充要条件课件

充要条件的两个判断方法 (1)定义法：若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件； (2)集合法：对于集合A＝{x|x满足条件p}，集合B＝{x|x满足条件q}，若A ＝B，则p是q的充要条件．
[跟踪训练]
1．以下选项中，p是q的充要条件的是
()
A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5
B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b
∵AC＝BD，∴BD＝DE，∴∠E＝∠1. 又∵AC∥DE.∴∠2＝∠E，∴∠1＝∠2. 在△ABC和△DCB中，A∠C2＝＝D∠B1，，
BC＝CB， ∴△ABC≌△DCB.∴AB＝DC. ∴梯形ABCD为等腰梯形．由(1)(2)可得，梯形ABCD为等腰梯形的充要条 件是AC＝BD.
充要条件的证明策略 (1)要证明 p 是 q 的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证 明两个命题“若 p，则 q”为真且“若 q，则 p”为真； (2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明 p 与 q 的解集是 相同的．
第一
章
集合与常用逻辑用语
1．4 充分条件与必要条件
1．4.2 充要条件
主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了， 只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急 事，不能去了．”主人听了，随口说了句：“该来的没有 来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了．主人愣 了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大 怒，拂袖而去．
要条件，故选D.
答案：D
2．已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．那么： (1)s是q的什么条件？ (2)r是q的什么条件？ (3)p是q的什么条件？ 解：将p，q，r，s的关系作图表示，如图所示． (1)因为q⇒r⇒s，s⇒q，所以s是q的充要条件． (2)因为r⇒s⇒q，q⇒r，所以r是q的充要条件． (3)因为p⇒r⇒s⇒q，所以p是q的充分条件．
充分、必要及充要条件的应用
[例3] 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不 充分条件，求实数m的取值范围．
[解] p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为 p 是 q 的必要不充分条件，
所以 q 是 p 的充分不必要条件，
即{x |1－m ≤x ≤1＋m }⫋ {x |－2≤x ≤10}，
数a的取值范围是
()
A．{a|1＜a＜2}
B．{a|1≤a≤2}
C．{a|0＜a＜1}
D．{a|0＜a≤2}
－a>－1， 解析：因p是q的充分不必要条件，即3a<6， 解得0<a<1.故选C.
a>0， 答案：C
1．已知p：“x＝2”，q：“x－2＝ 2－x”，则p是q的
()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
3．下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； (2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等； (3)p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集． 解：(1)p⇔q，所以p是q的充要条件． (2)⊙O内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补，因此p q，所以p 不是q的充要条件． (3)取A＝{1，2}，B＝{3}，显然，A∩B＝∅，但A与B均不为空集，因此， p q，所以p不是q的充要条件．
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[解析] (1)对于A选项，p⇒q，但q p，故p不是q的充要条件；对于B选 项，p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，故p是q的充要条件；对于C选项，p q，但q⇒ p，故p不是q的充要条件；对于D选项，p⇒q，且q⇒p，故p是q的充要条 件．故选B、D.
(2)∵(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)， ∴“x∈(∁UA)∩(∁UB)”是“x∈∁U(A∪B)”的充要条件，故选C. [答案] (1)BD (2)C
充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的 值或取值范围问题； (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的 包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
[跟踪训练]
已知a＞0，设p：－a≤x≤3a；q：－1＜x＜6.若p是q的充分不必要条件，则实
充要条件的证明
[例2] (链接教科书第22页例4)证明：如图梯形ABCD为等 腰梯形的充要条件是AC＝BD.
[证明] (1)必要性：在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，∠ABC＝∠DCB， 又∵BC＝CB，∴△BAC≌△CDB，∴AC＝BD. (2)充分性：如图，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E. ∵AD∥BE，DE∥AC， ∴四边形ACED是平行四边形． ∴DE＝AC.
()
A．p：x＞0，y＜0，q：xy＜0 B．p：a＞b，q：a＋c＞b＋c
C．p：x＞5，q：x＞10
D．p：a＞b≥0，q： a＞ b
(2)设A，B，U是三个集合，且A⊆U，B⊆U，则“x∈(∁UA)∩(∁UB)”是
“x∈∁U(A∪B)”的
()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
[注意] 证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向．
[跟踪训练] 求证：“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2”的充要条件是“4a＋2b＋c
＝0”．
证明：①先证明必要性： 因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2，把x＝2代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得 4a＋2b＋c＝0，所以必要性成立． ②再证明充分性： 因为4a＋2b＋c＝0，所以c＝－4a－2b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中得ax2＋bx －4a－2b＝0，即(x－2)(ax＋2a＋b)＝0，故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2， 所以充分性成立． 综上，“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2”的充要条件是“4a＋2b＋c ＝0”．
故有
11－ ＋mm≥ <1－0 2，或
1－m>－2， 1＋m≤10，
解得 m≤3.
又 m>0，所以实数 m 的取值范围为{m|0<m≤3}．
[母题探究] 1．(变条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条
件”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的充分不必要条件， 设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以A B.
2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔ q，那么p与q互为__充__要__条件．
“p是q的充要条件”也可以说成“p与q是等价的”“p成立当且仅当q成 立”“q成立当且仅当p成立”．
1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的 A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A
()
2．设p：“四边形为菱形”，q：“四边形的对角线互相垂直”，则p是q的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
()
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
3．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件．
答案：充要
充要条件的判断
[例1] (链接教科书第21页例3)(1)(多选)下列选项中，p是q的充要条件的为
所以11－ ＋mm≤ >1－0 2，或11－ ＋mm<≥－102.， 解得m≥9， 即实数m的取值范围是{m|m≥9}．
2．(变设问)本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在， 求出m的值；若不存在，说明理由． 解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 若p是q的充要条件，则－102＝＝11＋－mm，，方程组无解． 故不存在实数m，使得p是q的充要条件．
C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形
D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解 解析：对于A，p：x＞1，q：x＜1，所以p是q的既不充分也不必要条件；
对于B，p⇒q，但q p，所以p是q的充分不必要条件；对于C，p q，
但q⇒p，所以p是q的必要不充分条件；对于D，显然q⇔p，所以p是q的充
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由q：“x－2＝ 2－x”，解得x＝1(舍去)或x＝2，
由p可推出q，充分性成立，反之，由q充要条件，故选C.
答案：C
2．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．
解析：函数y＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－m2 ＝1，所以m＝－2. 答案：m＝－2
[问题] (1)张三为什么走了？ (2)李四为什么走了？
知识点 充要条件 1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有
_p_⇒__q__，又有_q_⇒__p__，就记作_p_⇔__q__，此时，p既是q的充分条件，也是q的必 要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为__充__要__条件．