广东省高州市第三中学2019届高考模拟测试卷理科数学(一)

广东省高州市第三中学2019届高考模拟测试卷理科数学（一）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1. 答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在自己的答题卡和试卷规定的位置上.
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答案不能答在试卷上。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：
柱体的体积公式：v sh =，其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高. 圆柱的侧面积公式：s cl =，其中c 是圆柱的底面周长，是圆柱的母线长.
球的体积公式V=34
R 3
π, 其中R 是球的半径.
球的表面积公式：S=4π
R 2
,其中R 是球的半径.
用最小二乘法求线性回归方程系数公式12
21
ˆˆˆ,n
i i
i n i i x y nx y
b
a
y bx x nx
==-⋅==--∑∑ . 如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+.
第1卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数x y -=
2的定义域为M ，集合)}1lg(|{-==x y x N ，则)(=N M
（A ）)2,0[ （B ）)2,0( （C ）)2,1{ （D ）]2,1(
2．设复数ω＝－12＋32i ，则化简复数1
ω2的结果是( )
A ．－12－3
2i
B ．－12＋32i
C.12＋3
2
i
D.12－32
i 3．若sin αcos α＜0，则角α的终边在( ) A ．第二象限 B ．第四象限 C ．第二、四象限 D ．第三、四象限
4．曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ( ) A.19 B.29 C.13 D.23
5. 命题“若x ＝3，则x 2
－7x ＋12＝0”及其逆命题、否命题、逆否命题中正确的有( ) 个 A.0 B ．1 C ．2 D ．3
6.在（0，2π）内，使sin x>cos x 成立的x 的取值范围为 ( )
A.5(
,)(,)424ππ
ππ⋃ B.(,)4π
π C.5(,)44ππ D.53(,)(,)442
πππ
π⋃
7 已知a >0，b >0，则1a ＋1
b
＋2ab 的最小值是 ( )
A ．2
B ．2 2
C ．4
D ．5
8．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为2
1
，则该几何体的俯视图可以是
（ ）
第II 卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
9．如图所示的平面区域（阴影部分）用不等式表示为
10.点P （4，-2）与圆x 2+y 2
=4上任一点连线的中点轨迹方程是 11. 设函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2
的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是
12.设F 为抛物线y 2
=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA +FB +FC =0，则|FA |+
|FB |+|FC |的值为
13.某企业3个分厂同时生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h ，1 020 h ，1 032 h ，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值 为 h.
14.如图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有____个．
15.已知F 1、F 2是双曲线
22
169
x y -=1的焦点，PQ 是过焦点F 1的弦，那么｜PF 2｜+｜QF 2｜-｜PQ ｜的值
是 .
16.设R 上的偶函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0，且当0≤x ≤1时，f(x)=x,则f(7.5)= . 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17．（本小题满分12分）
已知()[sin())]cos()222
f x x x x θ
θθ
=+
++∙+.若θ∈［0,π］且f(x)为偶函数，求θ的值.
18.（本小题满分12分）
如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
(2)用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X 的分布列和数学期望．
19.（本小题满分12分）
已知DBC ∆∆和ABC 所在的平面互相垂直，且ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＤ，0120=∠=∠DBC CBA ，求： ⑴．直线AD 与平面BCD 所成角的大小； ⑵．直线AD 与直线BC 所成角的大小； ⑶．二面角A-BD-C 的余弦值．
20.（本小题满分12分） 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点,n S n n ⎛⎫
⎪⎝⎭
在直线11122y x =+上.数列{b n }满足b n+2-2b n+1+b n =0（n ∈N *
),且b 3=11,前9项和为153. (1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；
（2）设c n =3(2a n -11)(2b n -1),数列{c n }的前n 项和为T n ,求使不等式T n >57
k 对一切n ∈N *
都成立的最大正整数k 的值.
21．（本小题满分12分）设函数f (x )＝x 3
－6x ＋5，x ∈R. (1)求函数f (x )的单调区间和极值；
(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同实根，求实数a 的取值范围；
(3)已知当x ∈(1，＋∞)时，f (x )≥k (x －1)恒成立，求实数k 的取值范围．
22.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .
椭圆x 2a 2＋y 2
9
＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
(1)求圆C 的方程．
(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.D ．解析：由题得]2,(-∞=M ),1(+∞=N ]2,1(=∴N M 所以选择D. 2．B 解析∵ω2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝14－34－32i ＝－12－32i ，
∴
1ω2＝
1－12－3
2
i ＝－12＋3
2i. 3.C 解析：因为sin αcos α＜0，则sin α，cos α符号相反，即角α的终边在二、四象限． 4．A 解析：y ′＝x 2
＋1，曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线斜率k ＝12＋1＝2， 故曲线在点⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，43处的切线方程为y －43＝2(x －1)． 该切线与两坐标轴的交点分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，⎝
⎛⎭⎪⎫0，－23. 故所求三角形的面积是：12×13×23＝1
9
.故应选A.
5.C 解析：原命题和逆否命题，其他的是错误的，所以选C.
6.C 解析：在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在(0,2)π内，sin x>cos x,则x ∈5(
,)44
ππ
.
7.C 解析：因为1a ＋1
b ＋2ab ≥2
1
ab
＋2ab ≥4，当且仅当
时，等号成立，即a=b=1
时，不等式取最小值4.
8.C 解析：方法一：由题意可知当俯视图是A 时，即每个视图都是边长为1的正方形，那么此时几何体是立方体，体积是1，注意到题目体积是
2
1
，知其是立方体的一半，可知选C. 方法二：当俯视图是A 时，正方体的体积是1；当俯视图是B 时，该几何体是圆柱，底面积S=π×
2
21⎪⎭⎫ ⎝⎛=4
π
,高为1，则体积是4π；当俯视图是C 时，该几何体是直三棱柱，故体积是V=21×1×1×
1=
21；当俯视图是D 时，该几何体是圆柱切割而成，其体积是V= 4
π×12
×1=4π.故选C. 9. y-3x-3<0 解析：由图知直线斜率为正值，再用（0,0)代入验证.
10. （x-2）2+(y+1)2
=1 解析：设圆上任意一点为（x1,y1），中点为（x,y ），
则11114,24,2222,,2
x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨-=+⎩⎪=⎪⎩即代入x 2+y 2
=4得
(2x-4)2
+(2y+2)2
=4,化简得（x-2）2
+(y+1)2
=1.
11.(1,2) 解析：如图所示，当x ＝1时，x 3＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝2，所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －2>x 3；当x ＝2时，x 3
＝8，
⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝1，所以x 3>⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，所以y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的交点横坐标x 0满足1<x 0<2.故应选B. 12.6
解析：设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)、C(x 3,y 3)，
由于F(1,0),则FA =（x 1-1,y 1）, FB =（x 2-1,y 2）, FC =(x 3-1,y 3), 由FA +FB +FC =0得x 1-1+x 2-1+x 3-1=0,x 1+x 2+x 3=3. |FA |+|FC |+|FC |=x 1+x 2+x 3+3×
2
p
=3+3=6. 13.答案：1 013
解析：根据分层抽样原理，第一、二、三分厂抽取的产品数量分别为25，50，25，所以所求100件产品的平均寿命为100
25
103250102020980⨯+⨯+⨯=1 013 h.
14.答案：3
解析：当x≤2时，x 2
＝x ，有x ＝0或x ＝1；当2<x≤5时，2x －3＝x ，有x ＝3；当x>5时，x ＝1x
，x
无解．故可知这样的x 值有3个． 15.答案：16
解析：因为双曲线方程为
22
169
x y -=1, 所以2a=8.由双曲线的定义得
｜PF 2｜-｜PF 1｜＝2a=8, ① |QF 2|-|QF 1|=2a=8. ② ①+②,得
｜PF 2｜+｜QF 2｜-（｜PF 1｜+｜QF 1｜）＝16. 所以｜PF 2｜+｜QF 2｜-｜PQ ｜＝16. 16.答案：0.5
解析：因为f(x+2)+f(x)=0,所以f(x+4)+f(x+2)=0,
两式相减得f(x+4)=f(x),即f(x)是周期为T=4的周期函数. 又f(x)是偶函数，所以f(7.5)=f(-0.5)=f(0.5)=0.5.
17.
2()[sin())]cos()
222sin()cos()()
2221sin(2)cos(2)]2sin(2)3f x x x x x x x x x x θθθ
θθθ
θθπθ=++∙+=+∙+++=+++=+++解：
因为f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)， 即sin(2)sin(2),33x x π
πθθ-++=++得sin 2cos()0,3
x π
θ∙+= 所以cos()0.3
π
θ+
=又θ∈［0,π］,所以6
π
θ=
.
