光的衍射计算题及答案

光的衍射计算题及答案
《光的衍射》计算题
1. 在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两秏波长λ1和λ2，垂直入射于单缝上．假如
λ1的第一级衍射极小与λ2的第二级衍射极小相重合，试问 (1) 这两种波长之间有何关系？
(2) 在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其他极小相重合？解：(1) 由单缝衍射暗纹公式得111sin λθ=a 222sin λθ=a 由题意可知21θθ= , 21sin sin θθ=
代入上式可得212λλ= 3分
(2) 211112sin λλθk k a == (k 1 = 1, 2, ……) a k /2sin 211λθ=
222sin λθk a = (k 2 = 1, 2, ……) a k /sin 222λθ=
若k 2 = 2k 1，则θ1 = θ2，即λ1的任一k 1级极小都有λ2的2k 1级极小与之重合． 2分
2. 波长为600 nm (1 nm=10-9 m)的单色光垂直入射到宽度为a =0.10 mm 的单缝上，观察夫琅
禾费衍射图样，透镜焦距f =1.0 m ，屏在透镜的焦平面处．求：
(1) 中央衍射明条纹的宽度? x 0；
(2) 第二级暗纹离透镜焦点的距离x 2 ．解：(1) 对于第一级暗纹，有a sin ? 1≈λ
因? 1很小，故tg ? 1≈sin ? 1 = λ / a
故中央明纹宽度?x 0 = 2f tg ? 1=2f λ / a = 1.2 cm 3分 (2) 对于第二级暗纹，有a sin ? 2≈2λ
x 2 = f tg ? 2≈f sin ? 2 =2f λ / a = 1.2 cm 2分
3. 在用钠光(λ=589.3 nm)做光源进行的单缝夫琅禾费衍射实验中，单缝宽度a=0.5 mm ，透镜焦距f =700 mm ．求透镜焦平面上中央明条纹的宽度．(1nm=10-9m)
解：a sin ? = λ 2分
a f f f x /sin tg 1λφφ=≈== 0.825 mm 2分
x =2x 1=1.65 mm 1分
4. 某种单色平行光垂直入射在单缝上，单缝宽a = 0.15 mm ．缝后放一个焦距f = 400 mm 的凸透镜，在透镜的焦平面上，测得中央明条纹两侧的两个第三级暗条纹之间的距离为8.0 mm ，求入射光的波长．
解：设第三级暗纹在?3方向上，则有
a sin ?3 = 3λ
此暗纹到中心的距离为 x 3 = f tg ?3 2分
因为?3很小，可认为tg ?3≈sin ?3，所以
x 3≈3f λ / a ．
两侧第三级暗纹的距离是2 x 3 = 6f λ / a = 8.0mm
∴ λ = (2x 3) a / 6f 2分 = 500 nm 1分
5. 用波长λ=632.8 nm(1nm=10?9m)的平行光垂直照射单缝，缝宽a =0.15 mm ，缝后用凸透镜把衍射光会聚在焦平面上，测得第二级与第三级暗条纹之间的距离为1.7 mm ，求此透镜的焦距．解：第二级与第三级暗纹之间的距离
x = x 3 –x 2≈f λ / a ． 2分∴ f ≈a ?x / λ=400 mm 3分
6. (1) 在单缝夫琅禾费衍射实验中，垂直入射的光有两种波长，λ1=400 nm ，λ2=760 nm (1
nm=10-9 m)．已知单缝宽度a =1.0×10-2 cm ，透镜焦距f =50 cm ．求两种光第一级衍射明纹中心之间的距离．
(2) 若用光栅常数d =1.0×10-3 cm 的光栅替换单缝，其他条件和上一问相同，求两种光第一级主极大之间的距离．
解：(1) 由单缝衍射明纹公式可知
()111231221
sin λλ?=+=k a (取k ＝1 ) 1分 ()2222
3
1221sin λλ?=+=k a 1分
f x /t
g 11=? , f x /tg 22=? 由于11tg sin ??≈ , 22tg sin ??≈
所以 a f x /23
11λ= 1分
a f x /2
3
22λ= 1分
则两个第一级明纹之间距为
a f x x x /2
3
12λ?=
-=?=0.27 cm 2分 (2) 由光栅衍射主极大的公式1111sin λλ?==k d
2221sin λλ?==k d 2分且有
f x /t
g sin =≈??
