四川中考冲刺模拟检测《数学卷》含答案解析

四川数学中考综合模拟检测试题
学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________
A卷(共100分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.在实数-3，3，0，-1中，最小的数是( )
A. -3
B. 0
C. -1
D. 3
2.函数y=1
1
x
的自变量x的取值范围在数轴上可表示为( )
A. B.
C D.
3.电影《流浪地球》中，人类计划带着地球一起逃到距地球4光年的半人马星座比邻星．已知光年是天文学中的距离单位，1光年大约是95000亿千米，则4光年约为( )
A. 9.5×104亿千米
B. 95×104亿千米
C. 3.8×105亿千米
D. 3.8×104亿千米
4.在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()
A. B. C. . D.
5.某市2018年平均房价为每平方米5000元．连续两年增长后，2020年平均房价达到每平方米6500元，设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A. 6500(1+x)2=5000
B. 6500(1﹣x)2=5000
C. 5000(1﹣x)2=6500
D. 5000(1+x)2=6500
6.如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为()
A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 55°
7.如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图．搭成这个几何体所用的小立方块的个数是( )
A 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个
8.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示：
成绩/米 1.50 1.60 1.65 1.70 175 1.80
人数 2 3 2 3 4 1
则这15运动员的成绩的众数和中位数分别为( )
A. 1.75，1.70
B. 1.75，1.65
C. 1.80，1.70
D. 1.80，1.65
9.已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝2
3
，BC＝4，则AB长为( )
A. 25
B. 6
C. 45
5
D. 213
10.已知a、b满足a2﹣6a+2＝0，b2﹣6b+2＝0，则b a
a b
＝( )
A. ﹣6
B. 2
C. 16
D. 16或2
11.如图，在△ABC中，BC＝5，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP
的平分线交CE于点Q，当CQ＝1
3
CE时，EP+BP的值为( )
A. 10
B. 8
C. 6
D. 5
12.如图，已知直线l 的表达式为y=x ，点A 1的坐标为(1，0)，以O 为圆心，OA 1为半径画弧，与直线l 交于点C 1，记11AC 长为m 1;过点A 1作A 1B 1垂直x 轴，交直线l 于点B 1，以O 为圆心，OB 1为半径画弧，交x 轴于C 2，记12B C 的长为m 2;过点B 1作A 2B 1垂直l ，交x 轴于点A 2，以O 为圆心，OA 2为半径画弧，交直线l 于C 3，记23A C 的长为m 3…按照这样规律进行下去，m n 的长为( )
A.
()1
24
n π
- B.
()24
n
π
C. D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填在题中横线上)
13.分解因式：244xy xy x -+=_________． 14.若3a b +=，则226a b b -+的值为__________.
15.如图，点A 的坐标是(﹣1，0)，点B 的坐标是(0，4)，C 为OB 上任意一点，将△ABC 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A′B′C′．若反比例函数y ＝
k
x
的图象恰好经过A′B 的中点D ，则k ＝____．
16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 过点A (5-0)，B (0，5，⊙O 的半径为1(O 为坐标原点)，点P 在直线AB 上，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为______．
三、解答题(本大题共5小题，共44分)
17.计算：()1
0133cos3012122π-︒
⎛⎫-+-++
- ⎪⎝⎭
． 18.如图，已知∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，CE 与AB 相交于F ． (1)求证：△CEB ≌△ADC ;
(2)若AD ＝9cm ，DE ＝6cm ，求BE 及EF 的长．
19.为响应市政府关于”垃圾不落地•市区更美丽”主题宣传活动，某校随机调查了部分学生对垃圾分类知识的掌握情况．调查选项分为”A ：非常了解，B ：比较了解，C ：了解较少，D ：不了解”四种，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)把两幅统计图补充完整;
(2)若该校学生有2000名，根据调查结果，估计该校”非常了解”与”比较了解”的学生共有 名; (3)已知”非常了解”的同学有3名男生和1名女生，从中随机抽取2名进行垃圾分类的知识交流，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
