2019年人教版A数学必修三第1章 1.3 算法案例

1.3 算法案例
学习目标：1.会用辗转相除法与更相减损术求两数的最大公约数．(重点、易混点)2.会用秦九韶算法求多项式的值．(重点)3.会在不同进位制间进行相互转化．(难点)
[自主预习·探新知]
1．辗转相除法与更相减损术
(1)辗转相除法
①辗转相除法是用于求两个正整数的最大公约数的一种算法，这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法．
②所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数．若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数．
(2)更相减损术
更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两数最大公约数的方法．其基本过程是：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．2．秦九韶算法
把一个n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：f(x)＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0.求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝a n x＋a n－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝v1x＋a n－2，v3＝v2x＋a n－3，…，v n＝v n－1x＋a0，这种求n次多项式f(x)的值的方法叫秦九韶算法．
3．进位制
(1)进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统．“满k进一”就是k进制，k进制的基数是k.
(2)将k进制数化为十进制数的方法是：先把k进制数写成各位上的数字与k
的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果．
(3)将十进制数化为k 进制数方法是：除k 取余法．即用k 连续去除十进制数所得的商，直到商为零为止，然后把各步得到的余数倒排写出．就是相应的k 进制数．
[基础自测]
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)用辗转相除法与更相减损术都可以求两个正整数的最大公约数．
( )
(2)秦九韶算法的优点是减少了乘法运算的次数，提高了运算效率．
( ) (3)不同进位制中，十进制的数比二进制的数大． ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：16－12＝4,12－4＝8,8－4＝4.由此可以看出12和16的最大公约数是( )
【导学号：49672108】
A ．4
B ．12
C ．16
D ．8
A [根据更相减损术的方法判断．] 3．下列有可能是4进制数的是( ) A ．5123
B ．6542
C ．3103
D ．4312 C [4进制中逢4进1，每位上的数字一定小于4.]
4．已知多项式f (x )＝4x 5＋3x 4＋2x 3－x 2－x －1
2
，用秦九韶算法求f (－2)等于( )
【导学号：49672109】
A ．－1972 B.1972 C.1832
D ．－1832
A [∵f (x )＝((((4x ＋3)x ＋2)x －1)x －1)x －12，∴f (－2)＝－197
2.]
[合作探究·攻重难]
[思路探究]求两个正整数的最大公约数可以用辗转相除法，也可以用更相减损术．
[解]法一：(辗转相除法)1 995＝8×228＋171,228＝1×171＋57,171＝3×57，
所以228与1 995的最大公约数为57.
法二：(更相减损术)1 995－228＝1 767,1 767－228＝1 539，
1 539－228＝1 311,1 311－228＝1 083，
1 083－228＝855,855－228＝627，
627－228＝399,399－228＝171，
228－171＝57,171－57＝114，
114－57＝57.
所以228与1 995的最大公约数为57.
1．用辗转相除法和更相减损术求1 515与600的最大公约数，需要运算的次数分别为()
A．4,15B．5,14
C．5,13 D．4,12
B[辗转相除法：1 515＝600×2＋315；600＝315×1＋285,315＝285×1＋
30,285＝30×9＋15,30＝15×2，故最大公约数为15，且需计算5次．用更相减损术：1 515－600＝915,915－600＝315,600－315＝285,315－285＝30,285－30＝255,255－30＝225,225－30＝195,195－30＝165,165－30＝135,135－30＝105,105－30＝75,75－30＝45,45－30＝15,30－15＝15.故最大公约数为15，且需计算14次．]
秦九韶算法求这个多项式当x＝5时的值.
【导学号：49672110】[思路探究]可根据秦九韶算法的原理，将所给的多项式改写，然后由内到外逐次计算．
[解]将f(x)改写为f(x)＝((((4x＋2)x＋3.5)x－2.6)x＋1.7)x－0.8，
由内向外依次计算一次多项式，当x＝5时的值：
v0＝4；
v1＝4×5＋2＝22；
v2＝22×5＋3.5＝113.5；
v3＝113.5×5－2.6＝564.9；
v4＝564.9×5＋1.7＝2 826.2；
v5＝2 826.2×5－0.8＝14 130.2.
