2019届江苏省如东中学高三年级第二次学情测试数学(解析版)

2019届高三年级第二次学情测试数学（含理科加试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：160分）
一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.
1.已知集合{}1,2,3,6,{|23},A B x x =-=-<<则=A B ⋂ .
【答案】{}1,2-
【解析】
试题分析：{}{}{}1,2,3,6|231,2A B x x ⋂=-⋂-<<=-．故答案应填：{}1,2-
【考点】集合运算
【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，属于基本题，难度不大.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心而出错，二是明确江苏高考对于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解.
【此处有视频，请去附件查看】
2.“2x >”是“112
x <”的________条件. 【答案】充分不必要
【解析】
【分析】 11 2x <∴ x>2,或x<0.得“x ＞2”是“112
x <” 充分不必要. 【详解】 11 2
x <∴ x>2,或x<0. 根据充分不必要的定义，判断出“x ＞2”是“112
x <” 充分不必要. 故答案为：充分不必要
【点睛】本题考查的是不等式的解法和充分不必要的判断，属于基础题.
3.命题“若1x ≥，则2421x x -+≥-”的否命题为____________．
【答案】若1x <，则2421x x -+<-
试题分析：根据否命题的概念，有否命题为：若1x <，则2421x x -+<-．
考点：四种命题及其相互关系．
4.
函数2()f x =的定义域为_______． 【答案】(1,2)(2,3]
【解析】
【分析】
根据根式的被开方式非负和对数的真数大于0，列出不等式求出即可； 【详解】 2-x +4x-3013101112x x x x x ⎧≥≤≤⎧⎪⎪->⇒>⎨⎨⎪⎪-≠≠⎩⎩ {12,23}x x x ⇒<<<≤或 ,
故答案为：()(]1,22,3⋃
【点睛】本题考查了求函数的定义域，就是使各个式子有意义即可，属于基础题.
5.函数()f x 在R 上为奇函数，且0x >时，(
)1f x =
，则当0x <时，()f x = ________.
【答案】1
【解析】
试题分析：∵()f x 为奇函数，时，，∴当时，，
，即时，，故答案为：
. 考点：函数解析式的求解及常用方法.
6.曲线()1e x y ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________． 【答案】3-
分析：求导，利用导数的几何意义计算即可。

详解：()y 1x x
ae ax e =++' 则()f 012a =+=-'
所以3a =-
故答案为-3.
点睛：本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题。

7.已知倾斜角为α的直线l 的斜率等于双曲线22
13y x -=的离心率，则sin(2)πα-＝_______． 【答案】
45
【解析】
【分析】 由题意知;tan α=c =2a
,()sin 2πα-＝sin 2α,利用三角函数关系得出结果即可. 【详解】双曲线2
213
y x -=的离心率c =2a ， tan =2α∴ ，因为α为直线的倾斜角，所以0απ∈，
sin α∴ cos α ∴()sin 2πα-＝sin 2α=2sin cos αα=
45 故答案为：45
. 【点睛】本题考查的是利用双曲线的离心率得出tan α，再利用三角函数的倍角公式得出结果即可，属于基础题.
8.在正四棱锥S ABCD -中，点O 是底面中心，2SO =，侧棱SA =，则该棱锥的体积为________.
【答案】323
【解析】
【分析】
根据题意，利用勾股定理算出底面中心到顶点的距离为
，利用正方形的性质得出底面边长为4，再由锥体的体积公式加以计算，即可得到该棱锥的体积．
【详解】∵在正四棱锥S ﹣ABCD 中，侧棱
SO=2，
∴底面中心到顶点的距离
因此，底面正方形的边长
AO=4，底面积S=AB 2=16
该棱锥的体积为V=
13S ABCD •SO=13×16×2=323． 故答案为：323
． 【点睛】本题给出正四棱锥的高和侧棱长，求它的体积．着重考查了正四棱锥的性质、正方形中的计算和锥体体积公式等知识，属于基础题．
9.对于任意实数,a b ，定义{},,min ,,.
a a
b a b b a b ≤⎧=⎨
>⎩设函数()3f x x =-+，()2log g x x =，则函数()()(){}min ,h x f x g x =的最大值是________.
