安龙县第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

三、解答题
17．（本小题满分 13 分）
已知函数 f (x) ax3 3x2 1 ，
（Ⅰ）讨论 f (x) 的单调性；
（Ⅱ）证明：当
a

2
时，
f
(x)
有唯一的零点
x0
，且
x0
(0,
1) 2
．
18．从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离不小于该正方形边 长的概率为（ ） A B C D
安龙县第一中学 2018-2019 学年上学期高三数学 10 月月考试题
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 某种细菌在培养过程中，每 20 分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过 2 个小时，这种细菌由 1 个可繁
殖成（ ）
A．512 个
第一学期东台安丰中学高三第一次月考】若函数
f
x

{x
lnx,
x

在其定义域上恰有两
0
a
个零点，则正实数 a 的值为______．
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15．【2017-2018
学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数
f
x

ex

1 ex
，其中 e
为自然对数
的底数，则不等式 f x 2 f x2 4 0 的解集为________．
2
2
5． 空间直角坐标系中，点 A（﹣2，1，3）关于点 B（1，﹣1，2）的对称点 C 的坐标为（
D． 2
）
A．（4，1，1） B．（﹣1，0，5） C．（4，﹣3，1） D．（﹣5，3，4）
6． “ a b 3”是“圆 x2 y2 2x 6 y 5a 0 关于直线 y x 2b 成轴对称图形”的（ ）
p
是真命题.命题：函数
f
x
4 x
log3x
，
f
4 1
log
4 3

0
,
f
3

4 3
log33

0 ,且
f
x 在 3,4上是连续不断的曲线,所以函数
f
x 在区间 3,4内有零点，因此,命题是
假命题.因此只有 p (q) 为真命题．故选 A．
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是 A 样本数据都加 2 后所得数据，则 A，B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．标准差
8． 函数 y (a2 4a 4)ax 是指数函数，则的值是（ ）
A．4 B．1 或 3 C．3 D．1
9．
设F
x2 为双曲线 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 的右焦点，若 OF
16．某辆汽车每次加油都把油箱加满，如表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间
加油量（升）加油时的累计里程（千米）
2015 年 5 月 1 日 12
35000
2015 年 5 月 15 日48
35600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．
在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为 升．
f
(x)

4 x

log3
x
是单调函数,利用零点存在性定理判断出两端点异号,因此存在零点.
二、填空题
13．【答案】

,
1 e

【解析】结合函数的解析式：
y

2e x 1 e2x 1
可得：
y'

2ex1 1 e2x e2x 1 2
，
令 y′=0，解得：x=0，
(x
3)2

(y
1)2
1上，使得 APB

2
，则1
n

3 ；命题：函数
f
(x)

4 x
log3
x 在区间
(3,4) 内没有零点.下列命题为真命题的是（ ）
A． p (q)
B． p q
C． (p) q
D． (p) q
二、填空题
13．【常熟中学
2018
届高三
考点：复合命题的真假．
【方法点晴】本题考查命题的真假判断,命题的“或”、“且”及“非”的运算性质,同时也考查两圆的位置关
系和函数零点存在定理,属于综合题.由于点 P 满足 APB ,因此在以 AB 为直径的圆上,又点 P 在圆 2
(x 3)2 ( y 1)2 1 上，因此 P 为两圆的交点,利用圆心距介于两圆半径差与和之间,求出的范围.函数
x2
x
a 4x
3

0
，解得
x

3,
x

1,
x

a
，其对应的根分别为
x

3,

，所以
a

2
，故选
D.
考点：不等式与方程的关系.
5． 【答案】C
【解析】解：设 C（x，y，z），
∵点 A（﹣2，1，3）关于点 B（1，﹣1，2）的对称点 C，
∴
，解得 x=4，y=﹣3，z=1，
A 样本方差 S2= [（82﹣86）2+2×（84﹣86）2+3×（86﹣86）2+4×（88﹣86）2]=4，标准差 S=2，
B 样本方差 S2= [（84﹣88）2+2×（86﹣88）2+3×（88﹣88）2+4×（90﹣88）2]=4，标准差 S=2，D 正确
故选 D． 【点评】本题考查众数、平均数、中位标准差的定义，属于基础题． 8． 【答案】C 【解析】
10
月阶段性抽测（一）】已知函数
f
x