所以
d f x x x /12λ?=-=?=1.8 cm 2分
7. 一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束有两种波长的光，λ1=440 nm ，λ2=660 nm (1 nm
= 10-9
m)．实验发现，两种波长的谱线(不计中央明纹)第二次重合于衍射角?=60°的方向上．求此光栅的光栅常数d ．
解：由光栅衍射主极大公式得111sin λ?k d = 222sin λ?k d =
2
1
2122112132660440sin sin k k k k k k =??==λλ?? 4分
当两谱线重合时有 ?1= ?2 1分
即
6
9
462321===k k ．．．．．．． 1分两谱线第二次重合即是
4
6
21=k k ， k 1=6， k 2=4 2分由光栅公式可知d sin60°=6λ1
60
sin 61λ=
d =3.05×10-3
mm 2分
8. 一束具有两种波长λ1和λ2的平行光垂直照射到一衍射光栅上，测得波长λ1的第三级主极
大衍射角和λ2的第四级主极大衍射角均为30°．已知λ1=560 nm
(1 nm= 10-9 m)，试求: (1) 光栅常数a ＋b
(2) 波长λ2
解：(1) 由光栅衍射主极大公式得()1330sin λ=+
b a
cm 1036.330sin 341
-?==
+
λb a 3分(2) ()2430sin λ=+
b a
()4204/30sin 2=+=
b a λnm 2分
9. 用含有两种波长λ=600 nm 和='λ500 nm (1 nm=10-9 m)的复色光垂直入射到每毫米有200 条刻痕的光栅上，光栅后面置一焦距为f=50 cm 的凸透镜，在透镜焦平面处置一屏幕，求以上两种波长光的第一级谱线的间距?x ．
解：对于第一级谱线，有：
x 1 = f tg ? 1，sin ? 1= λ / d 1分∵ sin ? ≈tg ? ∴ x 1 = f tg ? 1≈f λ / d 2分
λ和λ＇两种波长光的第一级谱线之间的距离 ?x = x 1 –x 1＇= f (tg ? 1 – tg ? 1＇)
= f (λ－λ＇) / d =1 cm 2分
10. 以波长400 nm ─760 nm (1 nm ＝10-9 m)的白光垂直照射在光栅上，在它的衍射光谱中，第二级和第三级发生重叠，求第二级光谱被重叠的波长范围．
解：令第三级光谱中λ=400 nm 的光与第二级光谱中波长为λ' 的光对应的衍射角都为θ，则d sin θ =3λ，d sin θ =2λ'
λ'= (d sin θ / )2==λ2
3600nm 4分
∴第二级光谱被重叠的波长范围是 600 nm----760 nm 1分
11. 氦放电管发出的光垂直照射到某光栅上，测得波长λ1=0.668 μm 的谱线的衍射角为
=20°．如果在同样?角处出现波长λ2=0.447 μm 的更高级次的谱线，那么光栅常数最小是多少？
解：由光栅公式得
sin ?= k 1 λ 1 / (a +b ) = k 2 λ 2 / (a +b )
k 1 λ 1 = k 2 λ 2
将k 2 / k 1约化为整数比k 2 / k 1=3 / 2=6 / 4=12 / 8 ......
k 2 / k 1 = λ 1/ λ 2=0.668 / 0.447 3分取最小的k 1和k 2 ， k 1=2，k 2 =3，
3分则对应的光栅常数(a + b ) = k 1 λ 1 / sin ? =3.92 μm
2分
12. 用钠光(λ=589.3 nm)垂直照射到某光栅上，测得第三级光谱的衍射角为60°．(1) 若换用另一光源测得其第二级光谱的衍射角为30°，求后一光源发光的波长．
(2) 若以白光(400 nm －760 nm) 照射在该光栅上，求其第二级光谱的张角．
(1 nm= 10-9 m)
解：(1) (a + b ) sin ? = 3λ
a +
b =3λ / sin ? ，?=60° 2分a + b =2λ'/sin ?' ?'=30° 1分
3λ / sin ? =2λ'/sin ?' 1分λ'=510.3 nm 1分(2) (a + b ) =3λ / sin ? =2041.4 nm 2分
2
'=sin -1(2×400 / 2041.4) (λ=400nm) 1分 2
''=sin -
1(2×760 / 2041.4) (λ=760nm) 1分白光第二级光谱的张角
= 22??'-''= 25° 1分
13.某种单色光垂直入射到每厘米有8000条刻线的光栅上，如果第一级谱线的衍射角为30°那么入射光的波长是多少？能不能观察到第二级谱线？
解：由光栅公式 (a ＋b )sin ? =k λ k =1，φ =30°，sin ?1=1 / 2
∴ λ=(a ＋b )sin ?1/ k =625 nm 3分实际观察不到第二级谱线 2分
若k =2, 则sin ?2=2λ / (a + b ) = 1, ?2=90°
14. 用波长为589.3 nm (1 nm = 10-9 m)的钠黄光垂直入射在每毫米有500 条缝的光栅上，求第一级主极大的衍射角.