【答案】1
【解析】
【分析】
分别作出函数f （x ）=﹣3+x 和g （x ）=log 2x 的图象，结合函数f （x ）=﹣3+x 和g （x ）=log 2x 的图象可知，在这两个函数的交点处函数h （x ）=min{f （x ），g （x ）}的最大值．
【详解】∵x＞0，∴f（x ）=﹣x+3＜3，g （x ）=log 2x∈R ，分别作出函数f （x ）=﹣3+x 和g （x ）=log 2x 的图象，结合函数f （x ）=﹣3+x 和g （x ）=log 2x 的图象可知，
h （x ）=min{f （x ），g （x ）}的图象，
在这两个函数的交点处函数h （x ）=min{f （x ），g （x ）}的最大值．
解方程组x 2y=-x+3y=log ⎧⎨⎩
得x=2y=1⎧⎨⎩ ， ∴函数h （x ）=min{f （x ），g （x ）}的最大值是1．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了函数的最值及其数形结合的方法，利用对数函数的单调性与特殊点求出结果，属于基础题．
10.如图，已知点O （0,0）,A （1,0）,B （0,−1）,P
是曲线y =则OP BA ⋅的取值范围是
.
【答案】[-
【解析】
试题分析：由题意，设(c o s ,s i n )P αα,[0,π]α∈，则(c o s ,s i n )OP αα=，又(1,1)BA =, 所
以c o s s i n 2s i n ()2]
4O P B A πααα⋅=++∈. 【考点】数量积的运算、数形结合思想
【名师点睛】本题解答时利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中，从而转化成平面向量的坐标运算，利用三角函数的图象和性质，得到OP BA ⋅的取值范围.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等.
【此处有视频，请去附件查看】
11.若1sin 64πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则223cos πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
________. 【答案】78
-
【解析】
【分析】 利用诱导公式得 cos 3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的值，再利用余弦的二倍角公式即可得到答案. 【详解】1sin 64πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，根据诱导公式得 1sin sin cos 623
34ππππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则223cos πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭= 217cos 22cos 12133168ππθθ⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故答案为：78
- 【点睛】本题考查诱导公式和二倍角公式的应用.
12.椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为椭圆的右焦点，AF⊥BF，∠ABF＝α，[12π
α∈，]3π
，则椭圆的离心率的取值范围为_______．
【答案】[
,23
【解析】
【分析】 设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a ，根据B 和A 关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a ，又根据O 是Rt△ABF 的斜边中点可知|AB|=2c ，在Rt△ABF 中用a 和c 分别表示出|AF |和|BF |代入|AF|+|BF|=2a 中即可表示出c a
即离心率e ，进而根据α的范围确定e 的范围．
【详解】∵B 和A 关于原点对称，∴B 也在椭圆上，设左焦点为F′
根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a
又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …①
O 是Rt△ABF 的斜边中点，∴|AB|=2c
又|AF|=2csinα …②
|BF|=2ccosα …③
②③代入①2csinα+2ccosα=2a ∴c a =1sin +cos αα
即e=1
sin +cos αα=1+)4
πα（ ∵a∈[12π，4π]，∴3π≤α+4π≤2
π
∴4π）≤1 ∴2
故答案为：] 【点睛】本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的对称性的灵活运用，要特别利用好椭圆的定义，是中档题．
13.在平面直角坐标系xOy 中，圆()222:0O x y r r +=>与圆()(22:24M x y -+-=相交于,A B 两点，若在直线AB 上存在一点P ，使•0PO PM ≤成立，则r 的取值范围为________.