lnx x

x

aaR
，若曲线
y

2e x 1 e2x 1
（ e 为自然对数的底数）上存在点 x0 , y0 使得 f f y0 y0 ，则实数 a 的取值范围为__________.
x 2x , x 0,
14．【2017-2018
当 x>0 时，y′>0，当 x<0，y′<0，
则 x∈（-∞，0），函数单调递增，x∈（0，+∞）时，函数 y 单调递减，
则当 x=0 时，取最大值，最大值为 e，
∴y0 的取值范围（0，e]，
∴C（4，﹣3，1）．
故选：C．
6． 【答案】 A
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【
解
析
】
7． 【答案】D 【解析】解：A 样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88． B 样本数据 84，86，86，88，88，88，90，90，90，90 众数分别为 88，90，不相等，A 错． 平均数 86，88 不相等，B 错． 中位数分别为 86，88，不相等，C 错
A. 4
B. 2 5
C. 5
D. 2 2 5
【命题意图】本题考查空间几何体的三视图，几何体的侧面积等基础知识，意在考查学生空间想象能力和计算
能力．
11．某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（ ）
A． B．8 C． D．
12．已知在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0,n) ， B(0, n) （ n 0 ）.命题 p ：若存在点 P 在圆
4 （2）若△ABC 面积为 3，B＝60°，求 k 的值．
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安龙县第一中学 2018-2019 学年上学期高三数学 10 月月考试题（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：经过 2 个小时，总共分裂了 =6 次，
则经过 2 小时，这种细菌能由 1 个繁殖到 26=64 个． 故选：D． 【点评】本题考查数列的应用，考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题． 2． 【答案】B 【解析】
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19．在数列 中，
，
，其中
，
．
（Ⅰ）当
时，求
的值；
（Ⅱ）是否存在实数 ，使
构成公差不为 0 的等差数列？证明你的结论；
（Ⅲ）当
时，证明：存在
，使得
．
20．我省城乡居民社会养老保险个人年缴费分 100，200，300，400，500，600，700，800，900，1000（单位
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识，有一定的综合性，突出化归能力的考
查，属于中等难度．
7． 在某次测量中得到的 A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若 B 样本数据恰好
则
（
cosθ+
sinθ）=﹣1，
令 sinα=
，则 cosθ=
，
则方程等价为
sin（α+θ）=﹣1，
即 sin（α+θ）=﹣
，
∵存在 θ∈R，使得 xcosθ+ysinθ+1=0 成立，
∴|﹣
|≤1，即 x2+y2≥1，
则对应的区域为单位圆的外部，
由
，解得
，即 B（2，2 ），
A（4，0），则三角形 OAB 的面积 S= 直线 y= x 的倾斜角为 ， 则∠AOB= ，即扇形的面积为 ，
（2）在缴费 100：500 元之间抽取的 5 人中，随机选取 2 人进行到户走访，求这 2 人的年龄都在 40：59 岁之
间的概率．
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21．（本题 10 分）解关于的不等式 ax2 (a 1)x 1 0 .
22．（本小题满分 12 分）△ABC 的三内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ksin B＝sin A＋sin C（k 为 正常数），a＝4c. （1）当 k＝5时，求 cos B；
3． 已知 x，y∈R，且
，则存在 θ∈R，使得 xcosθ+ysinθ+1=0 成立的 P（x，y）构成的区域面
积为（ ）
A．4 ﹣ B．4 ﹣ C． D． +
4．
若关于的不等式
x2
xa 4x 3
0 的解集为 3
x 1或 x 2 ，则的取值为（
）
A．
1
B．
C． 1
的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到
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1 另一条渐近线的距离为 | OF | ，则双曲线的离心率为（ ）
2 A． 2 2 B． 2 3 C． 2 3 D．3
3
【命题意图】本题考查双曲线方程与几何性质，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、方程思想． 10．一个几何体的三个视图如下，每个小格表示一个单位, 则该几何体的侧面积为（ ）
底面面积为：
=4 ，
另一个侧面的面积为：
=4 ，
四个面中面积的最大值为 4 ； 故选 C．
12．【答案】A
【解析】
试题分析：命题 p ：APB ,则以 AB 为直径的圆必与圆 x 3 2 y 12 1有公共点,所以 2
n
1
2

n
1,解得1
n

3 ,因此,命题
试题分析：由于 cos8.5 cos8.5 2 ，因为 8.5 2 ，所以 cos8.5 0 ，又 sin 3 sin 3 sin1.5 ，∴
2 cos8.5 sin 3 sin1.5 ． 考点：实数的大小比较. 3． 【答案】 A 【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形 OAB， 若存在 θ∈R，使得 xcosθ+ysinθ+1=0 成立，
：元）十个档次，某社区随机抽取了 50 名村民，按缴费在 100：500 元，600：1000 元，以及年龄在 20：39
岁，40：59 岁之间进行了统计，相关数据如下：
20﹣39 40﹣59 总计
100﹣500 元 10 15 25
600﹣1000 6 19 25
总计 16 34 50
（1）用分层抽样的方法在缴费 100：500 元之间的村民中随机抽取 5 人，则年龄在 20：39 岁之间应抽取几人？
× =4 ，
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则 P（x，y）构成的区域面积为 S=4 ﹣ ， 故选：A
【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件作出对应的图象，求出对应的面积是解决本题的关键．综合
性较强． 4． 【答案】D
【解析】
试题分析：由题意得，根据不等式与方程的关系可知，不等式解集的端点就是对应的方程的根，可得方程
B．256 个
C．128 个
D．64 个
2． sin 3 ，sin1.5 ，cos8.5 的大小关系为（ ）
A． sin1.5 sin 3 cos8.5
B． cos8.5 sin 3 sin1.5
C. sin1.5 cos8.5 sin 3
D． cos8.5 sin1.5 sin 3
考点：指数函数的概念．
9． 【答案】B
【
解
析
】
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10．【答案】B
11．【答案】C 【解析】 【分析】通过三视图分析出几何体的图形，利用三视图中的数据求出四个面的面积中的最大值． 【解答】解：由题意可知，几何体的底面是边长为 4 的正三角形，棱锥的高为 4，并且高为侧棱
垂直底面三角形的一个顶点的三棱锥， 两个垂直底面的侧面面积相等为：8，