2020-2021学年高中数学新教材必修第一册(人A教版)课件：1.1 集合的概念

答案：CD
3．把集合{x|x2－4x＋3＝0}用列举法表示为( )
A．{1,3}
B．{x|x＝1，x＝3}
C．{x2－4x＋3＝0} D．{x＝1，x＝3}
解析：解方程 x2－4x＋3＝0 得 x＝1 或 x＝3，用列举法表示解集为 {1,3}．
答案：A
4．集合{3，x，x2－2x}中，x 应满足的条件是________．
[教材答疑]
1．教材 P2 思考 例(3)到例(6)都能组成集合 例(3)中的元素为“每一个正方形” 例(4)中的元素为“到直线 l 的距离等于定长 d 的所有点” 例(5)中的元素为“方程 x2－3x＋2＝0 的所有实数根” 例(6)中的元素为“地球上的四大洋”
2．教材 P3 思考 (1)能，大于等于 0 且小于等于 9 的 3 的倍数． (2)不能，不等式 x－7<3 的解集是{x|x<10}，元素有无数个，列举 不完． 3．教材 P5 思考 用自然语言、列举法和描述法表示集合时各有各的特点，自然语 言只需表达出集合中元素的共同特征，不受形式的限制．列举法和描 述法是集合语言，有严格的格式要求．其中列举法非常明确地列出组 成集合的元素，适用于表示元素个数较少的集合，但是不易看出元素 所具有的特征，且有些集合是不能用列举法表示的，如不等式 x－1>0 的解集；描述法清楚地表述了元素的共同特征，适用于表示无限集或 元素个数较多的有限集，但是不容易看出集合的具体元素．
(3)坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合； (4)自然数的平方组成的集合； (5)方程组xx－＋yy＝＝13 的解集； (6)二次函数 y＝x2＋2x－10 的图象上所有点的集合．
解析：(1)列举法：由(x＋1)x－322(x2－2)(x2＋1)＝0 得 x＝－1∈Q，x＝23∈Q，x＝± 2∉Q，所以 A＝－1，23. (2)描述法：{x|x＝3k＋1，k∈N}． (3)描述法：{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}． (4)列举法：{0,12,22,32，…}，也可用描述法：{x|x＝n2，x∈N}．
解析：(1)列举法：{2,3,5,7,11,13,17}． (2)描述法：B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}． (3)描述法：{y|y＝x2}． (4)列举法：{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}． (5)列举法：{m，a，t，h，e，i，c，s}．
易错辨析 忽略集合元素的互异性
例 4 设 a，b∈R，若集合{1，a＋b，a}＝0，ba，b，则 a2 020＋ b2 020＝________.
跟踪训练 1
(1)已知集合 M＝a5－6 a∈N*，且a∈Z
，则 M 等
于( )
A．{2,3}
B．{1,2,3,4}
C．{1,2,3,6} D．{－1,2,3,4}
(2)若 3∈{m－1,3m，m2－1}，则实数 m＝________.
解析：(1)∵a∈Z 使5－6 a∈N*，则 5－a 取值：1,2,3,6，∴a 的值为：4,3,2， －1，∴M＝{－1,2,3,4}．
(2)由 m－1＝3，得 m＝4，此时 3m＝12，m2－1＝15，故 m＝4 符合题意； 由 3m＝3，得 m＝1，此时 m－1＝m2－1＝0，故舍去； 由 m2－1＝3，得 m＝±2，经检验 m＝±2 符合题意． 答案：(1)D (2)4 或±2
例 3 用适当的方法表示下列集合 (1)方程(x＋1)x－232(x2－2)(x2＋1)＝0 的有理数根组成的集合 A； (2)被 3 除余 1 的自然数组成的集合；
1．1 集合的概念
最新课标 (1)通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系． (2)针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语 言刻画集合.
[教材要点]
要点一 元素与集合的概念 1．元素：一般地，把_研__究__对_象 __统称为元素，常用小写拉丁字母 a， b，c，…表示． 2．集合：把一些元素组成的__总__体____叫做集合(简称为集)．常用 大写拉丁字母 A，B，C，…表示． 3．集合相等：构成两个集合的元素是一样的． 4．集合中元素的特性：__确__定__性__、_互__异__性___、__无__序__性__.
