【北师大版】高中数学必修三期末一模试卷及答案(2)

一、选择题
1．继刘徽之后，祖冲之为求得更精确的圆周率而作了艰苦卓绝的努力.据《惰书》记载，他已算得3.1415926 3.1415927π<<.他还得到圆周率的两个近似分数值355113
和22
7，并
称
355113
为密率，22
7为约率，他的圆周率小数值则被后世称为祖率.现用随机模拟的方法得
到圆周率，从区间[0,1]随机抽取2000个数，构成1000个数对(,)x y ，其中两数的平方和
小于1的数对(,)x y 共有785个，则用随机模拟的方法得到的π的近似值为（ ） A ．
3141
1000
B ．
355
113
C ．
157
50
D ．
227
2．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A ．316
B ．38
C ．
14
D ．
18
3．口袋里装有大小相同的5个小球，其中2个白球，3个红球，现一次性从中任意取出3个，则其中至少有1个白球的概率为（ ） A ．
910
B ．
710
C ．
310
D ．
110
4．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为 A ．
25
B ．
35
C ．38
D ．
58
5．如图是求样本数据方差S 的程序框图，则图中空白框应填入的内容为（ ）
A．
()2
8
i
S x x
S
+-
=B．
()2
(1)
8
i
i S x x
S
-+-
=
C．
()2
i
S x x
S
i
+-
=D．
()2
(1)
i
i S x x
S
i
-+-
=
6．执行如图所示的程序框图，如果输入4
n=，则输出的结果是（）
A．3
2
B．
11
6
C．
25
12
D．
137
60
7．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y的值为2，则输入的x的值为（）
A ．
74
B ．
5627
C ．2
D ．
164
81
8．如图，执行程序框图后，输出的结果是（ ）
A ．140
B ．204
C ．245
D ．300
9．为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩进行统计，作出的茎叶图如图所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是( )
A ．中位数为83
B ．众数为85
C ．平均数为85
D ．方差为19
10．某中学有学生300人，其中一年级120人，二，三年级各90人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一，二，三年级依次统一编号为1,2，…，300；使用系统抽样时，将学生统一编号为1,2，…，300，并将整个编号依次分为10段．如果抽得的号码有下列四种情况：
①7,37,67,97,127,157,187,217,247,277； ②5,9,100,107,121,180,195,221,265,299； ③11,41,71,101,131,161,191,221,251,281； ④31,61,91,121,151,181,211,241,271,299． 关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ） A ．②④都不能为分层抽样 B ．①③都可能为分层抽样 C ．①④都可能为系统抽样 D ．②③都不能为系统抽样
11．下列说法正确的是（ ）
①设某大学的女生体重(kg)y 与身高(cm)x 具有线性相关关系，根据一组样本数据
(,)(1,2,3,,)i i x y i n =，用最小二乘法建立的线性回归方程为0.8585.71y x =- ，则若
该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg ；
②关于x 的方程210(2)x mx m -+=>的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ③过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为原点，若1
()2
OP OA OB =+，则动点P 的轨迹为椭圆；
④已知F 是椭圆22
143x y +=的左焦点，设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于
3，则直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围是3333
(,)(
,)282
-∞-. A ．①②③ B ．①③④
C ．①②④
D ．②③④
12．若某中学高二年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数是
（ ）
A ．90.5
B ．91.5
C ．90
D ．91
二、填空题
13．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_______.
14．如图所示，分别以,,A B C 为圆心，在ABC 内作半径为2的三个扇形，在ABC 内任取一点P ，如果点P 落在这三个扇形内的概率为1
3
，那么图中阴影部分的面积是____________.
15．在正方体的12条面对角线和4条体对角线中随机地选取两条对角线,则这两条对角线所在的直线为异面直线的概率等于________.
16．执行如图所示的程序框图，若
1
ln2
a=，
2
2
b
e
=，
ln2
2
c=（其中e是自然对数的
底），则输出的结果是__________．
17．执行如图所示的程序框图，输出的S值为__________.