【答案】(2,
【解析】
【分析】
根据题意可知O ，M 在直线AB 两侧，利用圆与圆的位置关系即可得出r 的范围．
【详解】圆O
圆心为O （0，0），半径为r ，圆M 的圆心为M （2，，半径为2．
，
∵圆O 与圆M 相交，
∴2＜r ＜6．
∵对于直线AB 上任意一点P ，均有PO PM 0⋅≤成立，
∴O，M 在直线AB 两侧．
又OM⊥AB ，∴当直线AB 过点M 时，． ＜r ＜6．
故答案为:( 2,． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，圆与圆的位置关系，属于中档题．
14.已知函数()cos2f x x =的图象与直线()4400kx y k k π--=>恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为123,,x x x ，则
()()2113tan x x x x -=-________. 【答案】12
-
【解析】
分析】 求解直线 440(0)kx y k k π--=>恒过定点（
4
π，0），k ＞0恰有三个公共点，其直线必过f （x ）的对称点（4π，0），其它两点是直线与f （x ）的切点，那么x 1+x 3=2π，31x =-x 2π由导函数几何意义：f′（2x 1）=-sin21x =k ，再由切线方程即可求出.
【详解】由题意，直线440(0)kx y k k π--=>可得y=k(x-
4π)恒过定点（4π，0），即x 2=4π ∵k＞0恰有三个公共点，
其直线必与（x ）的相切，因为f （x ）关于（4π，0）对称，所以x 1+x 3=2
π．
∴31x =-x 2π
，导函数几何意义：f′（2x 1）=-sin21x =k
所以切线方程：y-111
cos2x =-2sin2x x-x （） 过（4
π，0） 所以112-x tan2x =14（）π ，()2113tan x x x x --=11x 4tan 22x ππ-⎛⎫- ⎪⎝⎭
=111tan242x x π⎛⎫-=- ⎪⎝
⎭ 故答案为：12- 【点睛】本题考查了直线方程的定点和三角函数图象的交点问题．灵活判断定坐标值和对称点的和为定值是关键，再利用切线方程找到等式，求出结果即可，属于中档题.
二、解答题：共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.
15.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，,E F 为PD 的两个三等分点
.
（1）求证//BE 平面ACF ；
（2）若平面PAC ⊥平面PCD ，求证：PC
CD ⊥.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）连结BD ，AC 相交于O ，证明BE∥OF ，即可证明BE ∥平面ACF ；（2）过A 作AH⊥PC 于H ，利用面面垂直的性质证明AH ⊥平面PCD ，从而证明AH⊥CD ，然后利用线面垂直的性质证明PC⊥CD．
【详解】（Ⅰ）连接BD 、AC ，两线交于O ，
∴O 是BD 的中点（平行四边形对角线互相平分）
， ∵F 是DE 的中点（由三等分点得到）
， ∴OF 是△DEB 的
中位线，∴BE∥OF，
∵OF ⊂面ACF ，BE ⊄面ACF ，
∴BE 平行平面ACF ．
（Ⅱ）过A 作AH⊥PC 于H ，∵平面PAC ⊥平面PCD ，
∴AH ⊥平面PCD ，∵CD ⊂平面PCD ，∴AH⊥CD，
∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，
∴PA⊥CD ．又∵PA∩AH=A，∴CD ⊥平面PAC ，
∵PC ⊂平面PAC ，
∴PC⊥CD．
【点睛】本题主要考查空间直线和平面平行的判定，以及面面垂直的性质应用，注意把判定定理和性质定理条件写全，综合性较强．
16.已知向量()1,1m =，向量n 与向量m 的夹角为
34π，且•1m n =-. （1）求向量n ；
（2）设向量()1,0a =，向量2cos ,cos 42b x ππ⎛
⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若•0n a =，试求n b +的取值范围.