20.某校王老师组织九(1)班同学开展数学活动，某天带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4m，请你根据这些数据求电线杆的高AB．(结果用根号表示)
21.如图，反比例函数y＝k
x
(x＞0)的图象与直线y＝mx交于点C，直线l：y＝4分别交两函数图象于点A(1，
4)和点B，过点B作BD⊥l交反比例函数图象于点D．
(1)求反比例函数的解析式;
(2)当BD＝2AB时，求点B的坐标;
(3)在(2)的条件下，直接写出不等式k
x
＞mx的解集．
加试卷(共60分)
一、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．请把正确答案填在题中横线上)
22.若442222
220
a b a b a b
++=++，则22
a b
+=______．
23.如果α、β是方程x2+2(k+3)x+k2-3＝0的两实根，则(α﹣1)2+(β﹣1)2的最小值是____．
24.如图，矩形OABC边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点D在边BC上，且∠AOD＝30°，四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称(点A′和A，B′和B分别对应)．若AB＝1，反比例函数
y＝k
x
(k≠0)的图象恰好经过点A′，B，则k的值为______．
25.如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．点D是线段
AC上任意一点(不含端点)，连接OD，当AB＝4时，则1
2
CD+OD的最小值是______．
二、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)
26.阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与A、B重合)，分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的”相似点”：如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的”强相似点”．解决问题：
(1)如图1，∠A=∠B=∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由;
(2)如图2，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点;
(3)如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．
27.如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，连结OA、OB、OC，延长BO与AC交于点D，与⊙O交于点F，延长BA到点G，使得∠BGF＝∠GBC，连接FG．
(1)求证：FG是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为6．
①当OD＝4，求AD的长度;
②当△OCD是直角三角形时，求△ABC的面积．
28.如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过O、A(4，0)、B(5，5)三点，直线l交抛物线于点B，交y轴于点C(0，﹣4)．点P是抛物线上一个动点．
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P关于直线OB的对称点恰好落在直线l上，求点P的坐标;
(3)M是线段OB上的一个动点，过点M作直线MN⊥x轴，交抛物线于点N．当以M、N、B为顶点的三角形与△OBC相似时，直接写出点N的坐标．
答案与解析
A 卷(共100分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.在实数-3，3，0，-1中，最小的数是( ) A. -3 B. 0
C. -1
D.
3
【答案】A 【解析】 【分析】
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵-3＜-1＜0＜3，
∴在实数3-，3，0，中，最小的数是3-． 故选：A ．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 2.函数y=
1
1
x -的自变量x 的取值范围在数轴上可表示为( ) A.
B.
C. D.
【答案】B 【解析】
试题解析：∵函数1
x -有意义， ∴分母必须满足10
10x x -≠-≥⎪⎩
， 解得：11
x x ≠⎧⎨
≥⎩，
∴x＞1;
故选B．
点睛：在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(＞，≥向右画;＜，≤向左画)．在表示解集时”≥”，”≤”要用实心圆点表示;”＜”，”＞”要用空心圆点表示．
3.电影《流浪地球》中，人类计划带着地球一起逃到距地球4光年的半人马星座比邻星．已知光年是天文学中的距离单位，1光年大约是95000亿千米，则4光年约为( )
A. 9.5×104亿千米
B. 95×104亿千米
C. 3.8×105亿千米
D. 3.8×104亿千米
【答案】C
【解析】
【分析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【详解】解：95000×4＝380000
380000亿千米＝3.8×105亿千米．
故选C．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n 的值是解题的关键．
4.在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()
