数学直觉思维的探讨

数学直觉思维的探讨
在初级教育教学中，在应试教育的环境中，人们为了追求分数，忽视了素质教育，忽视直觉思维。

本人从直觉概论的概念、直觉思维的作用以及如何培养直觉思维三个方面进行了分析、探讨。

目的是唤醒师生重视数学直觉思维，它是衡量一个人是否有数学潜力的标准之一。

旨在说明培养数学直觉能力是社会发展的需要，是适宜新时期社会对人才的需求。

关健词：直觉思维作用培养
对于在教育工作岗位上工作了几年的我来说，头脑中常有这样一个问题，我们的责任是什么？经过长时间的思考，个人认为：应该是培养创造性的人才，而要培养这方面的人才，那就必须加强对学生创造性思维能力的培养，而在创造性思维中占有重要地位的是逻辑思维和直觉思维，也正是这两种思维的相互作用，构成了创造性思维的过程，但目前，社会上存在一种倾向，即忽视直觉思维，这就促使我对此进行了如下探索：
一、数学直觉概念的概念
简单地说，数学直觉是具有意识的人脑对数学对象、结构及其关系的某种迅速而直接的洞察或领悟。

为了更清楚地理解直觉概念，下面系统地谈谈与其相关概念的区别与联系，其中最易混淆的是直觉与灵感。

直觉，简单地讲就是直接的觉察，是人们自觉与不自觉地考虑某一问题时，在头脑中突如其来地产生的一种创造性设想。

在日常生活中离不开那种直觉思维，例如，小时候我们不能看懂电影，但能分辨出银幕上谁
是“好人”，谁是“坏人”，这就是直觉在起作用。

而灵感则是人们在长期沉思之后，思维像闪电一样产生出新的设想，它是一种突发性直觉，因此，灵感是直觉的特殊状态，典型状态，是直觉的更高发展。

具体来说，灵感的产生常常是出现在思考对象不在眼前的时候，例如，阿基米德在浴盆洗澡时悟得的浮体定律，牛顿从苹果落地悟得的万有引力定律就是得一益于灵感，而高斯神速求和就不属于灵感，因他思考对象就在眼前，所以，直觉包括灵感状态，而灵感不能概括所有的直觉。

其次易混淆的是直觉与直观，直觉有不同层次，包括感性直觉和理性直觉。

直观是低层次的感性直觉，它仅是一种感性的观察，理性直觉是对事物本质的觉察，它既要利用模型和图象，又要依靠概念和经验。

因此，直觉与直观既有关联，又有不同，它们之间的关系用数学语言来说，直观包含于直觉，也即直观是直觉的一个子集。

例如，等腰三角形的两个底角相等、两个角相等的三角形是等腰三角形等概念、性质的界定并没有一个严格的证明，只有一种直观形象的感知。

而直觉的研究对象则是抽象的数学结构及其关系。

庞加莱说：“直觉不必建立在感觉明白之上，感觉不久便会变得无能为力。

例如，我们仍无法想象千角形，但我们能够通过直觉一般地思考多角形，多角形把千角形作为一个特例包括进来。

”由此可见直觉是一种深层次的心理活动，没有具体的直观形象和可操作的逻辑顺序作思考的背景。

正如迪瓦多内所说：“这些富有创造性的科学家与众不同的地方，在于他们对研究对象有一个活生生的构想和深刻的了解，这些构想和了解结合起来，就是所谓‘直觉’，因此，它适用的对象，一般说来，在我们的感观世界中是看不见的”。

因此，直观是看得见、摸得着的表面东西，而直觉是看不见摸不着靠心感应的东西。

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二、直觉思维的作用
西蒙说，直觉是“利用了已有的知识认识了当前的情景”。

数学家们十分重视直觉思维在数学研究中的作用，把它视为数学创造的重要工具。

1、提出新的观点
直觉思维的运用可以促进提出数学新观点、新理论和新思想。

特别是当逻辑思维方法无能为力时，常常靠直觉洞察力来直达核心。

例如：直觉思维在创立非欧几何中发挥了重大作用。

十九世纪俄国数学家罗巴切夫斯基和德国数学家黎曼，在企图证明欧几里德的第五公设过程中，没有局限于用形式逻辑思维方法去思考，各自凭借思维的洞察力，凭直觉提出有关平行问题的两种不同公理，从而建立了非欧几何----罗氏几何和黎氏几何。