18．将二进制数110 101（2）转为七进制数，结果为________．
19．某地区共有4所普通高中，这4所普通高中参加2018年高考的考生人数如下表所
示：
学校A高中B高中C高中D高中参考人数80012001000600
现用分层抽样的方法在这4所普通高中抽取144人，则应在D高中中抽取的学生人数为
_______．
20．一组样本数据按从小到大的顺序排列为：1-，0，4，x，y，14，已知这组数据的
平均数与中位数均为5，则其方差为__________．
三、解答题
21．“地摊经济”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号，某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据()(),1,2,3,4,5,6i i x y i =，如表所示：
已知611806i i y y ===∑，613050i i i x y ==∑，6
2
1
271i i x ==∑，
（1）试求q ，若变量x ，y 具有线性相关关系，求产品销量y （件）关于试销单价x
（元）的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+； （2）用i y 表示用（1）中所求的线性回归方程得到的与i x 对应的产品销量的估计值．当销售数据(),i i x y 对应的残差的绝对值1i i y y -≤时，则将销售数据(),i i x y 称为一个“好数据”．现从6个销售数据中任取2个，求恰好2个都是“好数据”的概率．
（参考公式：线性回归方程中ˆb ，ˆa 的最小二乘估计分别为1
22
1
ˆn
i i
i n
i
i x y nxy
b x
nx ==-=-∑∑，
ˆˆa
y bx =-） 22．一次考试结束后，随机抽查了某校高三（1）班5名同学的数学与物理成绩如下表：
（Ⅰ）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定；
（Ⅱ）从以上5名同学中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率.
23．已知数列{}n a 的递推公式11
1
n n n a a a --=
+，且11a =，请画出求其前10项的流程图. 24．公司出售软磁盘,购买500片和500片以上时,按4.5元计价,否则以每片5元计价,请用流程图表示按输入磁盘片数计算不同的收费金额.
25．为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的用电量都在50kW·h 至350kW·h 之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示．
（I ）求a 的值；
（Ⅱ）求被调查用户中，用电量大于250kW·
h 的户数； （III ）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯定价，希望使80%的居民缴费在第一档（费用最低），请给出第一档用电标准（单位：kW·h ）的建议，并简要说明理由．
26．某公司开发了一件新产品，为了研究销售量与单价的关系，进行了市场调查，并获得了销售量y 与单价x 的样本，且进行了数据处理(如表)，作出散点图.
x
y
w
10
2
1
()
i
i x x =-∑
10
2
1
()
i
i w w =-∑
101
()()i
i
i x x y y =--∑ 10
1
()()i
i
i w w y
y =--∑
1.47 20.6 0.78
2.35 0.81 19.3- 16.2
表中2i i w x =，1
10i i w w ==∑.
（1）根据散点图判断，y bx a =+与2d
y c x
=+哪一个更适宜作为y 关于x 的回归方程类型？(不必说明理由)
（2）根据（1）的结论和表中数据，在最小二乘法原理下，建立y 关于x 的回归方程； （3）利用第（2）问求得的回归方程，试估计单价x 范围为多少时，该商品的销售额不小于25？(销售额=销量⨯单价)
附：对于一组数据1(u ，1)ν，2(u ，2)ν，3(u ，3)ν，(n u ⋯，)n ν，其回归直线
ˆˆˆu να
β=+的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为1
2
1
()()
()
ˆn
i
i i n
i
i v u u u u ν
β==--=-∑∑，
ˆˆv u α
β=-.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C 解析：C 【分析】
先作出事件对应的平面区域，再利用几何概型和随机模拟求解. 【详解】
由题得0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，对应的区域为图中的正方形OABC 区域，
事件A ：2201011x y x y ≤≤⎧⎪
≤≤⎨⎪+<⎩对应的区域为图中的扇形OAC 区域，
由题得2
117851574
==10001150
ππ⋅∴⨯，. 用随机模拟的方法得到的π的近似值为157
50
. 故选：C 【点睛】
方法点睛：几何概型的解题步骤：首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件A 构成的区域长度（角度、弧长等），最后代几何概型的概率公式；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件A 分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式.