A. B. C. . D.
【答案】B
【解析】
试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形;中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，因此：
A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意;
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意;
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意;
D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选B ．
考点：轴对称图形和中心对称图形
5.某市2018年平均房价为每平方米5000元．连续两年增长后，2020年平均房价达到每平方米6500元，设这两年平均房价年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A. 6500(1+x )2=5000
B. 6500(1﹣x )2=5000
C. 5000(1﹣x )2=6500
D. 5000(1+x )2=6500
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据题意可得2019年的房价=2018年的房价×(1+增长率)，2020年的房价=2019年的房价×(1+增长率)，由此可得方程5000(1+x )2=6500．
【详解】解：设这两年平均房价年平均增长率为x ，
根据题意得：5000(1+x )2=6500．
故选：D ．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：若变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为2(1).a x b ±=
6.如图，直线a ∥b ，Rt △ABC 的直角顶点A 落在直线a 上，点B 落在直线b 上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC 的大小为( )
A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 55°
【答案】C
【解析】
【分析】 作CK ∥a ．证明∠ACB ＝∠1+∠2，又因为∠CAB ＝90°即可求出∠ABC 度数．
【详解】如图，作CK ∥a ．
∵a∥b，CK∥a，
∴CK∥b，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠2，
∴∠ACB＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，两条直线平行内错角相等．
7.如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图．搭成这个几何体所用的小立方块的个数是( )
A. 5个
B. 6个
C. 7个
D. 8个
【答案】D
【解析】
【分析】
结合三视图的知识，主视图以及左视图底面有6个小正方体，共有两层三行，第二层有2个小正方体．【详解】综合主视图，俯视图，左视图底面有6个正方体，第二层有2个正方体，所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数是8．
故选D．
【点睛】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出小立方块的个数．
8.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示：
成绩/米 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80
人数 2 3 2 3 4 1
则这15运动员的成绩的众数和中位数分别为( )
A. 1.75，1.70
B. 1.75，1.65
C. 1.80，1.70
D. 1.80，1.65
【答案】A
【解析】
【分析】
1、回忆位中数和众数的概念;
2、分析题中数据，将15名运动员的成绩按从小到大的顺序依次排列，处在中间位置的一个数即为运动员跳高成绩的中位数;
3、根据众数的概念找出跳高成绩中人数最多的数据即可.
【详解】解：15名运动员，按照成绩从低到高排列，第8名运动员的成绩是1.70，
所以中位数是1.70，
同一成绩运动员最多的是1.75，共有4人，
所以，众数是1.75．
因此，众数与中位数分别是1.75,1.70．
故选A．
【点睛】本题考查了中位数和众数的计算，解题的关键是理解中位数和众数的概念，直接根据概念进行解答.此外，也考查了学生从图表中获取信息的能力.
9.已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝2
3
，BC＝4，则AB长为( )
A. 25
B. 6
C. 45
5
D. 213
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案．【详解】如图所示：
∵sinA＝2
3
，BC=4，
∴
24
3
BC
sinA
AB AB
===，
解得：AB=6．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，解题的关键是正确画出直角三角形.
10.已知a、b满足a2﹣6a+2＝0，b2﹣6b+2＝0，则b a
a b
+＝( )
A. ﹣6
B. 2
C. 16
D. 16或2 【答案】D
【解析】
【分析】
当a=b时，可得出b a
a b
+=2;当a≠b时，a、b为一元二次方程x2-6x+2=0的两根，利用根与系数的关系可得
出a+b=6，ab=2，再将其代入b a
a b
+=
2
()2
a b ab
ab
+-
中即可求出结论．
【详解】当a=b时，b a
a b
+=1+1=2;
当a≠b时，∵a、b满足a2-6a+2=0，b2-6b+2=0，∴a、b为一元二次方程x2-6x+2=0的两根，
∴a+b=6，ab=2，
∴b a
a b
+=2222
2622
2
()
b a a b ab
ab ab
++--⨯
===16．
故选D．
【点睛】此题考查根与系数的关系，分a=b及a≠b两种情况，求出b a
a b
+的值是解题的关键．
11.如图，在△ABC中，BC＝5，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP
的平分线交CE于点Q，当CQ＝1
3
CE时，EP+BP的值为( )
A. 10
B. 8
C. 6
D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】
延长BQ 交射线EF 于M ，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF ∥BC ，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM ，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM ，从而得到∠M=∠PBM ，根据等角对等边可得BP=PM ，求出EP+BP=EM ，再根据CQ=13