【答案】（1）(1,0)n =-或(0,1)-（2） 【解析】 【分析】
（1）设向量n =（x ，y ）
，由已知中向量m =（1，1），向量n 与向量m 夹角为34
π
，且m n ⋅=﹣1．根据向量数量积的运算法则，可得到关于x ，y 的方程组，解方程可得向量n 的坐标；（2）由向量a =（1，0）向量，其中b =(cos x ，2
cos 42x π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
)，其中[0x ∈，]2π，若n a ⋅＝0，我们可以求出n b
+2
的表达式，利用
三角函数的性质可得n b +的取值范围．
【详解】（1）设向量=（x ，y ），∵向量m =（1，1）， 则•m n =x+y=﹣1…①•m n =|m |•|n |•cos =﹣1，
即x 2+y 2=1
解得x=0，y=﹣1或x=﹣1，y=0 故=（﹣1，0），或=（0，﹣1），
（2）∵向量=（1，0），⊥n ，则=（0，﹣1）， 又∵向量=（cosx ，cos 2（4
π
﹣）），
∴+
=（cosx ，cos 2（
4π﹣）﹣1）=（cosx ，sinx-12
）， 则|+|2=cos 2x+2
sinx-12⎛⎫ ⎪⎝⎭
=34cos 2x-sinx+12=-2315sin sin 424x x -+ 2
314sin +433x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ， ∵[0x ∈，
]2
π
，[]sin 0,1x ∴∈， 0≤|+|254
≤
故0≤|+|≤
2
【点睛】本题考查的知识点是平面向量的综合题，其中熟练掌握平面向量的数量积公式，模的计算公式，最后转化成二次函数在[]
0,1上求最值是解答本题的关键，属于中档题.
17.梯形ABCD 顶点,B C 在以AD 为直径的圆上，4AD =米.
（1）如图1，若电热丝由,,AB BC CD 这三部分组成，在,AB CD 上每米可辐射1单位热量，在BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝的总热量最大，并求总热量的最大值；
（2）如图2，若电热丝由弧,AB CD 和弦BC 这三部分组成，在弧,AB CD 上每米可辐射1单位热量，在弦BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大.
【答案】（1）9单位；（2）. 【解析】 【分析】
（1）取角为自变量,设∠AOB ＝θ，分别表示AB ，BC,根据题意得函数8cos θ+8 sin 2
θ
,利用二倍角余弦公式得关于sin
2
θ
二次函数 ,根据二次函数对称轴与定义区间位置关系求最值（2）取角为自变量,设∠AOB ＝θ，利用弧长公式表示,AB CD ,得函数4θ＋8cos θ,利用导数求函数单调性,并确定最值 【详解】设AOB θ∠=，0,
2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
则4sin
2
AB θ
=，4cos BC θ=，
总热量单位()2
218cos 8sin 16sin 8sin 816sin 922224f θθ
θ
θθθ⎛⎫=+=-++=--+ ⎪⎝⎭
当1
sin
24
θ
=
时，()f θ取最大值， 此时7
2
BC =米，总热量最大9（单位）.
答：应设计BC 长为7
2
米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为9单位.
（2）总热量单位()48cos g θθθ=+，0,2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
， 令()0g θ'=，即48sin 0θ-=，6
π
θ=
，
当0,6πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()0g θ'>，()g θ为增函数，当,62ππθ⎛⎫
∈
⎪⎝
⎭时，()0g θ'<，()g θ为减函数，
当6
π
θ=
时，()g θ，此时4cos BC θ==米.
答：应设计BC 长为.
【点睛】本题考查三角函数的实际应用，同时考查利用二次函数和导数求函数的最值问题.
18.设f(x)=xln x –ax 2+(2a –1)x ，a R ∆R. （Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；
（Ⅱ）已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞，当0a >时，函数()g x 单调递增区间为
10,
2a （），单调递减区间为1,2a +∞（）； （Ⅱ）1
2
a > 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求出()g x '，然后讨论当0a ≤时，当0a >时的两种情况即得. （Ⅱ）分以下情况讨论：①当0a ≤时，②当102a <<时，③当12a =时，④当1
2
a >时，综合即得. 试题解析：（Ⅰ）由()ln 22,f x x ax a =-+' 可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞， 则()1122ax
g x a x x
='-=
-， 当0a ≤时，
()0,x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；
当0a >时，
10,
2x a ∈（）时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 1,2x a
∈+∞（）时，()0g x '<，函数()g x 单调递减.