2．A
解析：A 【解析】
设2AB =，则1BC CD DE EF ====. ∴1221
2224
BCI S ∆=
⨯⨯=，112242BCI EFGH S S ∆==⨯=平行四边形
∴所求的概率为113422216
P +
=
=⨯ 故选A. 3．A
解析：A 【分析】
根据题意,求出总的基本事件数和至少有1个白球包含的基本事件数,然后利用古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】
由题意可知,从5个大小相同的小球中,一次性任意取出3个小球包含的总的基本事件数为
n =35C 10=,
一次性任意取出的3个小球中,至少有1个白球包含的基本事件数为1221
23239m C C C C =+=,
由古典概型的概率计算公式得,一次性任意取出的3个小球中,至少有1个白球的概率为
910m P n =
=. 故选:A 【点睛】 本题考查利用组合数公式和古典概型的概率计算公式求随机事件的概率；正确求出总的基本事件数和至少有1个白球包含的基本事件数是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
4．D
解析：D 【分析】
直接列举出所有的抽取情况，再列举出符合题意的事件数，即可计算出概率。

【详解】
从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数为4416n =⨯=，即()()()()
()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,4,1,4,2,4,3,4,4，
抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的基本事件数为10m =，即
()()()()()()()()()()1,1,2,1,3,1,4,1,2,2,3,2,4,2,3,3,4,3,4,4，
故所求概率105
168
m P n ===，故选D 。

【点睛】
本题主要考查古典概型概率的求法。

5．D
解析：D 【分析】
由题意知该程序的作用是求样本128,,
,x x x 的方差，由方差公式可得.
【详解】
由题意知该程序的作用是求样本128,,,x x x 的方差，
所用方法是求得每个数与x 的差的平方，再求这8个数的平均值，
则图中空白框应填入的内容为：
()2
(1)i i S x x S i
-+-=
故选：D 【点睛】
本题考查了程序框图功能的理解以及样本方差的计算公式，属于一般题.
6．B
解析：B 【分析】
根据题意，运行程序可实现111112341
S n =++++⋯+-运算求值，从而得答案． 【详解】
第一次执行程序，1,2S i ==， 第二次执行程序，1
1,32
S i =+=， 第三次执行程序，11
1,423
S i =+
+=， 因为44=，满足条件，跳出循环，
输出结果116
S =. 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于容易题．
7．C
解析：C 【分析】
根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】
34y x =-，1i =；34916y y x =-=-，2i =；342752y y x =-=-，3i =；
3481160y y x =-=-，4i =；34243484y y x =-=-，此时不满足3i ≤，跳出循
环，
输出结果为243484x -，由题意2434842y x =-=，得2x =． 故选:C 【点睛】
本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力.
8．B
解析：B 【分析】
根据程序框图列举出算法的每一步，可得出输出结果. 【详解】
18n =>不成立，执行第一次循环，211b ==，011s =+=，112n =+=； 28n =>不成立，执行第二次循环，224b ==，145s =+=，213n =+=； 38n =>不成立，执行第三次循环，239b ==，5914s =+=，314n =+=； 48n =>不成立，执行第四次循环，2416b ==，141630s =+=，415n =+=； 58n =>不成立，执行第五次循环，2525b ==，302555s =+=，516n =+=； 68n =>不成立，执行第六次循环，2636b ==，553691s =+=，617n =+=； 78n =>不成立，执行第七次循环，2749b ==，9149140s =+=，718=+=n ； 88n =>不成立，执行第八次循环，2864b ==，14064204s =+=，819n =+=； 98n =>成立，跳出循环体，输出s 的值为204，故选B. 【点睛】
本题考查程序框图运行结果的计算，一般利用算法程序框图将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于中等题.