CE 求出EQ=2CQ ，然后根据△MEQ 和△BCQ 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【详解】解：如图，延长BQ 交射线EF 于M ，
∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点，
∴EF ∥BC ，
∴∠M=∠CBM ，
∵BQ 是∠CBP 的平分线，
∴∠PBM=∠CBM ，
∴∠M=∠PBM ，
∴BP=PM ，
∴EP+BP=EP+PM=EM ，
∵CQ=13
CE ， ∴EQ=2CQ ，
由EF ∥BC 得，△MEQ ∽△BCQ ，
2EM EQ BC CQ
∴==， ∴EM=2BC=2×5=10，
即EP+BP=10．
故选：A ．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，
平行线的性质等知识，延长BQ 构造出相似三角形，求出EP+BP=EM 并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．
12.如图，已知直线l 的表达式为y=x ，点A 1的坐标为(1，0)，以O 为圆心，OA 1为半径画弧，与直线l 交于点C 1，记11
AC 长为m 1;过点A 1作A 1B 1垂直x 轴，交直线l 于点B 1，以O 为圆心，OB 1为半径画弧，交x 轴于C 2，记12B C 的长为m 2;过点B 1作A 2B 1垂直l ，交x 轴于点A 2，以O 为圆心，OA 2为半径画弧，交直线l 于C 3，记23A C 的长为m 3…按照这样规律进行下去，m n 的长为( )
A. ()124n π
- B. ()24n π
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先找出弧的半径的变化规律，再求出圆心角的度数，最后根据弧长的计算公式代入计算即可．
【详解】∵点A 1坐标为(1，0)，
∴OC 1=1，
∴OC 2=OB 12，
∴OA 2=OC 3=2，
∴OC 4=OB 2=2
∴OC 5=OA 3=4，
∴弧长为m n 的弧的半径=12)n -， ∵直线l 的表达式为y=x ，
∴弧长为m n 的弧的圆心角=45°，
∴m n 的长145(2)n π-⨯(124n π-．
故选C ．
考点：1．弧长的计算;2．一次函数图象上点的坐标特征;3．规律型．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填在题中横线上) 13.分解因式：244xy xy x -+=_________．
【答案】2(2)x y -
【解析】
【分析】
首先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解．
【详解】244xy xy x -+2(44)x y y =-+=2(2)x y -
故答案为：2
(2)x y -
考点：因式分解．
14.若3a b +=，则226a b b -+的值为__________.
【答案】9
【解析】
分析：
先将226a b b -+化为()()6a b a b b +-+，再将3a b +=代入所化式子计算即可.
详解：
∵3a b +=，
∴226a b b -+
=()()6a b a b b +-+
=3()6a b b -+
=336a b b -+
=3()a b +
=9
故答案为：9.
点睛：”能够把226a b b -+化为()()6a b a b b +-+“是解答本题的关键.
15.如图，点A 的坐标是(﹣1，0)，点B 的坐标是(0，4)，C 为OB 上任意一点，将△ABC 绕点B 逆时针旋
转90°后得到△A′B′C′．若反比例函数y＝k
x
的图象恰好经过A′B的中点D，则k＝____．
【答案】7
【解析】
【分析】
作A′H⊥y轴于H．证明△AOB≌△BHA′(AAS)，推出OA=BH，OB=A′H，求出点A′的坐标，再利用中点坐标公式求出点D的坐标即可解决问题．
【详解】解：作A′H⊥y轴于H．
∵∠AOB=∠A′HB=∠ABA′=90°，
∴∠ABO+∠A′BH=90°，∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠A′BH，
∵BA=BA′，
∴△AOB≌△BHA′(AAS)，
∴OA=BH，OB=A′H，
∵点A的坐标是(-1，0)，点B的坐标是(0，4)，
∴OA=1，OB=4，
∴BH=OA=1，A′H=OB=4，
∴OH=3，
∴A′(4，3)，
∵D为A′B的中点，
∴D(2，7
2 )，
∵反比例函数y=k
x
的图象经过点D，
∴k=7．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
16.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A(5
-，0)，B(0，25)，⊙O的半径为1(O为坐标原点)，点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】
连接OP，OQ．根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短，结合面积法先求出OP，再利用勾股定理可得出PQ的长．
【详解】解：连接OP，OQ．
∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ，
根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，
∵当PO⊥AB时，线段PO最短，∴此时线段PQ最短．
∵A(50)，B(0，25，
∴5OB=5
∴5AB =，
当OP ⊥AB 时，1122
OA OB AB OP ⨯⨯=⨯⨯，∴OP=OA OB AB ⨯=2，
∴=
，
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，垂线段最短，坐标与图形性质等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，构造直角三角形来解决有关问题．
三、解答题(本大题共5小题，共44分)
17.计算：()1013cos3012π-︒⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭
．
【答案】【解析】
【分析】
先计算零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数、绝对值，再进行二次根式化简，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】解：原式=2﹣1+1
【点睛】考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算.
