黑龙江省哈尔滨市第32中学2020届高三数学上学期期中考试文科

黑龙江省哈尔滨市第32中学2020届高三上学期期中考试
数学试题（文科）
考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．等差数列{a n }中，a 3=0，a 4+a 5=1，a n =10， 则n 为 （ ） A ．33 B ．30 C ．20 D ．223 2．函数)
34(log 1
)(22-+-=x x x f 的定义域为
（ ）
A ．（1，2）∪（2，3）
B ．（－∞，1）∪（3，+∞）
C ．（1，3）
D ．[1，3]
3．集合}3{},1,12,3{},3,1,{2
2
-=⋂+--=-+=B A a a a B a a A ，则a 的值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．－1 4．给出函数)3(log )
4(),1()4(,)21()(2f x x f x x f x
，则⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=等于
（ ）
A ．8
23-
B ．
11
1 C ．
19
1 D ．
24
1 5．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第2020项是
（ ）
A ．62
B ．63
C ．64
D ．2020
6．已知函数)(6lg
)3()(2
2
2
x f y x x x f x f =-=-，则满足在定义域内是 （ ）
A ．奇函数且是增函数
B ．奇函数且是减函数
C ．偶函数且是增函数
D ．增函数，但既非奇函数又非偶函数
7．已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且a 3+a 8>0，S 9<0，则在S 1，S 2，S 3，…，S n 中
最小的是 （ ） A ．S 10 B ．S 9 C ．S 6 D ．S 5
8．设a ，b ，c 均为正数，且c b a c
b
a
22
12
1log )2
1(log )2
1
(log 2===，，
，则 （ ）
A ．a<b<c
B ．c<b<a
C ．c<a<b
D ．b<a<c
9．设]4
,3[)sin(2)(0π
πωω-=>在，函数x x f 上是增函数，那么 （ ）
A ．2
3
0≤
<ω B ．20≤<ω C ．7
24
0≤<ω D ．2≥ω
10．若函数),2[)3(log 2
2+∞+-=在a ax x y 上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．]4,(-∞
B ．]4,4(-
C ．（－4，2）
D ．),2[)4,(+∞⋃--∞
11．若函数)(x f y =的反函数为)
1()1()(1
1
-=-==--x f
y x f y x f
y 与函数，则函数的图象
（ ）
A ．关于直线y=x
B ．关于直线y=x －1对称
C ．关于直线y=x+1对称
D ．关于直线y=1对称
12．已知函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的部分图象如图所示，则)2()1(f f ++…
+)2008(f 的值等于
（ ）
A ．2
B ．2+2
C ．0
D ．不能确定
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13．在等比数列{a n }中，a 3=3，前3项和S 3=9，则公比q= 14．已知)
4
sin(2cos 4
0135)4
cos(x x
x x -<<=
+
πππ
，则
，且= 15．已知数列{a n }满足,,)2(2111b a a a n a a a n n n ==≥-=-+， 记S n =n a a a a ++++Λ321，
则S 100=
16．若函数),[)0(0)()()0()(2212123+∞<<===+++=x x x x f x f f d cx bx ax x f ，且在满足上单调递增，则b 的取值范围是
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 已知)2()()()82(log 3)(2
2x f x f x g x x x f +=≤≤+=，求函数的值域. 18．（本小题满分12分）
设函数R x x x x x x f ∈-+=,cos sin 2cos 3sin )(2
2
（1）求函数)(x f 的最大值和最小正周期； （2）将函数y=)(x f 的图象向左平移4
π
个单位得到)(x g 的图象，求)(x g 图象的对称中心. 19．（本小题满分12分）
已知集合+⊆>-+-=R M x a ax x M ，}01)1(|{2，求a 的取值范围.
20．（本小题满分12分）
某个QQ 群中有n 名同学在玩一个数字哈哈镜游戏，这些同学依次编号为1，2，
3，……，n. 在哈哈镜中，每个同学看到的象用数对（p ，q ）（p<q ）表示，规则如下： 若编号为k 的同学看到的象x （p ，q ），则编号为k+1的同学看到的象为（q ，r ），且
q －p=k （p ，q ，r *)N ∈. 已知编号为1的同学看到的象为（5，6）. （1）根据以上规律分别写出编号为2和3的同学看到的象； （2）求编号为n 的同学看到的象. 21．（本小题满分12分）
数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2a n +4n （n=`1，2，3，……） （1）求{a n }的通项公式； （2）设}{,44n n
n b a n
b -=
的前n 项和为T n ，求证：T n <2. 22．（本小题满分14分）
已知函数)(x f 在（－1，1）上有定义，1)2
1
(-=f ，当且仅当0<x<1时，0)(<x f ，且对任意).1(
)()()1,1(xy
y
x f y f x f y x ++=+-∈都有、 （1）求证：)(x f 为奇函数；
（2）求证：)(x f 在（－1，1）上单调递减； （3）求不等式1)1()(≥++x f x f 的解集.