所以当x＝5时，多项式的值等于14 130.2.]
.
2．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4时的值时，v3的值为()
A．－144 B．－136
C．－57 D．34
B[根据秦九韶算法多项式可化为f(x)＝(((((3x＋5)x＋6)x＋0)x－8)x＋35)x ＋12.
由内向外计算v0＝3；
v1＝3×(－4)＋5＝－7；
v2＝－7×(－4)＋6＝34；
v3＝34×(－4)＋0＝－136.]
1．数学上通常使用什么进位制？它的原理是什么？
提示：十进制
十进制的原理是满十进一．一个十进制正整数N可以写成a n·10n＋a n－1·10n －1＋…＋a1·101＋a0·100的形式，其中a n，a n－1，…，a1，a0都是0至9中的数字，且a n≠0.例如365＝3×102＋6×10＋5.
2．你还知道哪些进位制？它们与目前我们使用的进位制数之间能否转化？
提示：(1)二进制使用0和1这两个数字，基数为2.
(2)八进制使用0,1,2,3,4,5,6,7这八个数字，基数为8.
(3)十六进制使用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，A，B，C，D，E，F这十六个符号，基数为16.其中A，B，C，D，E，F分别相当于十进制中的10,11,12,13,14,15.
它们与十进位制数之间可以转化，两个非十进制数之间也可以以十进制作“桥梁”，进行相互转化．
3．不同的进位制数如何区分？
提示：一般地，k进制数的原理是满k进一，k进制数一般在右下角处标注(k)，以示区别．例如270(8)表示270是一个8进制数．但十进制一般省略不写．
把“五进制”数1 234(5)转化为“十进制”数，再把它转化为“八进制”数.
【导学号：49672111】[思路探究]k进制化十进制时，利用求各位上的数与k的幂的乘积后再相加的方法，十进制化为其他进制可采用除k取余法．
[解]∵1 234(5)＝1×53＋2×52＋3×51＋4×50＝194，而
∴1 234(5)＝194＝302(8)．
母题探究：1.(变条件)210(6)化成十进制数为________．
85化成七进制数为________．
78151(7)[210(6)＝2×62＋1×6＝78，
所以85＝151(7)．]
2．(变结论)把1234(5)化成七进制数为________．
365(7)[∵1234(5)＝1×53＋2×52＋3×51＋4×50＝194.而
∴1 234(5)＝194＝365(7)]
1．用辗转相除法求72与120的最大公约数时，需要做除法次数为() A．4B．3
C．5 D．6
B[120＝72×1＋48,72＝48×1＋24,48＝24×2.]
2．用更相减损术求36与134的最大公约数，第一步应为________.
【导学号：49672112】先分别除以2，得到18与67.[∵36与134都是偶数，∴第一步应先除以2，得到18与67.]
3．用秦九韶算法求f(x)＝2x3＋x－3当x＝3时的值v2＝________.
19[f(x)＝((2x＋0)x＋1)x－3，v0＝2，v1＝2×3＋0＝6，v2＝6×3＋1＝19.]
4．将八进制数123(8)化为十进制数，结果为________.
【导学号：49672113】83[1×82＋2×81＋3×80＝64＋16＋3＝83.]
5．用秦九韶算法求多项式f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1，当x＝2时的值．[解]根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f(x)＝8x7＋5x6＋0·x5＋3·x4＋0·x3＋0·x2＋2x＋1＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1.
而x＝2，所以有v0＝8，
v1＝8×2＋5＝21，
v2＝21×2＋0＝42，
v3＝42×2＋3＝87，
v4＝87×2＋0＝174，
v5＝174×2＋0＝348，
v6＝348×2＋2＝698，
v7＝698×2＋1＝1 397.
所以当x＝2时，多项式的值为1 397.。