18.如图，已知∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，CE 与AB 相交于F ．
(1)求证：△CEB ≌△ADC ;
(2)若AD ＝9cm ，DE ＝6cm ，求BE 及EF 的长．
【答案】(1)见解析;(2)BE＝3 cm,EF＝3
2 cm.
【解析】
【分析】
(1)由同角的余角相等可得∠BCE=∠CAD，而BC=AC，∠E=∠CDA=90°，故有△CEB≌△ADC;(2)由(1)
知BE=DC，CE=AD，有CE=AD=9，DC=CE-DE=3，BE=DC=3，可证得△BFE∽△AFD，有EF BE FD AD
=故
可求得EF的值．
【详解】(1)证明：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，∠ACB=90°，∴∠E=∠ADC=90°，∠BCE=90°-∠ACD，∠CAD=90°-∠ACD，∴∠BCE=∠CAD
在△BCE与△CAD中，
∠E=∠ADC，∠BCE=∠CAD，BC=AC
∴△CEB≌△ADC(AAS)
(2)∵△CEB≌△ADC，
∴BE=DC，CE=AD，
又∵AD=9
∴CE=AD=9，DC=CE-DE=9-6=3，
∴BE=DC=3(cm)，
∵∠E=∠ADF=90°，∠BFE=∠AFD，
∴△BFE∽△AFD，
∴EF BE
FD AD
=，即有
3
69
EF
EF
=
-
解得：EF=
3
2
(cm)．
∴BE=3cm，EF=3
2 cm．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质和相似三角形的判定和性质,关键是掌握这些性质.
19.为响应市政府关于”垃圾不落地•市区更美丽”的主题宣传活动，某校随机调查了部分学生对垃圾分类知识的掌握情况．调查选项分为”A：非常了解，B：比较了解，C：了解较少，D：不了解”四种，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)把两幅统计图补充完整;
(2)若该校学生有2000名，根据调查结果，估计该校”非常了解”与”比较了解”的学生共有名;
(3)已知”非常了解”的同学有3名男生和1名女生，从中随机抽取2名进行垃圾分类的知识交流，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【答案】(1)答案见解析;(2)1000;(3)1
2
．
【解析】
【分析】
(1)先根据A选项的人数和所占比例，计算得出调查的总人数是50,再根据B选项的人数算出B所占的比例，接着根据C选项的比例计算得出人数，最后计算得出D选项的比例和人数即可;
(2)用2000乘以A选项和B选项的比例.即可估计该校”非常了解”与”比较了解”的学生数;
(3)根据列表法，展示所有12种可能的结果，找出一男一女的结果数，然后根据概率的公式即可得出答案．【详解】(1)调查人数为：4÷8%=50(人)，B组所占百分比为：21÷50=42%，
C组人数为：50×30%=15(人)，
D组人数为：50﹣4﹣21﹣15=10(人)，所占百分比为：10÷50=20%，
补全统计图如图所示：
(2)2000×(8%+42%)=1000(人)．
故答案为：1000;
(3)用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有12种可能出现的结果，其中”一男一女”的有6种，
因此，抽到一男一女的概率为
61
=
122
．
【点睛】本题主要考查了列表法、扇形统计图、条形统计图以及概率，能够根据图得出信息是解题的关键．20.某校王老师组织九(1)班同学开展数学活动，某天带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4m，请你根据这些数据求电线杆的高AB．(结果用根号表示)
【答案】电线杆的高为43+1)m．
【解析】
【分析】
根据直角三角形中边角关系,延长AD 交BC 延长线与点G ,作DH ⊥BG 于H ，构建直角三角形,由三角函数求出CH 和DH 的长度,得出CG,设AB 为xm,根据正切的定义求出BG,得出方程,解这个方程即可.