所以当0a ≤时，()g x 单调递增区间为()0,+∞；
当0a >时，函数()g x 单调递增区间为
10,2a （），单调递减区间为1
,2a
+∞（）.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()10f '=.
①当0a ≤时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减. 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增. 所以()f x 在x=1处取得极小值，不合题意.
②当102a <<
时，112a >，由(Ⅰ)知()f x '在1
0,2a
（）内单调递增，
可得当当()0,1x ∈时，()0f x '<，11,2x a ∈（）时，()0f x '>，
所以()f x 在(0,1)内单调递减，在11,2a
（）内单调递增，
所以()f x 在x=1处取得极小值，不合题意. ③当1
2a =
时，即
112a
=时，()f x '在(0,1)内单调递增，在()1,+∞内单调递减， 所以当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤，()f x 单调递减，不合题意. ④当12a >
时，即1012a <<，当1
,12x a
∈（）时，()0f x '>，()f x 单调递增,
当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减， 所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为1
2
a >
. 【考点】应用导数研究函数的单调性、极值,分类讨论思想
【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力及分类讨论思想等. 【此处有视频，请去附件查看】
19.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率2
e =，且椭圆的短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线5()25f x -≤-≤，2l 过右焦点2F ，且它们的斜率乘积为1
2
-，设5()25f x -≤-≤，2l 分别与椭圆交于点,A B 和,C D . ①求AB CD +的值；
②设AB 的中点M ，CD 的中点为N ，求OMN ∆面积的最大值.
【答案】（1）2212x y +=；（2）
①②8
.
【解析】 【分析】
（1）由椭圆短轴长为2，得b=1，再由离心率结合222a b c =+计算即可得到椭圆的方程;（2）① 由直线
,CD AB 过右焦点2F ，设出直线AB 方程，将AB 方程与椭圆方程联立，写出韦达定理计算弦长AB, 由两
直线斜率乘积为12-，将弦长AB 中的斜率变为1
2k
-可得弦长CD,相加即得结果;②由中点坐标公式可得点M,N 坐标，观察坐标知MN 中点T 在x 轴上，所以1
2
OMN M N S OT y y ∆=-，整理后利用基本不等式即可
得面积的最值.
【详解】（1） 由题设知：
22222
b c
a a
b c
=⎧⎪
⎪=⎨⎪=+⎪⎩
解得11
a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 故椭圆的标准方程为2
212
x y +=.
（2）①设AB 的直线方程为()1y k x =-，
联立()22
112
y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消元y 并整理得()2222124220k x k x k +-+-=， 所以2122412k x x k +=+，2122
22
12k x x k
-=+，
于是
2
122
12AB x k +=-==
+
，
同理2
222
12211122k CD k k ⎫
-⎪
⎝⎭==+⎛⎫
+- ⎪
⎝⎭，
于是22
22
1212AB CD k k
+=+=++②由①知2
2
212M k x k
=+，212M k y k -=+，2112N x k =+，212N k y k =+， 所以2222,1212k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
，221,1212k N k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 所以MN 的中点为1,02T ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
于是
221121111241221222OMN
M N k k S OT y y k k k k
∆=-==⨯=⨯≤+++，
当且仅当12k k
=
，即2
k =±时取等号， 所以OMN
∆面积的最大值为
8
. 【点睛】圆锥曲线中求最值或范围时，一般先根据条件建立目标函数，再求这个函数的最值．解题时可从以下几个方面考虑：
①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解题的关键是在两个参数之间建立等量关系； ③利用基本不等式求出参数的取值范围； ④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
20.已知函数()x f x e =，2()g x ax bx =+，,a b R ∈.