2、正确的选择作用
凭直觉思维可以在数学创造中进行正确的选择，提供解决办法。

这里所说的“选择”包括，选择突破目标，选择研究方法和研究策略，选择解决问题的思路，选择最佳方案等。

例如，大学里微积分的计算。

求导数时，只要象做四则运算一样运用有关的几条规则就可以了，这里应用的是逻辑思维。

但计算积分时，没有一般的规则可循，除了一些有关手段和方法的知识可以运用外，全凭直觉和经验来从各种可能的解算途径中选择捷径。

在中学数学教学过程中，直觉思维也起着不可忽视的作用：
（1）在概念形成过程中，直觉的洞察力很重要。

例如，在学习异面直线的概念时，学生易把分别在两个不同平面内的直线，错误地认为是异面直线，这就是由于缺乏对概念的本质属性的直觉洞察力与判断力。

（2）在推理判断过程中，有的学生由于缺乏必要的直觉的判断和想象，不能将积存在大脑里的思维元素充分调动、组合、变换，迅速地作出决策。

例1,对32541这个五位数,能否改变各个数学的位置,把它变为五位数？对这个问题有直觉思维习惯的学生，会从整体上去推理判断，由3+2+5+4+1=15，便“一眼看出”无论怎样改变数字的位置，排出的五位数都是3的倍数，即不是素数。

（3）直觉思维在搜索发现数学解题途径的过程中也起重要作用。

直觉的形成离不开思维的迅速概括与高度的浓缩，因此，解题中直觉思维的形成常常是多种逻辑思维方法的综合转换，反复应用，高度压缩产生质变的结果。

例如：设单位正方形内有任意的五个点，试证其中至少存在两个点，它们之间的距离不大于1 。

解本题的关键是用抽屉原则。

把这个问题与抽屉联系起来，这个过程要借助直觉来判断。

证明：把单位正方形平均分成四个边长为1/2的小正方形（即抽屉），则必有一个“抽屉里至少有两个点。

因为一个正方形中，任意两点间的距离以对角线长为最长，而小正方形的对角线长为√2/2 ，因此这两点间的距离不大于1 ”。

从这里我们可以看出直觉在科学创造中具有很重要的作用，而对于未来创造性人才的培养，在中学教学中，就一定要加强数学直觉思维的培养和训练。

3、有利于提高学生的思维品质
直觉思维具有快速性，迅速肯定或否定某一思路或结论，给人以"发散"、"放射"的感觉，一计不成又生一计。

因此，加强直觉思维能力的训练，对克服思维的单向性，提高思维品质是有利的。

在我所实习的一个班中，我的课有时会来不及，倒不是时间安排不当，而是因为会动脑
子的学生太多了。

我常让他们把自己想的念头说一说，尽管有时他们不能自圆其说，结果尚不完善，但我相信我这种鼓励和协助学生完善思考的方法，会更容易得到学生的肯定，使学生更加积极地参与猜想的行列，在这样的教学情境下，数学直觉思维能力才会不知不觉地提高。

三、如何培养直觉思维
一个人的数学思维判断能力的高底主要取决于直觉思维能力的高低。

从前述分析可知，培养数学直觉思维的重点是重视数学直觉。

美国著名心理学家布鲁纳指出：“直觉思维预感的训练，是正式的学术学科和日常生活中创造性思维的很受忽视而重要的特征。

”徐利治教授指出：“数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。

”我们可以从下列几个方面入手来培养数学直觉：
（1）广博的知识是产生直觉的源泉
直觉不是靠“机遇”，它是以学习者顽强的致力于解决某种问题为前提的，当他长期思索一个问题，达到解之不去，驱之不散的饱和程度，这时大脑中已经建立了许多间断的联系，由于某种偶然因素的激发，终于达到了机智的突然释放。

直觉的获得虽然具有偶然性，但决不是无缘无故的凭空臆想，而是以广博的知识为基础，“博观而约取，厚积而簿发”若没有深厚的功底，就很难迸发出思维的火花。

阿提雅说：“一旦你真正感到弄懂一样东西，而且你通过大量例子以及通过与其它东西的联系取得了处理那个问题的足够多经验，对此，你就会产生一种关于正在发展的过程是怎么回事，以及什么结论应该是正确的直觉。

”阿达玛曾风趣的说：“难道一只猴子也能让机遇打印整部美国宪法吗？”
（2）重视整体分析，提倡块状思维。

在解决数学问题时要教会学生从宏观上进行整体分析，抓住问题的框架结构和本质关系；从思维策略的角度确定解题的入手方向或总体思路。

在整体分析的基础上进行跳跃性思维，使学生在已有的知识和经验上能变更和化归问题，分析和辨认组成问题的知识点，培养思维跳跃的能力。

在练习中注意方法的探求、思路的寻找和类型的识别养成简缩逻辑去思考问题，培养迅速作出判别的洞察能力。

（3）渗透数学的哲学观点及审美观念
直觉的产生是基于对研究对象整体的把握，而哲学观点有利于更好的把握事物的本质。

这些哲学观点包括数学中普通存在的对立统一、运动变化、相互转化、对称性等。

例如：（a+b）2=a2+2ab+b2，即使没有学过完全平方公式，也可以运用对称的观点判断结论的真伪。

美感和美的意识是数学直觉的本质，提高审美能力有利于培养数学事物间所有存在着的和谐关系及秩序的直觉意识，审美能力越强，则数学直觉能力也越强，狄拉克于1931年从数学对称的角度考虑，大胆的提出了反物质的假说，他认为真实中的反电子就是正中子。

