wmo数学竞赛试题及答案

wmo数学竞赛试题及答案
一、选择题（每题2分，共10分）
1. 下列哪个数不是实数？
A. π
B. -3
C. √2
D. i
2. 如果一个数的平方等于它本身，那么这个数可能是：
A. 0
B. 1
C. -1
D. 所有选项都是
3. 一个圆的半径是5，那么它的面积是：
A. 25π
B. 50π
C. 75π
D. 100π
4. 以下哪个是二次方程的解？
A. x = 2
B. x = 3
C. x = 4
D. x = 5
5. 一个数列的前三项是1, 1, 2，如果每一项都是前两项之和，那么第四项是：
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
二、填空题（每题3分，共15分）
6. 如果一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么它的斜边长度是_________。

7. 一个数的立方根等于它自己，这个数可以是_________。

8. 如果一个函数f(x) = 2x + 3，那么f(-1)的值是_________。

9. 一个数的平方根是7，那么这个数是_________。

10. 一个等差数列的前三项是2, 5, 8，那么它的公差是_________。

三、解答题（每题5分，共20分）
11. 证明：对于任意的正整数n，n的立方与n的平方之和总是大于或等于n的两倍。

12. 解方程：2x^2 - 5x + 2 = 0。

13. 一个圆的周长是44π，求这个圆的半径。

14. 一个等比数列的前三项是2, 6, 18，求它的第四项。

四、综合题（每题10分，共20分）
15. 一个直角三角形的两条直角边长分别是a和b，斜边长是c。

如果a, b, c满足a^2 + b^2 = c^2，证明这个三角形是直角三角形。

16. 一个数列的前三项是1, 2, 3，如果每一项都是前一项的两倍加1，求这个数列的第10项。

参考答案
一、选择题
1. D
2. D
3. B
4. D
5. D
二、填空题
6. 5
7. 1, -1, 0
8. 1
9. 49
10. 3
三、解答题
11. 证明：由于n是正整数，根据算术平均数大于等于几何平均数的
性质，有：
\[ \frac{n^3 + n^2}{2} \geq \sqrt{n^3 \cdot n^2} = n^2 \] 因此，\( n^3 + n^2 \geq 2n^2 \)，即 \( n^3 \geq n^2 \)。

12. 解方程：使用求根公式，\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -
4ac}}{2a} \)，代入得：
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4} \]
所以，\( x = 2 \) 或 \( x = 1/2 \)。

13. 求半径：周长公式为 \( C = 2\pi r \)，代入得：
\[ 44\pi = 2\pi r \]
解得 \( r = 22 \)。

14. 求第四项：由于是等比数列，公比为3，所以第四项为 \( 18 \times 3 = 54 \)。

四、综合题
15. 证明：根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

由于 \( a^2 + b^2 = c^2 \)，所以。