第一章 常用逻辑用语2

第一章综合素质检测
时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．设原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
[答案] A
[解析]因为原命题“若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a、b都小于1，则a＋b<2”，显然为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a、b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例为a＝1.2，b＝0.3.
2．(2013·重庆理，2)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为()
A．对任意x∈R，都有x2<0
B．不存在x∈R，使得x2<0
C．存在x0∈R，使得x20≥0
D．存在x0∈R，使得x20<0
[答案] D
[解析]根据全称命题的否定是特称命题，应选D.
3．(2013·琼海市模拟)命题“tan x＝0”是命题“cos x＝1”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析]x＝π时，tan x＝0，但cos x＝－1；cos x＝1时，sin x＝0，故tan x＝0.所以“tan x＝0”是“cos x＝1”的必要不充分条件．4．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c3<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
[答案] A
[解析]一个命题的否命题，既否定条件，又否定结论，故选A.
5．设x，y，z∈R，则“lg y为lg x，lg z的等差中项”是“y是x，z的等比中项”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析]由题意得，“lg y为lg x，lg z的等差中项”，则2lg y＝lg x ＋lg z⇒y2＝xz，则“y是x，z的等比中项”；而当y2＝xz时，如x＝z ＝1，y＝－1时，“lg y为lg x，lg z的等差中项”不成立，所以“lg y 为lg x，lg z的等差中项”是“y是x，z的等比中项”的充分不必要条件，故选A.
6．(2013·湖北文，3)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一
次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为() A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q
[答案] A
[解析]∵綈p“甲没降落在指定范围”，綈q“乙没降落在指定范围”，
∴“至少一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)∨(綈q)，故选A.
7．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题．如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有()
A．0个B．1个
C．2个D．3个
[答案] C
[解析]依题意得，命题“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”是真命题(由“若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”可知)；命题“a∥β，且a⊥c⇒β⊥c”是假命题(直线c可能位于平面β内，此时结论不成立)；命题“α∥b，且α⊥c⇒b⊥c”是真命题(因为α∥b，因此在平面α内必存在直线b1∥b；又α⊥c，因此c ⊥b1，∴c⊥b)．综上所述，其中真命题有2个，选C.
8．在△ABC中，设命题p：a
sin B＝b
sin C＝
c
sin A，命题q：△ABC
是等边三角形，那么p是q的() A．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
[答案] C
[解析] 由已知a ＝b sin B sin C ＝b 2c ⇒b 2＝ac .
同理a 2＝bc ，c 2＝ab ，故有(a ＋c )(a －c )＝b (c －a )．
若a ≠c ，则a ＋c ＝b 与a 、b 、c 是△ABC 的三边矛盾，故a ＝c ，同理得到b ＝c ，
于是a ＝b ＝c ，于是充分性得证，必要性显然成立．
9．已知命题p ：“对∀x ∈R ，∃m ∈R ，使4x ＋2x m ＋1＝0”．若命题綈p 是假命题，则实数m 的取值范围是( )
A ．－2≤m ≤2
B ．m ≥2
C ．m ≤－2
D ．m ≤－2或m ≥2
[答案] C
[解析] 由题意可知命题p 为真，即方程4x ＋2x m ＋1＝0有解，
∴m ＝－4x ＋12x ＝－(2x ＋12x )≤－2.
10．(2012·豫东、豫北名校联考)下列命题中，错误的是( )
A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”
B ．已知x ，y ∈R ，则x ＝y 是xy ≥(x ＋y 2)2成立的充要条件
C ．对命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，则x 2＋x ＋1≥0
D ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真
一假
[答案] D
[解析] 由逆否命题的定义知A 正确；当x ＝y 时，xy ≥(x ＋y 2)
2成立；xy ≥(x ＋y 2)2成立时，有xy ≥|x ＋y |2，故x ＝y ，∴B 为真命题；
由特称命题的否定为全称命题知C 为真命题；∵p ∨q 为假，∴p 假且q 假，∴D 为假命题．
11．(2013·天津理，4)已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．
其中真命题的序号是( )
A ．①②③
B ．①②
C ．①③
D ．②③
[答案] C
[解析] 统计知识与直线和圆的位置关系的判断．
对于①，设球半径为R ，则V ＝43πR 3，r ＝12R ，
∴V 1＝43π×(12R )3＝πR 36＝18V ，故①正确；对于②，两组数据的平
均数相等，标准差一般不相等；对于③，圆心(0,0)，半径为22，圆心
(0,0)到直线的距离d ＝22，故直线和圆相切，故①，③正确．
12．设a ，b ∈R ，现给出下列五个条件：①a ＋b ＝2；②a ＋b >2；③a ＋b >－2；④ab >1；⑤log a b <0，其中能推出：“a ，b 中至少有一
个大于1”的条件为( )
A ．②③④
B ．②③④⑤
C ．①②③⑤
D ．②⑤ [答案] D
[解析] ①a ＋b ＝2可能有a ＝b ＝1；②a ＋b >2时，假设a ≤1，b ≤1，则a ＋b ≤2矛盾；③a ＋b >－2可能a <0，b <0；④ab >1，可能a <0，b <0；⑤log a b <0，∴0<a <1，b >1或a >1,0<b <1，故②⑤能推出．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．命题“同位角相等”的否定为________，否命题为________．
[答案] 有的同位角不相等 若两个角不是同位角，则它们不相等
[解析] 全称命题的否定是特称命题；“若p ，则q ”的否命题是“若綈p ，则綈q ”
14．写出命题“若方程ax 2－bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根均大于0，则ac >0”的一个等价命题是____________________________________．
[答案] 若ac ≤0，则方程a 2－bx ＋c ＝0的两根不全大于0.