（1）当0a =，1b =时，求函数()
()
f x y
g x =
的最小值； （2）当2,4e a ⎛⎫
∈-∞- ⎪⎝
⎭，0b =时，求证方程()()0f x g x +=在区间(0,2)上有唯一实数根；
（3）当0a b =>时，设1x ，2x 是()()()F x f x g x =-函数两个不同的极值点，证明：12
ln(2)2
x x a +<. 【答案】（1）e （2）见解析（3）见解析 【解析】 【分析】
（1）构造新函数y=x
e x
，求导判断单调性，得出最小值e.（2）变量分离a=-x 2e x =h （x ），根据函数的单
调性求出函数h （x ）的最小值，利用a 的范围证明在区间(0，2)上有唯一实数根；（3）求出12
x x 12
e -e 2a=x -x ，
问题转化为证12
12x -x x -x 2
12x -x e
-e +10>（） ，令x 1﹣x 2=t ，得到t ＜0，根据函数的单调性证明即可．
【详解】(1)当a ＝0，1b =时，()
()f x y g x ==x e x ，求导y’=x 2
e x-1x （）
=0的根x=1
所以y 在（-,0∞），（0,1）递减，在（1，+∞ ）递增， 所以y min =e
(2)()() x
f x
g x e +=+2
a x =0,所以a=-x
2e x
=h （x ）
H’(x)=-x 2x 43
e x -2x e x -2=-x x
（）（） =0的根x=2 则h （x ）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，
所以h （2）是y=h （x ）的极大值即最大值，即()2
h 24
e =-
所以函数f （x ）在区间（0，2）上有唯一实数根；
(3)()()()0?
a b F x f x g x =>=-当时= x e -2ax ax -
-2ax-a=0的两根是1x，2x
F’(x)x e
∵x1，x2是函数F（x）的两个不同极值点（不妨设x1＜x2），
∴a＞0（若a≤0时，f'（x）＞0，即F（x）是R上的增函数，与已知矛盾），
且F'（x1）=0，F'（x2）=0．∴，…
两式相减得：，…
于是要证明，即证明，两边同除以，
即证，即证，即证
，
令x1﹣x2=t，t＜0．即证不等式，当t＜0时恒成立．
设，∴=
设，∴，
当t＜0，h'（t）＜0，h（t）单调递减，
所以h（t）＞h（0）=0，即，
∴φ'（t）＜0，∴φ（t）在t＜0时是减函数．
∴φ（t）在t=0处取得极小值φ（0）=0．
∴φ（t）＞0，得证．
∴．
【点睛】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查换元思想，是一道综合题．
2019届高三年级第二次学情测试数学加试试卷（物理方向考生作答）
一、解答题：共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.
21.求下列函数的导函数. （1）()cos 32y x =-； （2）312x y +=.
【答案】（1）()3sin 32x --；（2）3132ln 2x +⨯. 【解析】 【分析】
根据复合函数的求导法则求导.
【详解】（1）()()sin 3233sin 32y x x =--⨯=--'. （2）31
32
ln2x y +'=⨯.
【点睛】本题主要考查复合函数的求导法则，重点是掌握函数的导数公式.
22.已知P 是以1,F F 为焦点的双曲线221169
x y -=上的动点，求12F F P ∆的重心G 的轨迹方程.
【答案】()2
291016
x y y -=≠
【解析】 【分析】
设点()00,P x y ,重心G （x ，y ），由三角形的重心坐标公式可得点P 和G 坐标之间的关系，然后将点P 坐标代入双曲线方程化简即可得所求.
【详解】设重心(),G x y ，点()00,P x y ，因为()15,0F -，()25,0F
则有00553003x x y y -++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩
，
故00
33x x
y y =⎧⎨
=⎩，
代入221169x y -=得229116
x y -=.
又P 与12F F 不共线，所以0y ≠，
故所求轨迹方程为()2
291016
x y y -=≠.
【点睛】本题考查用代入法求点的轨迹方程，利用三角形的重心坐标公式找出点P 与重心G 的坐标间的关系是解题的关键.