【详解】延长AD 交BC 的延长线于G ，作DH ⊥BG 于H ，
在Rt △DHC 中，
∠DCH ＝60°，CD ＝4，
则CH ＝CD •cos ∠DCH ＝4×cos60°＝2，
DH ＝CD •sin ∠DCH ＝4×sin60°＝23
∵DH ⊥BG ，∠G ＝30°，
∴HG ＝DH tan G ∠＝236， ∴CG ＝CH +HG ＝2+6＝8，
设AB ＝xm ，
∵AB ⊥BG ，∠G ＝30°，∠BCA ＝45°，
∴BC ＝x ，
BG ＝tan tan 30
AB x G ︒=∠3x ， ∵BG ﹣BC ＝CG ， 3﹣x ＝8，
解得：x 31
-43+1)(m ) 答：电线杆的高为x ＝43)m ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,解决本题的关键是正确理解题意,能够熟练掌握锐角三角函数,能够理清直角三角形中边角关系.
21.如图，反比例函数y ＝k x
(x ＞0)的图象与直线y ＝mx 交于点C ，直线l ：y ＝4分别交两函数图象于点A (1，4)和点B ，过点B 作BD ⊥l 交反比例函数图象于点 D ．
(1)求反比例函数的解析式;
(2)当BD＝2AB时，求点B的坐标;
(3)在(2)的条件下，直接写出不等式k
x
＞mx的解集．
【答案】(1)反比例函数的解析式为y＝4
x
．(2)B(2，4)．(3)0＜x2．
【解析】
【分析】
(1)利用待定系数法即可解决问题．
(2)设B(n，4)，则D(n，4
n
)，根据BD＝2AB，构建方程即可解决问题．
(3)求出直线l与反比例函数的图象的交点C，利用图象法即可解决问题．
【详解】解：(1)∵A(1，4)在y＝k
x
上，
∴4＝k
1
，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝4
x
．
(2)设B(n，4)，则D(n，4
n )，
∵BD＝2AB，
∴4﹣4
n
＝2(n﹣1)，
整理得：n2﹣3n+2＝0，
解得n＝1(舍弃)或2，
经检验，n=2是所列方程的解，∴B(2，4)．
(3)∵B(2，4)，
∴4＝2m ，
∴m ＝2，
∴直线l 的解析式为y ＝2x ， 由42y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得222x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或222x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩(舍弃)， ∴C (2，22)，
观察图象可知：不等式k x
＞mx 的解集为0＜x ＜2．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了一次函数的性质，反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
加试卷(共60分)
一、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分 ．请把正确答案填在题中横线上) 22.若442222220a b a b a b ++=++，则22a b +=______．
【答案】5
【解析】
【分析】
先利用完全平方公式将原等式的左边进行变形，然后令a 2+b 2=x ，可得出关于x 的一元二次方程，从而可得出x ，继而可得出a 2+b 2的值．
【详解】解：∵442222220a b a b a b ++=++，
∴(a 2+b 2)2=a 2+b 2+20，
令a 2+b 2=x ，则有x 2=x+20，
解得x 1=5，x 2=-4，
又a 2+b 2=x ≥0，
∴x=5，即a 2+b 2=5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式以及利用换元法解一元二次方程，掌握基本法则并根据a 2+b 2≥0对方程的解进行取舍是解题的关键．
23.如果α、β是方程x 2+2(k+3)x+k 2-3＝0的两实根，则(α﹣1)2+(β﹣1)2的最小值是____．
【答案】8
【解析】
【分析】
首先根据方程有两个实数根求出的取值范围，再将()()2211αβ-+-转换成两根之和与两根之积的形式，将两根之和与两根之积代入，转换成关于的二次函数，再根据的取值范围，即可求得最小值．
【详解】解：∵ 方程有两个实数根，则()()
222=426430b ac k k -=+--≥ ，解得：2k ≥-， 而()()()()()2222211=22=222αβαβαβαβαβαβ-+-+-+++--++， 根据根与系数的关系：=26b k a αβ+-
=--，2=3c k a αβ=-， ∴()()()()()22222
11=26232262=22856k k k k k αβ-+--------+++， 令()()
2222856=2721y k k k =+++-， ∴ 对称轴为7k =-，且10a =>，开口向上，故函数有最小值，
最小值为当=2k -时的函数值，
∴ 将=2k -代入()()()()22=2
721=22721=8y k +--+-． 故答案．
【点睛】本题考查一元二次方程与二次函数的综合，难度不大，是中考的常考知识点，熟练掌握一元二次方程与二次函数的相关性质是顺利解题的关键．
24.如图，矩形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 在第一象限，点D 在边BC 上，且∠AOD ＝30°，四边形OA′B′D 与四边形OABD 关于直线OD 对称(点A′和A ，B′和B 分别对应)．若AB ＝1，反比例函数y ＝k x
(k≠0)的图象恰好经过点A′，B ，则k 的值为______．
【答案】433
【解析】
【分析】 设B(m ，1)，得到OA=BC=m ，根据轴对称的性质得到OA′=OA=m ，∠A′OD=∠AOD=30°，求得∠A′OA=60°，
过A′作A′E ⊥OA 于E ，解直角三角形得到A′13,2
