临潭县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

临潭县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在△ABC 中，a 2=b 2+c 2+bc ，则A 等于（ ） A ．120° B ．60° C ．45° D ．30°
2． 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） A ．0.648 B ．0.432 C ．0.36 D ．0.312 3． 已知向量
，
，其中
．则“
”是“
”成立的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件 4． （文科）要得到()2log 2g x x =的图象，只需将函数()2log f x x =的图象（ ）
A ．向左平移1个单位
B ．向右平移1个单位
C ．向上平移1个单位
D ．向下平移1个单位 5． 在ABC ∆中，2
2
tan sin tan sin A B B A =，那么ABC ∆一定是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
6． 如图
，三行三列的方阵中有9个数a ij （i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至
少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 7． 函数f （x ）=x 3﹣3x 2+5的单调减区间是（ ）
A ．（0，2）
B ．（0，3）
C ．（0，1）
D ．（0，5）
8． 圆2
2
2
(2)x y r -+=（0r >）与双曲线2
2
13
y x -=的渐近线相切，则r 的值为（ ）
A B ．2 C D ．【命题意图】本题考查圆的一般方程、直线和圆的位置关系、双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查基本运算能力．
9． 已知集合A={0，m ，m 2﹣3m+2}，且2∈A ，则实数m 为（ ）
A ．2
B ．3
C ．0或3
D ．0，2，3均可
10．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在体积为
24316
π
同一球面上，则PA =（ ）
A ．3
B ．
72 C
． D ．92
【命题意图】本题考查空间直线与平面间的垂直和平行关系、球的体积，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．
11．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=
，且f （x ）=f （x+2），g （x ）=
，
则方程g （x ）=f （x ）﹣g （x ）在区间[﹣3，7]上的所有零点之和为（ ）
A ．12
B ．11
C ．10
D ．9
12．已知函数22()32f x x ax a =+-，其中(0,3]a ∈，()0f x ≤对任意的[]1,1x ∈-都成立，在1 和两数间插入2015个数，使之与1，构成等比数列，设插入的这2015个数的成绩为T ，则T =（ ） A ．2015
2
B ．2015
3
C ．20152
3
D ．20152
2
二、填空题
13
．当
时，4x
＜log a x ，则a 的取值范围 ．
14．一个总体分为A ，B ，C 三层，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为15的样本，若B 层中每个个体被
抽到的概率都为，则总体的个数为 ．
15．如图，在矩形ABCD
中，AB = 3BC =， E 在AC 上，若BE AC ⊥， 则ED 的长=____________
16．函数()x f x xe =在点()()
1,1f 处的切线的斜率是 . 17
．已知双曲线
的一条渐近线方程为y=x ，则实数m 等于 ．
18．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数()()ln R x
f x x a a x =+-∈，若曲线122e e 1
x x y +=+（e 为自然对数的底数）上存在点()00,x y 使得()()00f f y y =，则实数a 的取值范围为__________.