23.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是一直角梯形，PA ⊥底面ABCD ，90BAD ∠=︒，//AD BC ，
1AB BC ==，2AD AP ==，E 是PD 上的点，且()01PE PD λλ=<<
.
（1）若1
2
λ=
，求异面直线AE 与CD 所成角的大小； （2）当λ为何值时，二面角C AE D --
的余弦值为
11
. 【答案】（1）60；（2）3
4
. 【解析】 【分析】
（1）建立空间直角坐标系,求AE 和CD 所成角，即可得异面直线AE 与CD 所成角；（2）求平面ACE 和平面AED 的法向量，利用法向量夹角的余弦值计算即可得到λ的取值.
【详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2P ，
（1）由12
λ=，知()0,1,1E ，()0,1,1AE =，()1,1,0CD =-， 设异面直线AE 与CD 所成角为θ， 则•1cos 2
2•AE CD
AE CD θ===， 所以异面直线与所成角
的大小为60︒.
（2）由()()0,2,20,2,2PE PD λλλλ==-=-，
()()()()0,0,20,2,20,2,20,2,22AE AP PE PE PD λλλλλλ=+=+-===-=-，
设平面ACE 的法向量()1,,n x y z =，
则11•0,•0,AC n AE n ⎧=⎪⎨=⎪⎩即()02220x y y z λλ+=⎧⎨+-+=⎩
，取1x =，得11,1,1n λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭， 由已知AB ⊥面ADE ，所以平面ADE 的一个法向量()21,0,0n =，
所以12
1212
•cos ,11•1n n n n n n ===，解得34λ=或32
λ=. 因为01λ<<，所以34λ=.
【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
24.如图，已知顶点()0,3R -，()2,1N ，动点,P Q 分别在x 轴，y 轴上移动，延长PQ 至点M ，使得
12
PQ QM =，且•0PR PM =.
（1）求动点M 的轨迹C ；
（2）过点N 分别作直线,NA NB 交曲线于,A B 两点，若直线,NA NB 的倾斜角互补，证明：直线的斜率为定值；
（3）过点N 分别作直线,NA NB 交曲线于,A B 两点，若NA NB ⊥，直线AB 是否经过定点？若是，求出该定点，若不是，说明理由.
【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析；（3）()2,5-.
【解析】
【分析】
（1）设点M,P,Q 的坐标,将向量进行坐标化，整理即可得轨迹方程；（2）设点211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，直线,NA NB 的倾斜角互补，则两直线斜率互为相反数，用斜率公式计算得到1240x x ++=，即可计算k AB ；
（3）若NA NB ⊥，由两直线斜率积为-1，可得到关于12x x 与12x x +的等量关系，写出直线AB 的方程，将等量关系代入直线方程整理可得直线AB 经过的定点．
【详解】（1）设().M x y ，()0,0P x ，()00,Q y .
由12PQ QM =，得()()0001.,2x y x y y -=-，即001223x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
. 因为•0PR PM =，所以()()0030x x x y ---=，所以2
4x y =. 所以动点M 的轨迹为抛物线C ，其方程为2
4x y =. （2）证明：设点211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 若直线,NA NB 的倾斜角互补，则两直线斜率互为相反数， 又211112424
NA x x k x -+==-，224NB x k +=，所以1222044x x +++=， 1240x x ++=，整理得1240x x ++=， 所以221212124414
AB x x x x k x x -+===--. （3）因为NA NB ⊥， 所以1222•144
NA NB x x K K ++==+=-， 即()12122200x x x x +++=，①
直线AB 的方程为：()2112144
x x x y x x +-=-， 整理得：1212•44
x x x x y x +=-，② 将①代入②得()121222044
x x x x y x +++=+，即()12254x x y x +=++， 当2x =-时5y =，
即直线AB 经过定点()2,5-.
【点睛】本题考查直接法求轨迹方程，考查直线斜率为定值的求法和直线恒过定点问题.。