9．C
解析：C 【解析】
试题分析：A 选项，中位数是84；B 选项，众数是出现最多的数，故是83；C 选项，平均数是85，正确；D 选项，方差是
，错误．
考点：•茎叶图的识别 相关量的定义
10．B
解析：B 【分析】
根据系统抽样和分层抽样的定义分别进行判断即可. 【详解】
若采用简单随机抽样，根据简单随机抽样的特点，1~300之间任意一个号码都有可能出现；
若采用分层抽样，则1~120号为一年级，121~210为二年级，211~300为三年级.且根据分层抽样的概念，需要在1~120之间抽取4个，121~210与211~300之间各抽取3个； 若采用系统抽样，根据系统抽样的概念，需要在1~30，31~60，61~90，91~ 120，121~150，151~180，181~210，211~240，241~270，271~300之间各抽一个.
①项，1~120之间有 4个，121~210之间有 3个，211~300之间有 3个，并且满足系统抽样的条件，所以①项为系统抽样或分层抽样；
②项，1~120之间有 4个，121~210之间有 3个，211~300之间有 3个，可能为分层抽样；
③项，1~120之间有 4个，121~210之间有 3个，211~300之间有 3个，并且满足系统抽样的条件，所以③项为系统抽样或分层抽样；
④项，第一个数据大于30，所以④项不可能为系统抽样，并且④项不满足分层抽样的条件.
综上所述，B选项正确.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查系统抽样和分层抽样，掌握系统抽样和分层抽样的定义是解题的关键，属于基础题.
（1）系统抽样适用于总体容量较大的情况.将总体平均分成若干部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，在起始部分抽样时采用简单随机抽样；
（2）分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的.将总体分成互不交叉的层，然后分层进行抽取，各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样.
11．C
解析：C
【分析】
利用线性回归方程系数的几何意义，圆锥曲线离心率的范围，椭圆的性质，逐一判断即可.【详解】
①设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为y∧=0.85x﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，正确；
②关于x的方程x2﹣mx+1＝0（m＞2）的两根之和大于2，两根之积等于1，故两根中，一根大于1，一根大于0小于1，故可分别作为椭圆和双曲线的离心率．正确；
③设定圆C的方程为（x﹣a）2+（x﹣b）2＝r2，其上定点A（x0，y0），设B（a+r cosθ，b+r sinθ），P（x，y），
由
1
2
OP =（OA OB
+）得
2
2
x a rcos
x
y b rsin
y
θ
θ
++
⎧
=
⎪⎪
⎨
++
⎪=
⎪⎩
，消掉参数θ，得：（2x﹣x0﹣a）2+（2y
﹣y0﹣b）2＝r2，即动点P的轨迹为圆，∴故③不正确；
④由
22
1
43
x y
+=，得a2＝4，b2＝3，
∴1
c==．则F（﹣1，0），
如图：过F作垂直于x轴的直线，交椭圆于A（x轴上方），则x A＝﹣1，
代入椭圆方程可得
3
2
A
y=．
当P 为椭圆上顶点时，P （0FP k =32
OA k =-
， ∴当直线FP 时，直线OP 的斜率的取值范围是3
2⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭
，
．
当P 为椭圆下顶点时，P （0，
∴当直线FP 时，直线OP 的斜率的取值范围是（
8
，3
2），
综上，直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围是32⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭，
∪，32）． 故选C 【点睛】
本题以命题真假的判断为载体，着重考查了相关系数、离心率、椭圆简单的几何性质等知识点，属于中档题．
12．A
解析：A 【分析】
共有8个数据，中位数就是由小到大中间两数的平均数，求解即可. 【详解】