三、解答题
19．（本小题满分13分）
设1
()1f x x
=
+，数列{}n a 满足：112a =，1(),n n a f a n N *+=∈．
（Ⅰ）若12,λλ为方程()f x x =的两个不相等的实根，证明：数列12n n a a λλ⎧⎫
-⎨⎬-⎩⎭
为等比数列；
（Ⅱ）证明：存在实数m ，使得对n N *
∀∈，2121222n n n n a a m a a -++<<<<．
）
20．已知函数f （x ）=|x ﹣m|，关于x 的不等式f （x ）≤3的解集为[﹣1，5]． （1）求实数m 的值；
（2）已知a ，b ，c ∈R ，且a ﹣2b+2c=m ，求a 2+b 2+c 2
的最小值．
21．如图，在四棱柱中，
底面
，
，
，
．
（Ⅰ）求证：平面
；
（Ⅱ）求证：； （Ⅲ）若
，判断直线
与平面
是否垂直？并说明理由．
22．已知抛物线C：x2=2y的焦点为F．
（Ⅰ）设抛物线上任一点P（m，n）．求证：以P为切点与抛物线相切的方程是mx=y+n；
（Ⅱ）若过动点M（x0，0）（x0≠0）的直线l与抛物线C相切，试判断直线MF与直线l的位置关系，并予以证明．
23．已知函数，．
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）若，求函数的单调递增区间．
24．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）
的数据资料，计算得x i=80，y i=20，x i y i=184，x i2=720．
（1）求家庭的月储蓄对月收入的回归方程；
（2）判断月收入与月储蓄之间是正相关还是负相关；
（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
临潭县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：根据余弦定理可知cosA=
∵a 2=b 2+bc+c 2， ∴bc=﹣（b 2+c 2﹣a 2
）
∴cosA=﹣
∴A=120° 故选A
2． 【答案】A
【解析】解：由题意可知：同学3次测试满足X ∽B （3，0.6），
该同学通过测试的概率为=0.648．
故选：A ．
3． 【答案】A
【解析】【知识点】平面向量坐标运算
【试题解析】若，则成立；
反过来，若
，则
或
所以“”是“”成立的充分而不必要条件。

故答案为：A 4． 【答案】C 【解析】
试题分析：()2222log 2log 2log 1log g x x x x ==+=+，故向上平移个单位. 考点：图象平移．
5． 【答案】D 【解析】
试题分析：在ABC ∆中，2
2
tan sin tan sin A B B A =，化简得
22sin sin sin sin cos cos A B
B A A B
=，解得 sin sin sin cos sin cos cos cos B A
A A
B B A B
=⇒=，即s
i n 2s i n 2A B =，所以22A B =或22A B π=-，即A B =或
2
A B π
+=
，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故选D ．
考点：三角形形状的判定．
【方法点晴】本题主要考查了三角形形状的判定，其中解答中涉及到二倍角的正弦、余弦函数公式、以及同角三角函数基本关系的运用，其中熟练掌握三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中得出sin 2sin 2A B =，从而得到A B =或2
A B π
+=是试
题的一个难点，属于中档试题． 6． 【答案】
D
【解析】
古典概型及其概率计算公式． 【专题】计算题；概率与统计．
【分析】利用间接法，先求从9个数中任取3个数的取法，再求三个数分别位于三行或三列的情况，即可求得
结论．
【解答】解：从9个数中任取3个数共有C 93
=84种取法，三个数分别位于三行或三列的情况有6种；
∴所求的概率为=
故选D ．
【点评】本题考查计数原理和组合数公式的应用，考查概率的计算公式，直接解法较复杂，采用间接解法比较简单．
7． 【答案】A
【解析】解：∵f （x ）=x 3﹣3x 2
+5，
∴f ′（x ）=3x 2
﹣6x ，
令f ′（x ）＜0，解得：0＜x ＜2， 故选：A ．
【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．
8． 【答案】C
9． 【答案】B
【解析】解：∵A={0，m ，m 2
﹣3m+2}，且2∈A ，
∴m=2或m 2
﹣3m+2=2，
解得m=2或m=0或m=3．
当m=0时，集合A={0，0，2}不成立． 当m=2时，集合A={0，0，2}不成立． 当m=3时，集合A={0，3，2}成立．
故m=3． 故选：B ．
【点评】本题主要考查集合元素和集合之间的关系的应用，注意求解之后要进行验证．
10．【答案】B
【解析】连结,AC BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连结OE ，则O E
P A ，所以OE ⊥底面ABCD ，则O
到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O 球心，均为12PC =
=
可得34243316ππ=，解得7
2
PA =，故选B ．
11．【答案】B
【解析】解：∵f （x ）=f （x+2），∴函数f （x ）为周期为2的周期函数， 函数g （x ）=，其图象关于点（2，3）对称，如图，函数f （x ）的图象也关于点（2，3）
对称，
函数f （x ）与g （x ）在[﹣3，7]上的交点也关于（2，3）对称， 设A ，B ，C ，D 的横坐标分别为a ，b ，c ，d ， 则a+d=4，b+c=4，由图象知另一交点横坐标为3， 故两图象在[﹣3，7]上的交点的横坐标之和为4+4+3=11， 即函数y=f （x ）﹣g （x ）在[﹣3，7]上的所有零点之和为11．
故选：B ．
【点评】本题考查函数的周期性，函数的零点的概念，以及数形结合的思想方法．属于中档题．
12．【答案】C 【解析】
试题分析：因为函数2
2
()32f x x ax a =+-，()0f x ≤对任意的[]1,1x ∈-都成立，所以()()
10
10f f -≤⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得
3a ≥或1a ≤-，又因为(0,3]a ∈，所以3a =，在和两数间插入122015,...a a a 共2015个数，使之与，构成等
比数列，T 122015...a a a =，201521...T a a a =，
两式相乘，根据等比数列的性质得()()
2015
2015
2
1201513T a a ==⨯，
T =20152
3
，故选C.
