江西省九江市彭泽人杰中学高一数学理月考试题含解析

江西省九江市彭泽人杰中学高一数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余地方种花，BC=a（a为定值），∠ABC=θ，△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面
积为S2，当取得最小值时，角θ的值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】三角形中的几何计算；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】据题知三角形ABC为直角三角形，根据三角函数分别求出AC和AB，求出三角形ABC的面积S1；设正方形PQRS的边长为x，利用三角函数分别表示出BQ和RC，利用BQ+QR+RC=a列出方程求出
x，算出S2；由比值，可设t=sin2θ来化简求出S1与S2的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值即可求出此时的θ．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB=acosθ，AC=asinθ，
S1=AB?AC=a2sinθcosθ．
设正方形的边长为x则 BP=，AP=xcosθ，
由BP+AP=AB，得+xcosθ=acosθ，故 x=
∴S2=x2=（）2
=?==+sin2θ+1，令t=sin2θ，因为 0＜θ＜，
∴0＜2θ＜π，则t=sin2θ∈（0，1]．
∴=+t+1=g（t），g′（t）=﹣+＜0，
∴函数g（t）在（0，1]上递减，
因此当t=1时g（t）有最小值 g（t）min=g（1）=，
此时sin2θ=1，θ=
∴当θ=时，最小，最小值为．
故选：B．
2. 已知函数是上的偶函数，满足，当时，
，则（）
Ａ．Ｂ．
Ｃ．D．
参考答案：
D
略
3. 在同一坐标系中，函数与的图象之间的关系是（）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称
C．关于原点对称D．关于直线y = x对称
参考答案：
B
4. 两直线3x+y-3=0 与6x+my+1=0 平行，则它们之间的距离为（）
A、 4
参考答案：
D
试题分析：由两直线平行可得直线3x+y-3=0变形为6x+2y-6=0，所以距离为
考点：两直线间的距离
5. 平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是直线m1和直线n1，给出下列四个命题：
①m1⊥n1?m⊥n；
②m⊥n?m1⊥n1；
③m1与n1相交?m与n相交或重合；
④m1与n1平行?m与n平行或重合．
其中不正确的命题个数是()
A．1 B．2
C．3 D．4
参考答案：
D
6. 已知数列{a n}的通项公式是a n=，那么这个数列是( )
A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．常数列
参考答案：
A
考点：数列的函数特性．
专题：等差数列与等比数列．分析：要判断数列的单调性，根据数列单调性的定义，只要判断a n与a n+1的大小，即只要判断a n+1﹣a n 的正负即可
解答：解：a n+1﹣a n=﹣=＞0，
∴a n+1＞a n．
a n＞0．
数列是递增数列．
故选：A．
点评：本题主要考查了数列的单调性的定义在解题中的应用，解题的关键是要灵活应用数列的单调性的定义，属于基础试题．
7. 下列四组函数中，表示同一函数的是（）
A．y=与y=x B．y=x0与y=1
C．y=2与y=D．y=x与y=（2
参考答案：
C
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．
【解答】解：A．y==|x|，两个函数的对应法则不一致，不是同一函数．
B．y=x0的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），两个函数的定义域不一致，不是同一函数．
C．y=2==，y==，两个函数的定义域都为（0，+∞），对应法则相同，是同一函数．
D．y=（2=x，定义域为[0，+∞），两个函数的定义域不一致，不是同一函数．
故选：C
【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．
8. 已知f（x）=，则f[f（1）]的值为（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
参考答案：
A
【考点】函数迭代；函数的值．
【专题】计算题．
【分析】由题意先求f（1）的值，然后再求f[f（1）]的值即可（注意看清要代入哪一段的解析式，避免出错）．
【解答】解：∵f（x）=，
∴f（1）=f（1﹣2）=f（﹣1）=（﹣1）2﹣1=0；
∴f[f（1）]=f（0）=﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查函数值的求法，注意要由里致外逐次求解．解决分段函数的求值问题时，一定要先看自变量在哪个范围内，再代入对应的解析式，避免出错．
9. 在直角坐标系中，直线的倾斜角为( )
A． B． C．
D．
参考答案：
A
，即，又，故.选A.
10. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是( ).A．至少有1名男生与全是女生 B．至少有1名男生与全是男生
C．至少有1名男生与至少有1名女生 D．恰有1名男生与恰有2名女生
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设是等差数列的前n项和，已知与的等比中项为，与的等差中项为1，则等差数列的通项为 .
参考答案：
a n =1或a
n =
12. 已知函数f (x )＝ax2－bx＋1，若a是从区间[0,2]上任取的一个数，b是从区间[0,2]上任取的一个数，则此函数在[1，＋∞)上递增的概率为________．
参考答案：
13. 已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为__________。

参考答案：
4,5,32.
14. 下列说法：
①向量，能作为平面内所有向量的一组基底；
②若，则；
③若△ABC中，，，则；
④已知数列{a n}，满足，，则；
⑤若，则△ABC定为等腰直角三角形；
正确的序号：_____．
参考答案：
④
【分析】
根据平面向量基本定理可判断①的真假；举出反例，可判断②为假；根据向量数量积运算，可判断③的真假；根据累加法求出，可判断出④的真假；根据正弦定理，可判断出⑤的真假；
【详解】①中，向量，满足，即，所以不能作为一组基底，即①错误；
②中，当为三角形内角时，由可得，所以；
当不是三角形内角时，若，则不一定大于；如，但
，所以②错误；
③因为中，，，，所以，
因此，即③错误；
④因为数列满足，，
所以，，…，，以上各式相加得，
所以，即④正确；
⑤若，则，
即，因为均为三角形内角，所以，即，则为直角三角形，所以⑤错误.
故答案为④
【点睛】本题主要考查命题真假的判定，熟记相关知识点即可，属于常考题型.
15. 已知x>0，由不等式≥2·=2，=≥=3, …，启发我们可以得出推广结论：≥n+1 (n∈N*)，则a=_________ ______
．
参考答案：
16. 设M 、P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为M －P ＝
{x|x ∈M 且}，若
，则M－(M--P)等于
参考答案：
17. 已知向量的夹角为，，，则．
参考答案：
2
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 本小题满分12分）
已知函数，[－1，1]．
⑴当时，求使f（x）=的x的值；
⑵求的最小值；
⑶关于的方程有解，求实数的取值范围．
参考答案：
令
⑴当a=1时，由f（x）=得：，解得.
由得x=; 由得x=1,
x=1,或.
⑵
, 在上单调递增,∴.
当时，
当时，
当时，，
∴
⑶方程有解，即方程在上有解，而∴，
可证明在上单调递减，上单调递增
为奇函数，∴当时
∴的取值范围是．
略
19. 已知，且．
（1）求的值.
（2）求的值.
参考答案：
20. 如图，在△ABC中，已知AB=3，BC=4，∠ABC=60°，BD为AC边上的中线．（1）设=， =，用，表示向量；
（2）求中线BD的长．
参考答案：
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．
【分析】（1）根据向量的平行四边形的法则即可求出，
（2）根据向量的模的计算和向量的数量积即可求出．
【解答】解：（1）∵设=， =，BD为AC边上的中线．
∴=（+）=（+），
（2）∵=（+），AB=3，BC=4，∠ABC=60°，
∴||2=（||2+||2+2?）=（||2+||2+2||?||cos60°）=
（9+16+2×3×4×）=，
∴||=，
故中线BD的长为．
【点评】本题考查了向量的加减几何意义以及向量的模的计算和向量的数量积公式，属于基础题．21. 如图，棱长为1的正方体
中，
（1）求证：;
(2) 求三棱锥的体积.
参考答案：
(1)证明：（3分）
在正方形中，, （5分）
（6分）
(2)解： (2)（12分）
略
22. 已知函数=定义域为=的定义域为(其中为常数).
(1)若,求及;
(2)若,求实数a的取值范围.
参考答案：
(1);=.(2)
试题分析：（1）先根据偶次根式非负得不等式，解不等式得A，B，再结合数轴求交，并，补（2）先根据得,再根据数轴得实数的取值范围.
试题解析：(1)若,则由已知有
因此;
,
所以=.
(2)∴,
又==
∴。