[解析] 根据原命题与它的逆否命题是等价命题可直接写出．
15．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围是________．
[答案] 3≤m <8
[解析] ∵p (1)是假命题，p (2)是真命题，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
3－m ≤0，8－m >0.解得3≤m <8. 16．下列命题中，________是全称命题，________是特称命题．
①正方形的四条边相等；②有两个内角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数；
⑤一定有偶数x0，y0，使得3x0－2y0＝10成立．
[答案]①②③④⑤
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
[解析]逆命题，已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．
否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.
逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．
18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：∀m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)q：∃x∈R，使得x2＋x＋1≤0.
[解析](1)綈p：∃m∈R，使方程x2＋x－m＝0无实数根．
若方程x2＋x－m＝0无实数根，则
Δ＝1＋4m<0，则m<－1
4，
所以当m＝－1时，綈p为真．
(2)綈q：∀x∈R，使得x2＋x＋1>0.(真)
因为x 2
＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0 所以綈q 为真．
19．(本小题满分12分)已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，且x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，求实数a 的取值范围．
[解析] P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}．
∵x ∈P 是x ∈Q 的必要条件
∴x ∈Q ⇒x ∈P ，即Q ⊆P
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1a ＋4≥3⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤5a ≥－1. ∴－1≤a ≤5.
20．(本小题满分12分)如图所示的电路图，设命题p ：开关K 闭合，命题q ：开关K 1闭合，命题s ：开关K 2闭合，命题t ：开关K 3闭合．
(1)写出灯泡A 亮的充要条件；
(2)写出灯泡B 不亮的充分不必要条件；
(3)写出灯泡C 亮的必要不充分条件．
[解析] (1)灯泡A 亮的充要条件是“p ∧q ”．
(2)灯泡B 不亮的充分不必要条件是“綈p ”或“ 綈s ”；
(3)灯泡C 亮的必要不充分条件是p 或t .
[点拨] 根据串并联电路的特点，K 控制着整个电路，K 1，K 2，K 3分别控制着一个支路．只有K 闭合，灯泡才有可能亮，只有K 1闭合，灯泡A 才有可能亮，只有K 2闭合，灯泡B 才有可能亮，只有K 3闭合，灯泡C 才有可能亮，据此可以写出有关的充分、必要条件．
21．(本小题满分12分)求使函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象全在x 轴上方成立的充要条件．
[解析] 要使函数f (x )的图象全在x 轴上方的充要条件是： ⎩
⎪⎨⎪⎧ a 2＋4a －5>0，Δ＝16(a －1)2－4(a 2＋4a －5)×3<0，或 ⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＋4a －5＝0，a －1＝0. 解得1<a <19或a ＝1，故1≤a <19.
所以使函数f (x )的图象全在x 轴的上方的充要条件是1≤a <19.
22．(本小题满分14分)已知a >0，设命题p ：函数y ＝(1a )x 为增函
数．命题q ：当x ∈[12，2]时函数f (x )＝x ＋1x >1a 恒成立．
如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求a 的取值范围．
[解析] 由y ＝(1a )x 为增函数得，0<a <1.
因为f (x )在[12，1]上为减函数，在[1,2]上为增函数，
∴f (x )在x ∈[12，2]上最小值为f (1)＝2.
当x ∈[12，2]时，由函数f (x )＝x ＋1x >1a 恒成立得，2>1a ，解得a >12.
如果p 真且q 假，则0<a ≤12；
如果p 假且q 真，则a ≥1.
所以a 的取值范围为(0，12]∪[1，＋∞)．。