他还对麦克斯韦方程组提出质疑，他曾经说，如果一个物理方程在数学上看上去不美，那么这个方程的正确性是可疑的。

美感和美的意识在科学发现中之所以能起这么大的作用，首先是由于美和真之间存地微妙的统一关系。

美的一些标志，很深刻地反映了未知真理的若干特征，科学家凭美的直觉有可能在理智抓住了真理之前，先领悟了其中显现出的美，并以美为中介现实地获得真。

“美是真理的光辉”这是一句拉丁格言，它告诉我们，“探索者最初是借助于这种光辉，借助于它的照耀来认识真理的”。

（4）设置直觉思维能力的意境和动机诱导
这就要求教师转变教学观念，把主动权还给学生。

对于学生的大胆设想给予充分肯定，对其合理成分及时给予鼓励、爱护，扶植学生的自发性直觉思维，以免挫伤学生直觉思维的积极性和学生直觉的悟性。

教师应及时因势利导，解除学生心中的疑惑，使学生对自己的直觉产生成功的喜悦感。

“跟着感觉走”是中学时常听教师常讲的一句话，现在才知道这句话里已蕴含着直觉思维的萌芽，只不过没有把它上升为一种思维观念。

教师应该把直觉思维冠冕堂皇的在课堂教学中明确的提出，制定相应的活动策略，从整体上分析问题的特征；重视直觉思维方法的教学，诸如：挽元、数形结合、归纳猜想、反证法等，对渗透直觉观念与思维能力的发展大有裨益。

（5）重视解题教学
直觉思维在解决数学问题时，往往能引发解题灵感，获取新的解途径，或作出简捷的解答。

例2、如图（1），AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE=1/3AD，CE交AB于F，若AF=1.2cm，则AB= cm。

分析：题目的叙述和图形提供的信息可使我们作出如下判断：此题是“比例线段”问题--划定问题范围。

由此判断引出的目标定向是寻找与“比例线段”相关的定理--平行线截比例线段定理或相似三角形的性质定理等。

至此，可使我们迅速作出如下解题决策--找（作）平行线或相似三角形。

这一系列的判断看起来并没有严格按照逻辑规则进行，是省略的、跳跃的、简化和浓缩的洞察和决断，但每一决断的过程和结果又都完全是逻辑的，因此是直觉判断。

由此判断，我们可以拟订解题方案，并简捷的作出解答。

解题方案：
1、作出已知线段（AE、AF）及所求线段（AB）有关的平行线（如图2）过D作DG//CF，交AB于G，由BG/GF=BD/DC=1得BG=GF，由AE/ED=AF/FG=1/2得FG=2AF，AB=5AF=6。

2、将△ABC绕点D旋转180°得ABA’C（如图3）AE/AE’=AF/AB=1/5，AB=5AF=6两种方案得两种解法，尽管解题过程简、繁不同，但都是在深刻把握、理解题意和图形后的“一闪念”之间获得的，这“一闪念”是头脑中的知识、经验、方法等与题目的已知、未知、图形等的共鸣或感应的结果，是一种高层次的思维能力--直觉思维能力（或意识）。

因此，直觉思维能力是使我们快捷获得解题途径和快速、简捷作出争答的关键。

此外实施开放性问题教学，也是培养直觉思维的有效方法。

开放性问题的条件或结论不够明确，可以从多个角度由果寻因，由因索果，提出猜想，由于答案的发散性，有利于直觉思维能力的培养。

四、结束语
直觉思维与逻辑思维互相对立、互相交织、互相补充，两者同等重要，偏离任何一方都会制约一个人思维的发展。

为了使学生能具备完整的认识能力和创造能力，就必须注意到逻辑思维能力与直觉思维能力的培养，伊恩斯•图尔特曾经说过这样一句话，“数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙的结合在一起，在于受控制的精神和富有美感的逻辑”受控制的精神和富有美感的逻辑正是数学的魅力所在，也是数学教育者努力的方向。

面对教育方向，社会所需人才类型的转变，培养创造性人
才，成为当前教育的目标。

因此，大家都期望，数学的发现“在未来的中学里将不会象今天那样完全遭到忽视”。