预讲练结四步教学法高中数学 2.2.3向量数乘运算及其几

2. 2.3向量数乘运算及其几何意义（结）
命题方向1 向量的数乘运算
若3m ＋2n ＝a ，m －3n ＝b ，其中a 、b 是已知向量，求m 、n.
[分析] 把已知条件看作向量m 、n 的方程，联立方程组求得m 、n.
[解析] 把已知中的两等式看做关于m 、n 的方程，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧
3m ＋2n ＝a ，m －3n ＝b ，解得⎩⎨⎧ m ＝311a ＋211b ，n ＝111a －311b.
规律总结：此题在求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的运算律．另外，解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法相同．
命题方向2 向量共线定理的应用
已知两个非零向量e1、e2不共线，若AB →＝2e1＋3e2，BC →＝6e1＋23e2，CD →
＝4e1－8e2.求证：A 、B 、D 三点共线．
[分析]
[证明] ∵AD →＝AB →＋B C →＋CD →
＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2
＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)＝6A B →，
∴AD →∥AB →
.
又∵AD 和AB 有公共点A ，∴A 、B 、D 三点共线．
规律总结：用向量法证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得b ＝λa(a 、b 为这三点构成的其中任意两个向量)．证明步骤是先证明向量共线，然后再由两向量有公共点，证得三点共线．
命题方向3 向量在平面几何中的探究应用
平行四边形一顶点和对边中点的连线能三等分此平行四边形的一条对角线吗？若能，请写出证明过程；若不能，请说明理由．
[解析] 已知在▱ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为AF 与BD 的交点，求证：E 为BD 的一个三等分点．
证明：如图，设实数λ、μ满足AE →＝λAF →，BE →＝μBD →.
∴AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋μBD →
，
∴λAF →＝AB →＋μBD →
.
∵BD →＝AD →－AB →
，
AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →，
∴λ(AD →＋12AB →)＝AB →＋μ(AD →－AB →)．
∴(λ－μ)AD →＝(1－μ－12λ)AB →.
∵AB →与AD →
不共线，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ－μ＝0，1－μ－12λ＝0，∴⎩⎨⎧ λ＝23，μ＝23.
∴BE →＝μBD →＝23BD →.
∴E 为BD(靠近D)的一个三等分点．
同理可证，C 与AB 中点的连线和BD 的交点也为BD(靠近B)的一个三等分点．
综上可得，平行四边形一顶点和对边中点的连线能三等分此平行四边形的一条对角线．
规律总结：在上述证明过程中，由AB →与AD →不共线及(λ－μ)AD →＝(1－μ－12λ)AB →，知必有(λ－
μ)AD →＝(1－μ－12λ)AB →＝0，进而得到关于λ与μ的方程组．通过本例，应掌握利用向量共线的条件解题的方法．
命题方向4 共线向量与三点共线问题
设两个非零向量a 与b 不共线，
(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b)，求证：A 、B 、D 三点共线；
(2)试确定实数k ，使ka ＋b 与a ＋kb 共线．
[分析] (1)欲证三点A 、B 、D 共线，即证存在实数λ，使AB →＝λBD →
，只要由已知条件找出λ即可．
(2)由两向量共线，列出关于a 、b 的等式，再由a 与b 不共线知，若λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.
[解析] 证明：(1)∵AB →＝a ＋b ，BC →
＝2a ＋8b ，
CD →
＝3(a －b)
∴BD →＝BC →＋CD →
＝2a ＋8b ＋3(a －b)
＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b)＝5AB →
.
∴AB →、BD →
共线，
又∵它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．
(2)∵ka ＋b 与a ＋kb 共线，
∴存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb)
即ka ＋b ＝λa ＋λk b ，∴(k －λ)a ＝(λk －1)b ，
∵a 、b 是不共线的两个非零向量，
∴k －λ＝λk －1＝0，∴k2－1＝0.∴k ＝±1.。