根据茎叶图，由小到大排列这8个数为84，85，89，90，91，92，93，95， 所以中位数为90+91
=90.52
，故选A. 【点睛】
本题主要考查了中位数，茎叶图，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】利用定积分求得阴影部分的面积然后利用几何概型的概率计算公式即可求解【详解】由题意结合定积分可得阴影部分的面积为由几何概型的计算公式可得黄豆在阴影部分的概率为【点睛】本题主要考查了定积分的几何
解析：1
3
【分析】
利用定积分求得阴影部分的面积，然后利用几何概型的概率计算公式，即可求解． 【详解】
由题意，结合定积分可得阴影部分的面积为31
120021
(1()|33
S dx x x =-=-=⎰， 由几何概型的计算公式可得，黄豆在阴影部分的概率为
1
13113
p ==⨯．
【点睛】
本题主要考查了定积分的几何意义求解阴影部分的面积，以及几何概型及其概率的计算问题，其中解答中利用定积分的几何意义求得阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
14．【分析】先求出三块扇形的面积再由概率计算公式求出的面积进而求出阴影部分的面积【详解】∵∴三块扇形的面积为:设的面积为∵在内任取一点点落在这三个扇形内的概率为∴图中阴影部分的面积为:故答案为:【点睛】 解析：4π
【分析】
先求出三块扇形的面积,再由概率计算公式求出ABC ∆的面积,进而求出阴影部分的面积. 【详解】
∵180A B C ︒++=, ∴三块扇形的面积为:2
1
222
ππ⨯⨯=, 设ABC 的面积为S ,
∵在ABC 内任取一点P ,点P 落在这三个扇形内的概率为
13
, 21
63
S S ππ∴
=⇒=, ∴图中阴影部分的面积为:624πππ-=, 故答案为:4π. 【点睛】
本题主要考查几何概型的应用,属于几何概型中的面积问题,难度不大.
15．【分析】将异面直线分为两种情况：（1）两条面对角线是异面直线（2）一条面对角线和一条体对角线是异面直线由此分别计算出满足要求的方法数最后即可计算出相应概率【详解】由于4条体对角线都经过正方体的中心所 解析：
920
【分析】
将异面直线分为两种情况：（1）两条面对角线是异面直线，（2）一条面对角线和一条体对角线是异面直线，由此分别计算出满足要求的方法数，最后即可计算出相应概率. 【详解】
由于4条体对角线都经过正方体的中心,所选的两条对角线至少包含一条面对角线： ①两条对角线都是面对角线：任取1条面对角线，剩余的11条面对角线中，有5条与之异面,考虑重复选取，125
302
⨯∴
=(种)； ②一条面对角线一条体对角线：任取1条面对角线，有2条体对角线与之异面，∴12224⨯=(种)
∴概率为
2
1630249
20
C +=. 故答案为：920
. 【点睛】
本题考查异面直线的理解以及用排列组合的方法计算概率，难度一般.排列组合的方法计算相应概率时，可采用古典概型的概率计算方法：先计算出基本事件的总数，然后计算出满足要求的基本事件的数量，此时P =
满足要求的基本事件数量
基本事件的总数
.
16．（注：填也得分）【解析】分析：执行如图所示的程序框图可知该程序的功能是输出三个数的大小之中位于中间的数的数值再根据指数函数与对数函数的性质得到即可得到输出结果详解：由题意执行如图所示的程序框图可知该
解析：
ln 2
2
（注：填c 也得分）. 【解析】
分析：执行如图所示的程序框图可知，该程序的功能是输出,,a b c 三个数的大小之中，位于中间的数的数值，再根据指数函数与对数函数的性质，得到b c a <<，即可得到输出结果.
详解：由题意，执行如图所示的程序框图可知，
该程序的功能是输出,,a b c 三个数的大小之中，位于中间的数的数值， 因为212ln 2,,ln 22a b c e =
==，则221ln 21132ln 2
e <<<<，即b c a <<， 所以此时输出ln 2
2
c =
. 点睛：识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合．
17．37【解析】根据图得到：n=18S=19n=12S=31n=6S=37n=0判断得到n>0不成立此时退出循环输出结果37故答案为：37
解析：37 【解析】
根据图得到：n=18,S=19,n=12 S=31,n=6,
S=37,n=0,判断得到n>0不成立，此时退出循环，输出结果37. 故答案为：37.
