吉林省实验中学2018-2019学年高一数学上学期期中试卷【word版】.doc

x
y
O
3
－3
3 2` 1 吉林省实验中学2018---2019学年度上学期高一年级数学学科期中考试试题
第Ⅰ卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
（1）已知集合A ＝{x | 2≤x ＜4}，B ＝{x | 3x －7≥8－2x }，则A ∪B ＝
A ．{x | 3≤x ＜4}
B ．{x | x ≥2}
C ．{x | 2≤x ＜4}
D ．{x | 2≤x ≤3}
（2）已知集合A ＝{x ∈Z | x 2＋x －2＜0}，则集合A 的一个真子集为
A ．{x | －2＜x ＜0}
B ．{x | 0＜x ＜2}
C ．{0}
D ．{Ø}
（3）下列各组函数中，f (x )与g (x )是相同函数的是（e 为自然对数的底数） A ．f (x )＝
x 2，g (x )＝(
x )2
B ．f (x )＝x 2
x ，g (x )＝x
C ．f (x )＝ln x 2，g (x )＝2ln x
D ．f (x )＝11e e x x -+⋅，g (x )＝e 2x
（4）下列函数中，在(0，＋∞)上是增函数的是
A ．f (x )＝1
x
B ．f (x )＝lg(x －1)
C ．f (x )＝2x 2－1
D ．f (x )＝x ＋1x （5）已知函数f (x )的定义域为[0，1]，则函数f (2x －1)的定义域为
A ．[－1，1]
B ．[1
2，1]
C ．[0，1]
D ．[－12，1]
（6）已知定义在[－3，3]上的函数y ＝f (x )，其图象如图所示． 则只有唯一的x 值与之对应的y 的取值范围是 A ．(3，＋∞) B ．[0，2)∪[3，＋∞)
C ．(0，＋∞)
D ．[0，1)∪(3，＋∞)
（7）已知函数f (x ＋1)＝x 2＋2x ，则f (x )的解析式为 A ．f (x )＝x 2＋1 B ．f (x )＝x 2＋2x －1
C ．f (x )＝x 2－1
D ．f (x )＝x 2＋2x ＋1
（8）三个数20.3，0.32，log 0.32的大小顺序是 A ．0.32＜log 0.32＜20.3 B ．0.32＜20.3＜log 0.32
C ．log 0.32＜20.3＜0.32
D ．log 0.32＜0.32＜20.3
（9）函数f (x )＝e x －1
e x ＋1（e 为自然对数的底数）的值域为
A ．(－1，1)
B ．(－1，＋∞)
C ．(－∞，1)
D ．(－1，0)∪(0，1)
（10）函数f (x )＝243
12x x -+-⎛⎫
⎪
⎝⎭
的单调减区间为 A ．(－∞，2]
B ．[1，2]
C ．[2，＋∞)
D ．[2，3]
（11）已知定义在R 上的偶函数f (x )满足以下两个条件：①在(－∞，0]上单调递减；②f (1)＝－2．则使不等式f (x ＋1)≤－2成立的x 的取值范围是
A ．[－3，1]
B ．(－∞，0]
C ．[－2，0]
D ．[0，+∞)
（12）设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
(1－2a )x ，x ≤1log a x ＋1
3，x ＞1．若存在x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)
成立，则实数a 的取值范围是
A ．(0，1
3)
B ．(13，12)
C ．(0，1
2) D ．(14，13)
第Ⅱ卷
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）
（13）函数y ＝log a (x －1)＋1(a ＞0，且a ≠1)恒过定点 ． （14）函数f (x )＝
3－x
lg(x －1)
的定义域为 ．
（15）定义域为R 的函数f (x )，对任意实数x 均有f (－x )＝－f (x )，f (2－x )＝f (2＋x )成立，若当2＜x ＜4时，f (x )＝2x －
3＋log 2(x －1)，则f (－1)＝ ． （16）已知函数f (x )＝lg(x ＋a
x －2)，若对任意x ∈[2，＋∞)，不等式f (x )＞0恒成立，则a 的取值范围是 ．
三、解答题：（本大题共6小题，其中17小题10分，18~22小题每小题12分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） （17）（本小题10分）
已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1≤x ≤m ＋1}． （Ⅰ）当m ＝－3时，求(A R ð)∩B ；
（Ⅱ）当A ∩B ＝B 时，求实数m 的取值范围．
（18）（本小题12分） 计算下列各式的值：
（Ⅰ）1
15
3
52943-⎛⎫⎛⎫⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（Ⅱ）33log 43log lg 253lg 4+-+．
（19）（本小题12分）
已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－x ＋1． （Ⅰ）求f (0)的值；
（Ⅱ）求f (x )在R 上的解析式．
（20）（本小题12分）
解关于x的不等式：x2－(a＋1
a)x＋1≤0 (a∈R，且a≠0)
（21）（本小题12分）
已知函数f(x)的定义域是R，对任意实数x，y，均有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当0
x 时，f(x)＞0．
（Ⅰ）证明：f(x)在R上是增函数；
（Ⅱ）判断f(x)的奇偶性，并证明；
（Ⅲ）若f(－1)＝－2，求不等式f(a2＋a－4)＜4的解集．
（22）（本小题12分）
已知定义在R上的奇函数f(x)＝ka x－a－x
a2－1
(a＞0，且a≠1)．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）当m∈[0，1]，n∈[－1，0]时，不等式f(2n2－m＋t)＋f(2n－mn2)＞0恒成立，求t的取值范围．
吉林省实验中学2018---2019学年度上学期