答案：2
易错警示
易错原因
纠错心得
忽略了集合中元素的互异 含有参数的集合问题，涉及的内容多为元
性，当 a＝1 时，在一个集 素与集合的关系、集合相等，解题时需要
微点 2 已知元素与集合的关系求参数 例 2 (1)已知集合 A＝{a，|a|，a－2}，若 2∈A，则实数 a 的值为
() A．－2 B．2 C．4 D．2 或 4 (2)若 2∉{x|x－a>0}，则实数 a 的取值范围是________．
解析：(1)当 a＝2 时，不满足集合元素的互异性； 当 a－2＝2 时，不满足集合元素的互异性； 当|a|＝2，即 a＝－2 时，A＝{－2,2，－4}，满足题意． (2)∵2∉{x|x－a>0}，∴2 不满足不等式 x－a>0， 即 2 满足不等式 x－a≤0， 所以 2－a≤0，即 a≥2， 所以实数 a 的取值范围是{a|a≥2}． 答案：(1)A (2){a|a≥2}
答案：C
方法归纳 判断一组对象组成集合的依据
判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的 标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．
题型二 元素与集合的关系——微点探究 微点 1 元素与集合关系的判断 例 1 (1)已知集合 A＝{x|x>1 或 x<－1}，那么下列结论正确的是
方法归纳
判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在 已知集合中是否给出即可．此时应首先明确集合是由哪些元素构成的． (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关 系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时 应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪 种表达式或满足哪些条件．
跟踪训练 2 用适当的方法表示下列集合： (1)不小于 1 且不大于 17 的质数组成的集合 A； (2)所有奇数组成的集合 B； (3)二次函数 y＝x2 的图象上所有点的纵坐标组成的集合； (4)D＝{(x，y)|x＋y＝5，x∈N*，y∈N*}． (5)构成英文单词 mathematics 的全体字母．
() A．0∈A B．1∈A C．－1∈A D．1∉A (2)(多选)已知集合 A＝{x|x≤2 3，x∈R}，a＝ 14，b＝2 2，则
() A．a∈A B．a∉A C．b∈A D．b∉A
解析：(1)由 A＝{x|x>1 或 x<－1}可得 0,1，－1∉A. (2)由 14> 12＝2 3，可得 a∉A；由 2 2<2 3，可得 b∈A，故选 BC. 答案：(1)D (2)BC
2．∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如 R∈0 是 错误的．
要点三 常用数集
常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法
__N____ _N_*_或__N__＋_ ___Z___ __Q____
___R___
要点四 集合的表示方法
1．列举法
把集合中的元素_一__一__列__举_出来，并用大括号“{ }”括起来表
解析：由{1，a＋b，a}＝0，ba，b，易知 a≠0，a≠1，则根据两 个集合相等可知 a＋b＝0，且 b＝1 或ba＝1.若 b＝1，由 a＋b＝0 得 a ＝－1，经验证，符合题意；若ba＝1，则 a＝b，结合 a＋b＝0，可知 a ＝b＝0，不符合题意．综上可知 a＝－1，b＝1.故 a2 020＋b2 020＝(－1)2 020＋12 020＝2.
解析：由于较胖与很大没有一个确定的标准，因此 A，C 不能构成集 合；B 中由于 sin 30°＝cos 60°不满足互异性；D 满足集合的三要素，因此 选 D.
答案：D
2．下列各项中，不可以组成集合的是( ) A．所有的正数 B．等于 2 的数 C．接近于 0 的数 D．不等于 0 的偶数
解析：由于接近于 0 的数没有一个确定的标准，因此 C 中的对象不 能构成集合．故选 C.
示集合的方法叫做_列__举__法___．
2．描述法 一般地，设 A 是一个集合，我们把集合 A 中所有具有_共__同__特_征__P(x)
的元素 x 所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为
_描__述__法___．
状元随笔
1．列举法表示集合时的 4 个关注点 (1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法表示集合时的 3 个关注点 (1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等； (2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几 何图形等； (3)不能出现未被说明的字母．
a_∈___A a 属于集合 A
不属 于
如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a 不 属于集合 A
a__∉__A
a 不属于集 合A
状元随笔 对元素和集合之间关系的两点说明
1．符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个 元素 a 与一个集合 A 而言，只有“a∈A ”与“a∉A ”这两种结果．
方法归纳
已知元素与集合的关系求参数的思路 当 a∈A 时，若集合 A 是用描述法表示的，则 a 一定满足集合中 元素的共同特征，如满足方程(组)、不等式(组)等；若集合 A 是用列举 法表示的，则 a 一定等于集合 A 中的某个元素．反之，当 a∉A 时，结 论恰恰相反．利用上述结论建立方程(组)或不等式(组)求解参数即可， 注意根据集合中元素的互异性进行检验．
2．(多选)下面四个说法中错误的是( ) A．10 以内的质数组成的集合是{2,3,5,7} B．由 1,2,3 组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,1,2} C．方程 x2－2x＋1＝0 的解集是{1,1} D．0 与{0}表示同一个集合
解析：10 以内的质数组成的集合是{2,3,5,7}，故 A 正确；由集合中 元素的互异性知{1,2,3}和{3,1,2}相等，故 B 正确；方程 x2－2x＋1＝0 的 解集应为{1}，故 C 错误；由集合的表示方法知 0 不是集合，故 D 错误．
[基础自测]
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)中央电视台著名节目主持人可以组成一个集合．( × ) (2)元素 a，b，c 和元素 c，a，b 组成的集合是不相等的．( × )
(3)数－1,0，12，1， 14组成的集合中有 5 个元素．( × ) (4)0∈N，但 0∉N*.( √ ) (5){(1,2)}＝{x＝1，y＝2}．( × ) (6){x∈R|x>1}＝{y∈R|y>1}．( √ )
状元随笔 集合中的元素必须是确定的，一个元素要么属于这一
集合，要么不属于这一集合，绝不是模糊的．例如，“班上身高高于 1.7 米的同学”是确定的，构成一个集合；而“班上个子高的同学”无 法确定，不能构成集合．
要点二 元素与集合的关系
关系
概念
记法
读法
属于
如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集 合A
(5)列举法：{(2,1)}．描述(6)描述法：{(x，y)|y＝x2＋2x－10}．
方法归纳
根据集合中元素所具有的属性选择适当的方法，列举法的特征是 能清楚地展现集合的元素，通常用于元素个数较少的集合，当集合中 元素个数较多或无限时，通常不宜采用列举法，应选择描述法．描述 法形式简单，用于元素具有明显的共同特征的集合，当元素的共同特 征不易寻找，或元素的限制条件较多时，则不宜采用描述法．
解析：根据集合中元素的互异性，得xx≠2－32，x≠3， x2－2x≠x，
且 x≠－1. 答案：x≠3 且 x≠0 且 x≠－1
解得 x≠3 且 x≠0
题型一 集合的概念——自主完成 1．下列对象能构成集合的是( ) A．高一年级全体较胖的学生 B．sin 30°，sin 45°，cos 60°，1 C．全体很大的自然数 D．平面内到△ABC 三个顶点距离相等的所有点