18．【解析】试题分析：把十进制的化为七进制则所以结果为考点：进位制 解析：7104（）
【解析】
试题分析：2
4
5
(2)110101112121253=+⨯+⨯+⨯=，把十进制的53化为七进制，则
5377
4÷=，7710÷=，1701÷=，所以结果为(7)104．
考点：进位制．
19．24【分析】计算出高中人数占总人数的比例乘以得到在高中抽取的学生人数【详解】应在高中抽取的学生人数为【点睛】本小题主要考查分层抽样考查频率的计算属于基础题
解析：24 【分析】
计算出D 高中人数占总人数的比例，乘以144得到在D 高中抽取的学生人数. 【详解】
应在D 高中抽取的学生人数为600
1442480012001000600
⨯=+++．
【点睛】
本小题主要考查分层抽样，考查频率的计算，属于基础题.
20．【解析】分析：根据中位数为求出是代入平均数公式可求出从而可得出平均数代入方差公式得到方差详解中位数为这组数据的平均数是可得这组数据的方差是故答案为点睛：本题主要考查平均数与方差属于中档题样本数据的算 解析：
743
【解析】
分析：根据1,0,4,,,14x y -中位数为5，，求出x 是6 ，代入平均数公式，可求出7y =，从而可得出平均数，代入方差公式，得到方差. 详解
1,0,4,,7,14x -中位数为45,52
x
+∴
=，6x ∴=，∴这组数据的平均数是104614
56y -+++++=，7y =可得这组数据的方差是
()17436251148163+++++=，故答案为743
. 点睛：本题主要考查平均数与方差，属于中档题.样本数据的算术平均数公式为
12n 1
(x +x +...+x )x n
=
．样本方差2222121[()()...()]n s x x x x x x n =-+-++-，
标准差s =
三、解答题
21．（1）90q =；ˆ4106y
x =-+；（2）1
5
． 【分析】
（1）根据6
1
1806i i y y ===∑，可求得90q =，再由散点图判断变量x ，y 具有线性相关关
系，然后分别求得ˆ,b
a 的值，写出线性回归方程. （2）利用（1）中所求的线性回归方程，分别求得,1,2,3,4,5,6i x i =的估计值，再根据
()11,2,,6i i y i y -≤=⋯找出“好数据”，利用古典概型的概率求法求解.
【详解】
（1）因为6
1
1806i i y y ===∑，
所以()1
8483807568806
q +++++=，
解得90q =．
散点图如下：
由散点图可知：变量x ，y 具有线性相关关系，
()
6
1
6
2
21
30506 6.58070
ˆ4271253.517.5
i i
i i
i x y nxy
b
x
n x ==--⨯⨯==
=-=---∑∑，
ˆˆ804 6.5106a
y bx =-=+⨯=， 所以线性回归方程为ˆ4106y
x =-+． （2）由（1）中所求的线性回归方程ˆ4106y
x =-+可得：
当14x =时，190y =；当25x =时，286y =；当36x =时，382y =；当47x =时，
478y =；当58x =时，574y =；当69x =时，670y =．
与销售数据对比可知满足()11,2,,6i i y i y -≤=⋯的共有3个“好数据”：()4,90、
()6,83、()8,75．
从6个中选两个共有2615C =个不同的选法，恰好2个都是“好数据”的情况共2
33C =种，
所以从6个销售数据中任取2个，求恰好2个都是“好数据”的概率：31155
P ==． 【点睛】
本题主要考查回归直线方程的求法及应用，古典概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
22．（Ⅰ）数学平均分为93, 方差为8；物理平均分为90，方差为24
5
，物理成绩比数学成绩稳定；（Ⅱ）710
. 【分析】
（Ⅰ）根据公式直接计算平均值和方差得到答案.