考点：1、不等式恒成立问题；2、等比数列的性质及倒序相乘的应用.
二、填空题
13．【答案】
．
【解析】
解：当
时，函数y=4x
的图象如下图所示
若不等式4x ＜log a x 恒成立，则y=log a x 的图象恒在y=4x
的图象的上方（如图中虚线所示）
∵y=log a x 的图象与y=4x
的图象交于（，2）点时，
a=
故虚线所示的y=log a x 的图象对应的底数a
应满足
＜a ＜1
故答案为：（，1）
14．【答案】 300 ．
【解析】解：根据分层抽样的特征，每个个体被抽到的概率都相等，
所以总体中的个体的个数为15÷=300．
故答案为：300．
【点评】本题考查了样本容量与总体的关系以及抽样方法的应用问题，是基础题目．
15．【答案】21
2
【解析】在Rt △ABC 中，BC ＝3，AB ＝3，所以∠BAC ＝60°.
因为BE ⊥AC ，AB ＝3，所以AE ＝3
2
，在△EAD 中，∠EAD ＝30°，AD ＝3，由余弦定理知，ED 2＝AE 2＋AD 2－2AE ·AD ·cos ∠EAD ＝34＋9－2×32×3×32＝214，故ED ＝21
2.
16．【答案】2e 【解析】 试题分析：
()(),'x x x f x xe f x e xe =∴=+，则()'12f e =，故答案为2e .
考点：利用导数求曲线上某点切线斜率. 17．【答案】 4 ．
【解析】解：∵双曲线
的渐近线方程为 y=x ， 又已知一条渐近线方程为y=x ，∴
=2，m=4，
故答案为4．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得渐近线方程为
y=x ，是解题
的关键．
18．【答案】1,e
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
【解析】结合函数的解析式：1
22e e 1x x y +=+可得：()
()
122
221'1
x x x e e y e +-=+， 令y ′=0，解得：x =0，
当x >0时，y ′>0，当x <0，y ′<0，
则x ∈（-∞，0），函数单调递增，x ∈（0，+∞）时，函数y 单调递减， 则当x =0时，取最大值，最大值为e ， ∴y 0的取值范围（0，e ]，
结合函数的解析式：()()R lnx
f x x a a x =+-∈可得：()22ln 1'x x f x x
-+=， x ∈（0，e ），()'0f x >， 则f （x ）在（0，e ）单调递增， 下面证明f （y 0）=y 0．
假设f （y 0）=c >y 0，则f （f （y 0））=f （c ）>f （y 0）=c >y 0，不满足f （f （y 0））=y 0． 同理假设f （y 0）=c <y 0，则不满足f （f （y 0））=y 0． 综上可得：f （y 0）=y 0．
令函数()ln x
f x x a x x =
+-=． 设()ln x g x x =，求导()2
1ln 'x
g x x -=，
当x ∈（0，e ），g ′（x ）>0， g （x ）在（0，e ）单调递增， 当x =e 时取最大值，最大值为()1g e e
=， 当x →0时，a →-∞， ∴a 的取值范围1,e
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
.
