chapter 31 一维定态问题(上)

⎪⎩ 0，
x ≥a
另一组解为：
ψn
=
⎧⎪B cos ⎨
nπ
2a
x，
n
=
2k
+ 1,
x
<
a
⎪⎩ 0，
x ≥a
(12)
(11)和(12)两式可合并为一个式子
ψn
=⎪⎨⎧A′(sin
nπ
2a
xcos
nπ
2
+cos
nπ
2a
xsin
nπ
2
)
=
A′sin
nπ
2a
(x+a),
x <a
⎪⎩
0,
x ≥a
n = 1, 2 , 3, ⋅ ⋅ ⋅,
在该例中，粒子被束缚在阱内。通常把在
无限远处为零的波函数所描写的状态称为束 缚态(即粒子被约束于空间的有限区域)。一 般地，束缚态所属能级是分立的;
粒子的最低能级称为基态。在本例中是
n=1的态。基态能量为
E1
=
π2
8m a 2
≠
0，称为零点
能量，与经典粒子不同，这正是微观粒子波
动性的表现，“静止”波是没有意义的 ；
b.若势函数 V(r) 具有一阶奇点，则在奇点处波
函数Ψ连续，但波函数对空间坐标一级微商 Ψ'
不连续。但在非相对论量子力学中，在薛定谔方 程的意义下，粒子不能穿透势能为无穷大的空间 区域，故在这些区域内 Ψ＝0 ，但在该区域的边 界上，Ψ 仍然是连续函数。
现令 Ui为第i个区域中(i=1,2,….n)U(x)的(常数)
(15)
2i
将上式中的正弦函数写成指数函数，于是有
ψ n (x,t)
=
i
C1e
(n π
2a
x−Ent )
+
−i
C2e
(n π
2a
x−Ent )
(16)
由左向右传播行波
由右向左传播行波
由此可知，ψn(x,t) 是两个沿相反方向传播的平面
波叠加而成的驻波。(边界条件ψ (±a) = 0，使其
解就像一根两端固定弦，满足波动方程的解是 一系列驻波。)
(5)
由此得到， Asinαa =0,Bcosαa =0
(6)
A和B不能同时为零，否则 ψ 到处为零，这在
物理上是没有意义的。因此我们得到两组解:
A = 0, cosα a = 0
(7)
B = 0,sin α a = 0
(8)
由此可求得:
αa = n π , n = 1, 2,3...
(9)
2
对于第一组解（7），n为奇数；对于第二组
采用符号
2
V (x) = U(x)
(3)
2m
以及
2
E=
ε
(4)
2m
得到
d2 ψ
dx2
( x ) + ⎡⎣ ε − U ( x )⎤⎦ ψ
=0
(5)
这是一个斯图姆（Sturm）-刘维型的二阶
微分方程，我们想找出它在(−∞, +∞)整个
区间有限、连续，可微的解。但这些解要 根据具体物理问题的边条件来定出。例如 束缚态条件，散射态的边条件等。
设三个分区的波函数分别为ψI (x),ψII (x),ψIII (x), 则三个分区的 Schrodinger方程分别为
⎧ ⎪ ⎪
第一区
－ 2 d2ψI
2m dx2
+V0ψI
= EψI ,
x≤−a 2
⎪ ⎨ ⎪
第二区
－ 2 d2ψII
2m dx2
+V0ψII
= EψII ,
−a < x< a 22
a.势U(x)中第一类不连续性的存在并不改
变加于函数的标准条件。事实上, 按Schrodinger
方程
ψ ′′ = (U − ε )ψ
在势的每一个不连续点，U出现一有限量的突
然跳跃，ψ′′也如此，但ψ′′的积分在这些点上保
持连续: 因此ψ ′及ψ (理由更充足)处处连续。
（证明见：曾《量子力学导论》p53）
⎪ ⎪ ⎩
Hale Waihona Puke d 2ψ IIIdx2
− k′2ψ III
= 0,
ε <U,
k′ =
2m(V0 − E) / 2
三个分区的解分别为：
⎧
⎪⎨ψ
II
ψ I ( x ) = A e k ′x ( x ) = B sin(kx +
δ
)
(4)
( ) ⎪
⎩
ψ III x = C e − k ′x
的零点(端点除外)，从图可以看出 ψ n 与x轴相 交(n-1)次，即ψ n 有(n-1)个节点。
§3.2.3 有限深对称方势阱
V
(x)
=
⎧ ⎪⎪ ⎨
0,
⎪ ⎪⎩
V
0
,
x<a 2
x≥a 2
(1)
a为阱宽，为势阱高度。 以下讨论束缚态情况 ( 0 < E < V0 ) , 前例可看成 是 V0 ≥ E 的极限情况。
(13)
∞
常数 A′ 可由归一化条件 ∫ ψ 2 d x = 1 求出