（Ⅱ）列出所有情况共有10个，满足条件的共有7个，得到概率. 【详解】
（Ⅰ）5名学生数学成绩的平均分为：()1
8991939597935
++++=， 5名学生数学成绩的方差为：
()()()()()22222
18993919393939593979385⎡⎤-+-+-+-+-=⎣
⎦， 5名学生物理成绩的平均分为：()1
8789899293905
++++=， 5名学生物理成绩的方差为：
()()()()()22222
1248790899089909290939055⎡⎤-+-+-+-+-=⎣
⎦， 因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大，所以估计高三（1）班总体物理成绩比数学成绩稳定.
（Ⅱ）设选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分为事件A ，
5名学生中选2人包含基本事件有：12A A ，13A A ，41A A ，15A A ，23A A ，24A A ，
25A A ，34A A ，35A A ，45A A ，共10个.
事件A 包含基本事件有：41A A ，15A A ，24A A ，25A A ，34A A ，35A A ，45A A ，共7个. 则()7
10
P A =
所以5名学生中选2人，选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率为
7 10
.
【点睛】
本题考查了平均值和方差，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.
23．流程图见解析
【分析】
由数列的递推公式可知，该数列由前项推出后项，可用循环结构的流程图来表示．在画流程图之前,先将上述流程分解为若干比较明确的步骤,并确立这些步骤之间的关系即可画出流程图.
【详解】
流程图如图：
【点睛】
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，流程图，主要考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题型．
24．见解析
【解析】
分析：根据题意为分段函数模型，利用判断框，写出程序框图．
详解：流程图如下图所示:
点睛：分段函数模型，主要是利用判断框，对定义域进行区分处理．
25．（I ）0.006；（Ⅱ）18；（III ）245.5 kW·h.
【分析】
（1）根据频率和为1计算出a 的值；
（2）根据频率分布直方图计算出“用电量大于250kW·h”的频率，再将该频率乘以对应的总户数即可得到结果；
（3）根据频率分布直方图计算出频率刚好为0.8时对应的月用电量，由此可得到第一档用电标准.
【详解】
（1）因为()0.00240.00360.00440.00240.0012501a +++++⨯=，所以0.006a =； （2）根据频率分布直方图可知：“用电量大于250kW·h”的频率为
()0.00240.0012500.18+⨯=，
所以用电量大于250kW·
h 的户数为：1000.1818⨯=， 故用电量大于250kW·
h 有18户； （3）因为前三组的频率和为：()0.00240.00360.006500.60.8++⨯=<，
前四组的频率之和为()0.00240.00360.0060.0044500.820.8+++⨯=>，
所以频率为0.8时对应的数据在第四组， 所以第一档用电标准为：0.80.620050245.50.22
-+
⨯≈kW·h. 故第一档用电标准为245.5 kW·h. 【点睛】
本题考查频率分布直方图的综合应用，主要考查利用频率分布直方图进行相关计算，对学生读取图表信息和计算能力有一定要求，难度一般.
26．（1）2d y c x =+
更适宜；（2）2205y x
=+；（3）01x <或4x . 【分析】
（1）根据散点图，即可判断出； （2）先建立中间量21w x
=
，建立y 关于w 的线性回归方程，根据最小二乘法求出系数c ，d ，问题得以解决；
（3）根据预报值求出z ，再根据题意列不等式即可得求出答案. 【详解】
解：（1）2d y c x =+
更适宜作销量y 关于单价x 的回归方程类型； （2）设2
1w x =，则y c dw =+， 由最小二乘法求系数公式可得：
10
11021()()16.2200.81
()ˆi i
i i
i w w y y d w w ==--===-∑∑， ·20.ˆˆ6200.785c y d w =-=-⨯=， 所以所求回归方程为2205y x =+
； （3）设销售额为z ， 则205,(0)z xy x x x
==+>， 20525z xy x x
==+，即2540x x -+， 解得01x <或4x ，
当单价x 范围为01x <或4x 时，该商品的销售额不小于25.
【点睛】
本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题.。