2m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将A′，B 的坐标代入反比例函数解析式得出关于m 的方程即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCO 是矩形，AB=1， ∴设B (m ，1)，
∴OA=BC=m ，
∵四边形OA′B′D 与四边形OABD 关于直线OD 对称，
∴OA′=OA=m ，∠A′OD=∠AOD=30°，
∴∠A′OA=60°，
过A′作A′E ⊥OA 于E ，
13,2OE m A E '∴==， 13,2
2A m m '⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， ∵反比例函数y ＝k x
(k≠0)的图象恰好经过点A′，B ， 132m m ∴=，43m ∴=， 即点B 的坐标为(1，33)，433
k ∴=．
故答案为：43
3
．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
25.如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．点D是线段
AC上任意一点(不含端点)，连接OD，当AB＝4时，则1
2
CD+OD的最小值是______．
【答案】3
【解析】
【分析】
作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，易证四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DF=DO．过
点D作DH⊥OC于H，易得DH=1
2
DC，从而有
1
2
CD+OD=DH+FD．根据两点之间线段最短可得：当F、
D、H三点共线时，DH+FD(即1
2
CD+OD)最小，然后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问题．
详解】解：作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图所示，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴∠COB=60°，
则∠AOF=∠COF=1
2
∠AOC=
1
2
(180°-60°)=60°．
∵OA=OF=OC，
∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF=AO=OC=FC，
∴四边形AOCF是菱形，
∴根据对称性可得DF=DO．
过点D 作DH ⊥OC 于H ，
则DH=DC •sin ∠DCH=DC •sin30°=
12DC ， ∴12
CD+OD=DH+FD ． 根据两点之间线段最短可得， 当F 、D 、H 三点共线时，DH+FD (即
12CD+OD )最小， ∵OF=OA=12
AB=2，
∴此时FH=DH+FD=OF •sin ∠，
即12
CD+OD
【点睛】本题主要考查了圆半径相等的性质，等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值等知识，把
12
CD+OD 转化为DH+FD 是解题的关键． 二、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)
26.阅读理解：如图1，在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E (点E 不与A 、B 重合)，分别连接ED 、EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的”相似点”：如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的”强相似点”．解决问题：
(1)如图1，∠A=∠B=∠DEC=45°，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由; (2)如图2，在矩形ABCD 中，
A 、
B 、
C 、
D 四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图②中画出矩形ABCD 的边AB 上的强相似点;
(3)如图3，将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处，若点E 恰好是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，试探究AB 与BC 的数量关系．
【答案】(1)点E是四边形ABCD的边AB上的相似点，理由见解析;(2)见解析;(3)BC
AB
=
3
2
【解析】
【分析】
(1)要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．
(2)以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求．
(3)由点E是矩形ABCD的AB边上的一个强相似点，得△AEM∽△BCE∽△ECM，根据相似三角形的对应
角相等，可求得∠BCE=1
3
∠BCD=30°，利用含30°角的直角三角形性质可得BE与AB，BC边之间的数量
关系，从而可求出AB与BC边之间的数量关系．
【详解】(1)∵∠A=∠DEC=45°
∴∠ADE+∠AED=135°，∠BEC+∠AED=135°，
∴∠ADE=∠BEC，
又∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC，
∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点;
(2)如图中所示的点E和点F为AB上的强相似点;
(3)∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE=∠ECM=∠AEM，
由折叠可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，
∴∠BCE=1
3
∠BCD=30°，CE=AB，。