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1—5 AADDB 6—10 ADAAB 11—12 BC
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．1或2
1
-
14．1324 15．2b －a 16．)0,(-∞
三、解答题：本大题共6小题，共74分.
17．13log 7log )2()()(22
22
++=+=x x x f x f x g …………4分
⎩
⎨
⎧≤≤≤≤8228
2x x 解得：42≤≤x …………8分 所以，2log 12≤≤x ，所以)(x g 的值域为[21，31]. …………12分
18．（1）x x x x x x x x x f 2sin cos 22sin cos 21cos sin 2cos 3sin )(2
2
2
-+=-+=-+=
)4
2cos(22π
+
+=x …………4分
函数)(x f 的最大值为22+，最小正周期为π …………8分
（2）)4
32cos(22]4
)4
(2cos[22)(π
π
π
+
+=+
+
+=x x x g ……10分 令)( 2432Z k k x ∈+=+
πππ，解得：)( 8
2Z k k x ∈-=ππ ……12分 所以，)(x g 的对称中心为)( )2,8
2(Z k k ∈-π
π …………12分
19．①a>0，不合题意
②a=0，解得：x<－1，不合题意 ………………3分
③⎩
⎨⎧≤++=∆<01602
a a a 解得：223223+-≤≤--a ………………7分
④⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧>-=>+=+>++=∆<0
1010160212
12a x x a a x x a a a
解得：223--<a
综上所述，a 的取值范围是]223,(+--∞ …………12分
20．（1）编号为2的同学看到的象是（6，8），编号为3的同学看到的象是（8，11） (4)
分
（2）设编号为n 的同学看到的象是（b n ，a n ），则b 1=5，a 1=6，
当n a a n b a a b n n n n n n n =-=-=≥--112，即，由题意知时， ……6分 ∴)()()()(13423121--+Λ+-+-+-=-n n n a a a a a a a a a a =2
)
2)(1(432+-=
+Λ+++n n n ………………9分
∴2
10
,21022+-=-=++=n n n a b n n a n n n ……11分 所以编号为n 的同学看到的象是)2
10
,210(
22+++-n n n n …………12分
21．（1）n=1时，a 1=－4 4224
42422111+-=⎩⎨
⎧-+=+=≥---n n n n n n n a a a n a S n
a S n 相减得时，
∴24
4
4
211=--∴
-=--n n n n a a a a
∴数列{a n －4}为等比数列，公比为2，首项为a 1－4=－8 …………5分
∴21
22
84+--=⋅-=-n n n a ∴224+-=n n a …………7分 （2）n n n n a n b 2
44=-=
n n n T 223222132+Λ+++=
1322
21222121++-+Λ++=n n n n
n T …………10分 相减得：1132221122121212121++--=-+Λ+++=n n n n n n
n T
.222121<--=-n n n n
T ………………12分
22．（1）取x=y=0，则0)0(),0()0(2==f f f 所以
取)()(0)0()()(x f x f f x f x f x y -=-==-+-=，即，则 所以)(x f 为奇函数 …………2分 （2）任取1112<<<-x x
)1(
)()()()(2
12
12121x x x x f x f x f x f x f --=-+=- …………4分
∵1||,1||,1||1
1212112<<<∴<<<-x x x x x x
∴121<x x ∴0121>-x x 又∵021>-x x ∴
012
12
1>--x x x x …………6分
0)1)(1()1(212121<+-=---x x x x x x
∴21211x x x x -<- ∴
112
12
1<--x x x x …………8分
∴1102121<--<
x x x x ∴0)1(2
12
1<--x x x x f
∴)()(21x f x f < ∴)1,1()(-在x f 上单调递减 …………10分 （3）)21
()1
1(
2
-≥+++f x x x f …………12分 ]2
13
5,
1(211
12111112+--⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
-
≤+++<+<-<<-解得x x x x x …………。