为 A′ =
1
−∞
。一维无限深势阱中粒子的定态
a
波函数是
ψ
n
(
x,
t
)
=
ψ
n
(
−
x)e
i
Ent
=
A′ sin
nπ
2a
(
x
+
−
a)e
i
Ent
(14)
为了看清楚该解的物理意义，可应用公式
s i n θ = e iθ − e − iθ
解（8），n为偶数。N=0对应于ψ 恒为零的
解。n等于负整数时不给出新的解。由α 的
定义及(9)式,得到体系的能量为
En
=
n2π 2 2
8ma2
,n
=
正整数，
(10)
将(7)及 (8)依次代入 (4)，并考虑到边界条件 和(9)式，得到一组解为
ψn
=
⎧ ⎪
A
sin
⎨
nπ
2a
x，
n
=
2k,
x
<
a
(11)
在一维规则势场 [即V(x)无奇点]中运动的 束缚定态都是不简并的 ；
证: 假设ψ1与ψ2是属于同一能量的束缚 态，按上面的定理
ψ1ψ 2′ −ψ 2ψ1′ = 常数
但ψ1与ψ2 均为束缚态, 即当 x → ∞ 时， ψ 1和ψ 2 都趋于0。
代入上式，可求出(不依赖于x的)常数 为0。所以
证: 按假定及 Schrodinger 方程（5），有
⎧ψ ⎪⎪ ψ ⎨⎪ ψ
′′
1
1
2′′
= =
− (ε − (ε
−U −U
) )
(7)
⎪⎩ψ 2
所以
ψ
′′ 1=
ψ
′′
2
ψ1
ψ2
(8)
即:
ψ1ψ 2′′ −ψ 2ψ1′′ = 0
(9)
或
(ψ1ψ 2′ −ψ 2ψ1′)′ = 0
(10)
积分后，得:ψ1ψ 2′ −ψ 2ψ1′ = 常数（不依赖 于x）
( x ≥ a)
在 x < a 区域内的通解是
ψ = A sin α x + B cosα x
(4)
亦可取为ψ = csin(αx+δ) ， c 和 δ 待定。
利用边界条件:ψ (a) =ψ (−a) = 0，得
⎧ Asinα a + B cosα a = 0 ⎩⎨− Asinα a + B cosα a = 0
当普朗克常数 可以忽略时，对一个粒子的 量子描述可以 转化为经典描述。在经典近似
中，波动性显示不出来，是因为与粒子相联 系的波长 λ = 甚小于粒子运动的特征长
p
度。这种情况和我们在光学中遇到的类似， 当光波的波长相对于问题中涉及的长度而言 可以忽略，则不考虑光的波动性的几何光学 便是一种很好的近似。所以，经典力学相对 于量子力学的地位就相当于几何光学相对于 波动光学的地位。
对于常见不规则势，多数情况下，上述定理
亦成立，但 对于某些不规则势(如一维氢原
子:
V (x)∝ − 1
x
)， 除基态外， 所有束 缚
态存在二重简并(详见曾《量子力学》卷I)。
§3.2 一维方形势
§3.2.1 一般评述
在下面我们将精确求解一些简单的方形势的 本征值问题。我们将讨论经典运动和量子运 动的主要不同点，特别是束缚态能量量子， 以及非束缚“粒子”的运动中，波的反射、共 振和势垒贯穿现象。
δ
E
=
Em
−
En
∝
1 (2a)2
表明当势阱宽度越窄
(a
)，δ E ，
越大(δ E )，即能量量子化越显著；当势阱宽度越
宽 (a )，δ E越小 (δ E ，) 且当 a →∞,δ E →，0 于
是能量可视为连续改变。因此量子性显著表现在
空间范围很小的微观尺度中。
当n分别是奇数和偶数时，满足
偶函数 → ψn (−x) =ψn (x) (n为奇数) 奇函数 → ψn (−x) =−ψn (x) (n为偶数)
ψ1ψ 2′ −ψ 2ψ1′ = 0
(11)
即:
ψ 1′ − ψ 2′ = 0 ψ1 ψ2
故:
′
⎡ ⎢ln ⎣
⎛ ⎜ ⎝
ψ ψ
1 2
⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦
=0
(12) (13)
积分后，得:
ψ1 =常数.ψ2
ln
⎛⎜⎝ψψ12
⎞ ⎟ ⎠
=
常数，因此
统即计ψ解1与释ψ，2ψ最1与多ψ差2代一表个同常一数个因态子。，定按理波得函证数。

∆En
=
En
−
En−1
=
π2
8ma2
(2n
−1)
，能级分布是不均匀的。
能级愈高，密度愈小。
由 En ∝ n2
，可知当 n → ∞
时，∆En
En
=
2n n
−
2
1
→
0