18.解 (1)A i 表示事件“甲选择路径L i 时，40分钟内赶到火车站”，B i 表示事件“乙选择路径L i 时，50分钟内赶到火车站”，i ＝1,2.
用频率估计相应的概率可得P (A 1)＝0.1＋0.2＋0. 3＝0.6，P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5， ∵P (A 1)>P (A 2)，∴甲应选择L 1；
P (B 1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8， P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
∵P (B 2)>P (B 1)，∴乙应选择L 2.
(2)A ，B 分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由(1)知P (A )＝0.6，
P (B )＝0.9，又由题意知，A ，B 独立，
∴P (X ＝0)＝P (A B )＝P (A )P (B )＝0.4×0.1＝0.04，
P (X ＝1)＝P (A B ＋A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42， P (X ＝2)＝P (AB )＝P (A )P (B )＝0.6×0.9＝0.54.
∴X 的分布列为
∴E (X )＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5(人)． 19.⑴如图，在平面ABC 内，过A 作AH ⊥BC ，垂足为H ， 则AH ⊥平面DBC ，∴∠ADH 即为直线AD 与平面BCD 所成的角
由题设知△AHB ≌△AHD ，则DH ⊥BH ，AH =DH ，∴∠ADH =45° ⑵∵BC ⊥DH ，且DH 为AD 在平面BCD 上的射影，
∴BC ⊥AD ，故AD 与BC 所成的角为90°
⑶过H 作HR ⊥BD ，垂足为R ，连结AR ，则由三垂线定理知，AR ⊥BD ，故∠ARH 为二面角A —BD —C 的平面角的补角 设BC =a ,则由题设知，AH =DH =
2,23a BH a =,在△HDB 中，HR =43
a ，∴tan ARH =HR
AH =2 故二面角A —BD —C 的余弦值的大小为5
5- 20.解（1）由已知得：n S n
11122n =+，所以S n =211122n n +. 当n ≥2时， a n =S n -S n-1=
22111111
(1)(1)2222
n n n n +--+-=n+5, 当n=1时，a 1=S 1=6也符合上式.
所以a n =n+5(n ∈N *
).
由b n+2-2b n+1+b n =0(n ∈N *
)知{b n }是等差数列. 由{b n }的前9项和为153，可得：199()
1532
b b +=， 求得b 5=17,又b 3=11, 所以{b n }的公差53
32
b b d -==,首项b 1=5,所以b n =3n+2. (2) 3111,(21)(63)22121n
c n n n n ⎛⎫
=
=- ⎪-+-+⎝⎭
所以1111111111.23352121221n T n n n ⎛⎫⎛⎫=
-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭
因为n 增大，T n 增大，所以{T n }是递增数列，
所以T n ≥T 1=
13. T n >57
k 对一切n ∈N *都成立，只要T 1=13>57k , 所以k<19,则k max =18. 即使不等式T n >57
k 对一切n ∈N *都成立的最大正整数为18. 21.解 (1)f ′(x )＝3x 2－6，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝ 2.
因为当x >2或x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <2时，f ′(x )<0.
所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调减区间为(－2，2)． 当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42；
当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2.
(2)由(1)的分析知y ＝f (x )的图象的大致形状及走向如图所示，当5－42<a <5＋42时，直线y ＝a 与y ＝f (x )的图象有三个不同交点，即方程f (x )＝a 有三个不同的解．
(3)f (x )≥k (x －1)，即(x －1)(x 2
＋x －5)≥k (x －1)．
因为x >1，所以k ≤x 2＋x －5在(1，＋∞)上恒成立．
令g (x )＝x 2＋x －5，此函数在(1，＋∞)上是增函数．
所以g (x )>g (1)＝－3.
所以k 的取值范围是k ≤－3.
22.解：（1）设圆心坐标为(m,n),则m<0,n>0,
所以圆C 的方程为(x+2)2+(y-2)2
=8.
因为圆与椭圆的交点在椭圆上，则2a=10,a=5. 所以椭圆的方程为22
259
x y =1.
(2)由椭圆22
259
x y +=1,所以F （4，0）， 若存在，则F 在OQ 的中垂线上，
又O 、Q 在圆C 上，所以O 、Q 关于直线CF 对称. 直线CF 的方程为y-2=-13
(x+2),即x+3y-4=0,
所以存在，Q 的坐标为412,55⎛⎫
⎪⎝⎭.。