点睛：（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题（2）问时，关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．
（2）若可导函数f （x ）在指定的区间D 上单调递增（减），求参数范围问题，可转化为f ′（x ）≥0（或f ′（x ）≤0）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：证明：2
()10f x x x x =⇔+-=，∴2112221010λλλλ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，∴211
2
22
11λλλλ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩． ∵1
21111111
121222222221
11111n n n n n n n n n n
a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ++--+----====⋅------+， （3分）
11120a a λλ-≠-，12
0λ
λ≠，
∴数列12n n a a λλ⎧⎫
-⎨
⎬-⎩⎭
为等比数列． （4分）
（Ⅱ）证明：设m =
()f m m =． 由112a =及111n n
a a +=+得223a =，335a =，∴130a a m <<<．
∵()f x 在(0,)+∞上递减，∴13()()()f a f a f m >>，∴24a a m >>．∴1342a a m a a <<<<，（8分） 下面用数学归纳法证明：当n N *
∈时，2121222n n n n a a m a a -++<<<<．
①当1n =时，命题成立． （9分）
②假设当n k =时命题成立，即2121222k k k k a a m a a -++<<<<，那么 由()f x 在(0,)+∞上递减得2121222()()()()()k k k k f a f a f m f a f a -++>>>> ∴2222321k k k k a a m a a +++>>>>
由2321k k m a a ++>>得2321()()()k k f m f a f a ++<<，∴2422k k m a a ++<<， ∴当1n k =+时命题也成立， （12分）
由①②知，对一切n N *
∈命题成立，即存在实数m ，使得对n N *
∀∈，2121222n n n n a a m a a -++<<<<.
20．【答案】
【解析】解：（1）|x ﹣m|≤3⇔﹣3≤x ﹣m ≤3⇔m ﹣3≤x ≤m+3
，由题意得，解得m=2；
（2）由（1）可得a ﹣2b+2c=2，
由柯西不等式可得（a 2+b 2+c 2）[12+（﹣2）2+22]≥（a ﹣2b+2c ）2
=4，
∴a2+b2+c2≥
当且仅当，即a=，b=﹣，c=时等号成立，
∴a2+b2+c2的最小值为．
【点评】本题主要考查绝对值三角不等式、柯西不等式的应用，属于基础题．
21．【答案】
【解析】【知识点】垂直平行
【试题解析】（Ⅰ）证明：因为，平面，平面，所以平面．
因为，平面，平面，
所以平面．
又因为，
所以平面平面．
又因为平面，
所以平面．
（Ⅱ）证明：因为底面，底面，
所以．
又因为，，
所以平面．
又因为底面，
所以．
（Ⅲ）结论：直线与平面不垂直．
证明：假设平面，
由平面，得．
由棱柱中，底面，
可得，，
又因为，
所以平面，
所以．
又因为，
所以平面，
所以．
这与四边形为矩形，且矛盾，
故直线与平面不垂直．
22．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）由抛物线C：x2=2y得，y=x2，则y′=x，
∴在点P（m，n）切线的斜率k=m，
∴切线方程是y﹣n=m（x﹣m），即y﹣n=mx﹣m2，
又点P（m，n）是抛物线上一点，
∴m2=2n，
∴切线方程是mx﹣2n=y﹣n，即mx=y+n …
（Ⅱ）直线MF与直线l位置关系是垂直．
由（Ⅰ）得，设切点为P（m，n），则切线l方程为mx=y+n，
∴切线l的斜率k=m，点M（，0），
又点F（0，），
此时，k MF====…
∴k•k MF=m×（）=﹣1，
∴直线MF⊥直线l …
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，导数的几何意义，直线垂直的条件等，属于中档题．
23．【答案】
【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合
【试题解析】（Ⅰ）由已知
当，即，时，
（Ⅱ)当时，递增
即，令，且注意到
函数的递增区间为
24．【答案】
【解析】解：（1）由题意，n=10，=x
=8，=y i=2，
i
∴b==0.3，a=2﹣0.3×8=﹣0.4，
∴y=0.3x﹣0.4；
（2）∵b=0.3＞0，
∴y与x之间是正相关；
（3）x=7时，y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．。