解： d =1 / 500 mm ，λ=589.3 nm ，
∴ sin θ =λ / d =0.295 θ =sin -1
0.295=17.1° 3分第一级衍射主极大：d sin θ = λ 2分
15. 一块每毫米500条缝的光栅，用钠黄光正入射，观察衍射光谱．钠黄光包含两条谱线，
其波长分别为589.6 nm 和589.0 nm ．(1nm=10-9
m)求在第二级光谱中这两条谱线互相分离的角度．
解：光栅公式，d sin θ =k λ．
现d=1 / 500 mm =2×10-3
mm ，λ1=589.6 nm ，λ2=589.0 nm ，k=2．
∴ sin θ1=k λ1 / d=0.5896，θ1=36.129° 2分
sin θ2=k λ2 / d=0.5890，θ2=36.086° 2分δθ=θ1－θ2=0.043° 1分
16.波长范围在450～650 nm 之间的复色平行光垂直照射在每厘米有5000条刻线的光栅上，屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色光在屏上所占范围的宽度为35.1 cm ．求透镜
的焦距f ． (1 nm=10-9 m)
解：光栅常数d = 1m / (5×105) = 2 ×10-5m ．
2分
设λ1 = 450nm ，λ2 = 650nm, 则据光栅方程，λ1和λ2的第2级谱线有
d sin θ 1 =2λ1；dsin θ 2=2λ2
据上式得：θ 1 =sin -12λ1/d ＝26.74°
θ 2 = sin -12λ2 /d ＝40.54° 3分
第2级光谱的宽度 x 2 - x 1 = f (tg θ 2-tg θ 1)
∴ 透镜的焦距 f = (x 1 - x 2) / (tg θ 2 - tg θ 1) ＝100 cm ． 3分
17.设光栅平面和透镜都与屏幕平行，在平面透射光栅上每厘米有5000条刻线，用它来观察钠黄光（λ=589 nm ）的光谱线．
(1)当光线垂直入射到光栅上时，能看到的光谱线的最高级次k m 是
多少？(2)当光线以30°的入射角（入射线与光栅平面的法线的夹角）斜入
射到光栅上时，能看到的光谱线的最高级次m
k ' 是多少？ (1nm=10-9m)
解：光栅常数d=2×10-6
m 1分
(1) 垂直入射时，设能看到的光谱线的最高级次为k m ，则据光栅方程有
d sin θ = k m λ
∵ sin θ ≤１∴ k m λ / d ≤1 ，∴ k m ≤d / λ=3.39
∵ k m 为整数,有 k m =3 4分
(2) 斜入射时，设能看到的光谱线的最高级次为m
k '，则据斜入射时的光栅方程有 ()
λθm
k d '='+sin 30sin
d k m
/sin 2
1
λθ'='+ ∵ sin θ＇≤1 ∴ 5.1/≤'d k m
λ ∴ λ/5.1d k m ≤'=5.09
∵ m
k '为整数，有 m k '=5 5分
18. 一双缝，缝距d=0.40 mm，两缝宽度都是a=0.080 mm，用波长为λ=480 nm (1 nm = 10-9 m) 的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距f =2.0 m的透镜求：
(1) 在透镜焦平面处的屏上，双缝干涉条纹的间距l；
(2) 在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉亮纹数目N和相应的级数．
解：双缝干涉条纹：
(1) 第k级亮纹条件：d sinθ =kλ
第k级亮条纹位置：x k = f tgθ ≈f sinθ ≈kfλ / d
相邻两亮纹的间距：?x = x k+1－x k=(k＋1)fλ / d－kfλ / d=fλ / d
=2.4×10-3 m=2.4 mm 5分
(2) 单缝衍射第一暗纹：a sinθ1 = λ
单缝衍射中央亮纹半宽度：?x0 = f tgθ1≈f sinθ1
≈fλ / a＝12 mm
x0 / ?x =5
∴双缝干涉第±5极主级大缺级．3分
∴在单缝衍射中央亮纹范围内，双缝干涉亮纹数目N = 9 1分
分别为k = 0，±1，±2，±3，±4级亮纹1分或根据d / a = 5指出双缝干涉缺第±5级主大，同样得该结论的3分．。