高一年级数学学科期中考试参考答案
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）
（13）(2，1)；（14）(1，2)∪(2，3]；
（15）－2；（16）(2，＋∞)．
三、解答题：（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）
（17）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）当m＝－3时，
＝{x|x＜－3或x＞4}，B＝{x|－7≤x≤－2}，…………2分
∴()∩B ＝{x |－7≤x ＜－3}．
…………4分
（Ⅱ）由A ∩B ＝B 可知，B ⊆A ． …………5分 当2m －1＞m ＋1时，即m ＞2时，B ＝Ø，满足B ⊆A ；
…………7分
当2m －1≤m ＋1时，即m ≤2时，B ≠Ø，若B ⊆A ， 则m ＋1≤4，2m －1≥－3，
解得－1≤m ≤3，
又m ≤2，∴－1≤m ≤2. ............9分 综上所述，m 的取值范围是[－1，＋∞)． (10)
分
（18）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）原式＝； …………6分
（Ⅱ）原式＝
． …………12分
（19）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．
令x ＝0，得：f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝0 …………4分
（Ⅱ）当x ＜0时，－x ＞0，
f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－(－x )＋1]＝－x 2－x －1． …………10分 ∵当x ＞0时，f (x )＝x 2－x ＋1，且f (0)＝0， ∴f (x )在R 上的解析式为f (x )＝ x2－x ＋1，x ＞00，x ＝0
…………12分
（20）（本小题满分12分）
解：不等式可化为：(x －a )(x －a 1
)≤0．
令(x －a )(x －a 1)＝0，可得：x ＝a 或x ＝a 1
． …………2分
①当a ＞a 1
，即－1＜a ＜0或a ＞1时，不等式的解集为[a 1
，a ]； …………5分 ②当a ＜a 1
，即a ＜－1或0＜a ＜1时，不等式的解集为[a ，a 1
]； …………8分 ③当a ＝a 1，即a ＝－1或a ＝1时， （i ）若a ＝－1，则不等式的解集为{－1}；
（ii ）若a ＝1，则不等式的解集为{1}． …………11分 综上，当－1＜a ＜0或a ＞1时，不等式的解集为[a 1
，a ]； 当a ＜－1或0＜a ＜1时，不等式的解集为[a ，a 1
]； 当a ＝－1时，不等式的解集为{－1}；
当a ＝1时，不等式的解集为{1}；
…………12分
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：设x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，
∵当x ＞0时，f (x )＞0，∴f (x 2－x 1)＞0， ∵f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)， ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＞0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在R 上是增函数．
…………4分
（Ⅱ）解：在条件中，令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )， 再令x ＝y ＝0，则f (0)＝2f (0)，∴f (0)＝0，故f (－x )＝－f (x )， 即f (x )为奇函数． …………8分
（Ⅲ）解：∵f (x )为奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝2，∴f (2)＝f (1)＋f (1)＝4， ∴不等式可化为f (a 2＋a －4)＜f (2)， 又∵f (x )为R 上的增函数，
∴a 2＋a －4＜2，即a ∈(－3，2)． …………12分
（22）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由f (x )＋f (－x )＝0，得a2－1kax －a －x
＋a2－1ka －x －ax
＝0，
即
a2－1kax －a －x ＋ka －x －ax
＝0，即a2－1ax ＋a －x
＝0，
所以k ＝1． …………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f (x )＝a2－1ax －a －x
．
①当a ＞1时，a 2－1＞0，y ＝a x 与y ＝－a －x 在R 上都是增函数， 所以函数f (x )在R 上是增函数；
②当0＜a ＜1时，a 2－1＜0，y ＝a x 与y ＝－a －x 在R 上都是减函数， 所以函数f (x )在R 上是增函数． 综上，f (x )在R 上是增函数．
（此结论也可以利用单调性的定义证明）
…………8分
不等式f (2n 2－m ＋t )＋f (2n －mn 2)＞0可化为f (2n 2－m ＋t )＞－f (2n －mn 2)， ∵函数f (x )是奇函数，
∴不等式可化为f (2n 2－m ＋t )＞f (－2n ＋mn 2)； 又∵f (x )在R 上是增函数． ∴2n 2－m ＋t ＞－2n ＋mn 2
…………10分
即t ＞(n 2＋1)m －2n 2－2n ，对于m ∈[0，1]恒成立． 设g (m )＝(n 2＋1)m －2n 2－2n ，m ∈[0，1]． 则t ＞g (m )max ＝g (1)＝－n 2－2n ＋1
所以t ＞－n 2－2n ＋1，对于n ∈[－1，0]恒成立． …………11分
设h (n )＝－n 2－2n ＋1，n ∈[－1，0]． 则t ＞h (n )max ＝h (－1)＝2．
所以t 的取值范围是(2，＋∞)． …………12分。