即n很大时，能级可视为连续的，这样就回到
了经典情形。这正如对应原理所揭示的，大
量子数极限情况下，量子理论必须逐渐逼近
经典理论。
从另一个角度看，不同定态能量间隔
即n是奇数时，波函数是x的偶函数，我们称 这时的波函数具有偶宇称；当n为偶数时， 波函数是x的奇函数，我们称这时的波函数具 有奇宇称。本征函数所具有的这种确定的奇 偶性(宇称)是由势函数 对原点的这种对称性 而来的。关于这个问题，后面将就普遍情形 作专门讨论。
节点数: 按定义，所谓节点，即本征函数
同样当一个粒子处在与时间无关的势场中运 动时，如果在比其波长短的路径上，势能的 变化是显著的，那么，就应出现典型的量子 效应（起因于波动性的量子效应），这时波 长已是不可忽略的了。 因此，为了使典型 的量子效应得以出现，势V(x)在一个波长数 量级的距离内必须具有明显的相对变化。
满足这些条件的最简单的势是方形势，其特 点是在某些点上出现第一类不连续性(即突然 跳跃一有限量)，而其它地方保持为常数的势。 这样x轴被分为几个间隔，在每个间隔中保持 为常数。于是，不论波长多么短，它在与波 长同数量级的区间上一定有显著的变化，因 此量子效应总是会表现出来的。
(2)
⎪ ⎪ ⎩
第三区
－ 2 d2ψIII
2m dx2
+V0ψIII
=EψIII ,
x≥a 2
或写成：
⎧ ⎪ ⎪
d 2ψ I
dx2
− k′2ψ I
= 0,
ε < U, k′ = 2m(V0 − E) / 2
⎪ ⎨ ⎪
d 2ψ II
dx2
− k2ψ II
= 0,
ε >U,
k = 2mE / 2
(3)
( ) e e αi x 和 −αi x αi = Ui −ε
的一个线性组合。在这种情况下，我们说 解具有“指数”行为。
为得到方程的通解，对势为常数的几个区 域中的每一个，可以将解写成指数（实或 虚）函数的线性组合的形式。这些组合的 参数（数目共2n个）由在势的间断点处的 函数及其微商的连续条件决定。
实部和虚部也是本征函数(若本征函数不简并， 实部和虚部之间彼此必然差个倍数)。结果， 只要知道实的本征函数，就可构成属于一给 定本征值的所有本征函数。这个标记大大地 简化了计算 。
对于一维运动，设有两个波函数是对应 于同一能量本征值E的解，则
ψ 1ψ 2′ − ψ 2ψ 1′ = 常数 ；
(6)
由于有(n-1)个间断点，这给出2(n-1)个条件。 因此，这样得出的通解依赖于两个任意参 数。为使它能被采纳为本征函数，这个解
还必须保持处处有界，亦即对 x = ±∞ 两个
极限均有界，再加上波函数的的归一化条 件等。通过这些考虑后可将通解中的参数 定下来。
§3.2.2 一维无限深势阱
讨论一维 Schrodinger 方程在
值。在这个区域中的通解是指数函数的线性
组合，其行为按 (ε −Ui )是正是负而十分不同。
(1) 若 ε > U i ，它是虚指数:
( ) e e 和 iα i x
−iαi x
αi = ε −Ui
的一个线性组合，或等价地是正弦和余弦 的一个组合：它具有“振荡”行为。
(2) 若 ε < U i ，我们有实指数:
势场
V (x)
=
⎧ 0, ⎨⎩∞,
x x
< ≥
a a
(1)
下的解。
引入符号 。
1
α
=
⎛ ⎜⎝
2mE
2
⎞2 ⎟⎠
(2)
由于在 x ≥ a 处，势场为无限大，因此粒 子出现的几率为0。于是 Schrodinger方程和边 界条件为：
⎧ d 2ψ
⎪ ⎨
dx2
+ α 2ψ
=0
( x < a)
(3)
⎪⎩ ψ = 0
Peking University
第 3 章一维定态问题
Quantum Mechanics ( I ) 1.0
※
§3.1 引言
一维定态薛定谔方程的一般形式为
⎡ ⎢
−
⎣
2m
d2 dx2
+V
( x )⎤⎥ ψ
⎦
(x ) =
Eψ
(x)
(1)
其中势能V(x)取实值，即：
V ( x)* = V ( x)
(2)
关于一维定态的一般性质，我们将在给 出了一些实例的讨论之后，再作归纳、总结。 下面先指出几点：
如果存在这样一个解，则这个解的任 何常数倍数也是解；我们不认为这两个 解有什么区别。
若两个线性无关的解都是容许的解，且 它们的任何线性组合也是一个解；则这两 个解必是二度简并的。
方程（5）是实的。若ψ是本征函数，则其