS AdV 高斯公式
S
V
• 矢量函数的面积分与体积分的互换。
• 该公式表明了区域V 中场A与边界 S上的场A之间的关系。
斯托克斯(Stockes)定理
A 是环量密度，即围绕
单位面积环路上的环量。因 此，其面积分后，环量为
liA dli ( A) dSi
A dl ( A ) dS Stocke’s定理
l
S
• 矢量函数的线积分与面积分的互换。
• 该公式表明了区域S中场A与边界L上的
场
A之间的关系
在电磁场理论中，Gauss公式和 Stockes公式是两个非常重要的公式。
亥姆霍兹定理
在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度 及边界条件唯一地确定。
适用条件
两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力;

无限大真空情况
(式中
0

109
36
8.85 1012 F/m)
可推广到无限大各向同性均匀介质中(0 )
当真空中引入第三个点电荷 q3 时，试问 q1 与 q2 相互间的作用力改
变吗? 为什么？
结论：电场力符合矢量叠加原理
矢量场的通量与散度
通量：矢量 E 沿有向曲面S的面积分 E dS S
若S 为闭合曲面，则
sE ds
可以根据净通量的大小
判断闭合面中源的性质:
矢量场的通量
= 0 (无源)
< 0 (有负源)
矢量场的通量
> 0 (有正源)
矢量场散度（通量密度）
如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式
1.1.2 静电场基本物理量——电场强度
定义：
lim F( x, y,z )
E( x, y,z )
qt 0
qt
V/m (N/C)
电场强度（Electric Field Intensity ) E 表示单位正电荷在电场中所受到
的力(F ), 它是空间坐标的矢量函数, 定义式给出了E 的大小、方向与单位。