2019秋高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率练习(含解析)新人教A版必修2

3.1.1 倾斜角与斜率
A 级 基础巩固
一、选择题
1．给出下列说法，正确的个数是( )
①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；
②一条直线的倾斜角为－30°；
③倾斜角为0°的直线只有一条；
④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，①错；直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，②错；所有垂直于y 轴的直线倾斜角均为0°，③错；不同的直线可以有相同的倾斜角，④错．
答案：A
2.如图所示，若直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )
A ．k 3＞k 2＞k 1
B ．k 1＜k 2＜k 3
C ．k 3＜k 1＜k 2
D ．k 2＜k 1＜k 3
解析：直线l 3的倾斜角为钝角，斜率为负，直线l 1，l 2的倾斜角均为锐角，斜率为正，且直线l 2的倾斜角大于直线l 1的倾斜角，所以k 2＞k 1，所以k 3＜k 1＜k 2.
答案：C
3．已知点A (1，2)，在x 轴上存在一点P ，使直线PA 的倾斜角为135°，则点P 的坐标为( )
A ．(0，3)
B ．(0，－1)
C ．(3，0)
D ．(－1，0)
解：由题意可设点P 的坐标为(m ，0)，则0－2m －1
＝tan 135°＝－1，解得m ＝3.故点P 的坐标为(3，0)．
答案：C
4．直线l 过点A (1，2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围是( )
A ．[0，2]
B ．[0，1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，0 解析：如图所示，当直线l 在l 1位置时，k ＝tan 0°＝0；当直线l 在l 2位置时，k ＝2－01－0
＝2.故直线l 的斜率的取值范围是[0，2]．
答案：A
5．斜率为2的直线经过点A (3，5)，B (a ，7)，C (－1，b )三点，则a ，b 的值分别为( )
A ．4，0
B ．－4，－3
C ．4，－3
D ．－4，3 解析： 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k AC ＝2，k AB ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧b －5－1－3＝2，7－5a －3＝2.
解得a ＝4，b ＝－3.
答案：C
二、填空题
6．经过A (m ，3)，B (1，2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________(其中m ≥1)． 解析：当m ＝1时，倾斜角α＝90°；
当m ＞1时，tan α＝3－2m －1
＞0， 所以0°＜α＜90°，故0°＜α≤90°.
答案：0°＜α≤90°
7．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率是________．
解析：设直线PQ 的倾斜角为θ，则0°≤θ＜180°，
因为k PQ ＝－3，所以tan θ＝－3，则θ＝120°.
将直线绕点P 顺时针旋转60°，
所得直线的倾斜角为60°，所以其斜率为tan 60°＝ 3. 答案： 3
8．若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b
＝________． 解析：因为A ，B ，C 三点共线，所以0－2a －2＝b －20－2
. 所以(a －2)(b －2)＝4，即ab ＝2a ＋2b ＝2(a ＋b )．
所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝a ＋b 2（a ＋b ）＝12
. 答案：12
三、解答题
9．已知点A (n ，－n －3)，B (2，n －1)，C (－1，4)，若直线AC 的斜率是直线BC 斜率的3倍，求n 的值．
解：由题意知，直线AC 的斜率为4＋n ＋3－1－n
， 直线BC 的斜率为4－（n －1）－1－2
， 所以4＋n ＋3－1－n ＝3×4－（n －1）－1－2
， 整理得n 2
－3n ＋2＝0，解得n ＝2或n ＝1.
经检验，均符合题意．
10．若经过点A (1－a ，1＋a )和点B (3，2a )的直线的倾斜角为钝角，求实数a 的取值范围．
解：因为直线AB 的倾斜角为钝角，
所以直线AB 的斜率存在，且为负值，
所以2a －（1＋a ）3－（1－a ）＝a －1a ＋2
＜0，所以－2＜a ＜1， 故a 的取值范围是(－2，1)．
B 级 能力提升
1．设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )
A ．α＋45°
B ．α－135°
C ．135°－α
D ．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°，当135°≤α＜180°时，倾斜角为α－135°
解析：由倾斜角的取值范围知只有当45°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，
l 1的倾斜角才是α＋45°；又0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l 1的倾斜角为α－135°(如图所示)．
答案：D
2．若直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是________．
解析：设P (a ，b )为l 上任一点，经过平移后，点P 到达点Q (a －3，b ＋1)，此时直线PQ 与l 重合，
故l 的斜率k ＝k PQ ＝（b ＋1）－b （a －3）－a ＝－13
. 答案：－13
3．已知P (－3，2)，Q (3，4)，直线l 过点A (0，－3)，斜率为－a .若直线l 分别与PQ 的延长线(不含点Q )、QP 的延长线(不含点P )相交，试分别求出a 的取值范围．
解：如图，过A 作PQ 的平行线．
易知PQ 、AQ 、AP 的斜率分别为k PQ ＝13，k AQ ＝73，k AP ＝－53
. 若l 与PQ 的延长线(不含点Q )相交，由图可知k PQ ＜k 1＜k AQ ，
即13＜－a ＜73
， 所以－73＜a ＜－13
； 若l 与QP 的延长线(不含点P )相交，则k PQ ＞k 1＞k AP ，
即13＞－a ＞－53，所以－13＜a ＜53
.。