2013大连理工大学数学科学学院复试笔试B卷试题（回忆版）

2013大连理工大学数学科学学院复试笔试B卷试题（回忆
版）
实变泛函（60，每题15分）
1. 假定()m E <∞,,n n f g 是定义在E 上的函数列，分别依测度收敛于f,g.证n n f g 依测度收
敛于fg 。

2. 叙述控制收敛定理，并利用该定理证明22221lim
0(1)n x n n x dx e x ∞→∞=+?
3. (1)叙述Banach 空间定义。

(2)[,]f C a b ∈,证明[,]||||max |()|x a b f f x ∈=是范数，并证明[,]C a b 在此范数下成为Banach 空间。

(3)证明|||||()|b
a f f x dx =?是范数但[,]C a
b 在此范数下不是Banach 空间。

4.设1[0,1],{[0,1]:(0)0}X C Y f C f ==∈=定义算子A ：X Y →如下
0()(),t
Af t f s ds f X =∈?，证明算子A 是有界线性算子，并且可逆，但1A -无界。

概率（20，每题4分）
1. 随机变量X 服从参数为θ的指数分布，
(4),01P x a a >=<<则(9|5)P x x >>=____ 2. 已知随机变量X 服从2(1,)N σ且(0),01P x a a <=<<，则(12)P x <<=___________
3. 2212(2,),(3,)X N Y N σσ ，X 与Y 独立，则(10)P X Y -+>=___________
4. 设X 服从n ，p 二项分布，则x E λ=____________
5. 1{}n n x ∞
=为一列相互独立的随机变量，且都服从参数为1的泊松分布，则1lim ()n
i n i P X n →∞=<=∑____________ 近世代数（20，每题10分）
一、1.已知{(1),(12)}H =是对称群3S 的子群，则H 在3S 中的中心化子为____________
2.对称群3S 中{(12),(123)}生成的子群为____________
3.若剩余类环{;;}n Z +?是整环，则n 满足____________
4.剩余类子群8{;}Z +中元素4的阶为____________
5.{0,4}H =是8{;}Z +的子群，商群8/Z H 的阶为____________
二、设H 是群G 的子群，试证明对任意g G ∈，11{|}gHg ghg
h H --=∈是G 的子群。