5-1单向陷门函数和RSA

密码学原理
n
n
f x
:
()=陷门：大数n 的因式分解=111 1 mod ()= mod 则,且:
-1
a
n
n
n =pq,(n )(p )(q )(n )),ab
(n )
f x x n
=== mod r
k φ(n )
i i n p a
a n
+∏11
证明：首先证明充分性，即当 时，a 2.若非0
=,(r
r i i i i n p (n )p )
==∴=∏∏1
1
1
11 mod = mod = mod j r
i i φ(p )
j j j
k
φ(p )
k φ(n )j j j
a p a p a p a p a
p a p =++≠∏2）若0 mod ，则(,)=1，根据欧拉定理有 =1 mod 则1 0 mod
k (n )
j j j p j r p a a
a p +∀≤≤≡≡ 1，1)若|,则 = mod k φ(n )
j
a
a p +1综合1)和2）有 = mod = mod = mod k φ(n )1
r
k φ(n )
i i k φ(n )r
a a p n p a a n
a a p
++=+⎧⎪∴⎨⎪⎩∏1111根据且=,有综合1和2，充分性得证。

=r
i i n n p p ∏1当且仅当有分解式(其中为不同素数）
| mod k φ(n )
n a a
a n +≡≡1 1.若,有0成立
1=1
<= mod =r
k φ(n )i
i a n a a n n p +≤∏证明：接着证明必要性，即对任意0，时，有[01]=1j a ,n a p ,j r
-≤≤为任意中的整数，令i i 1=r
αi i n p α=≥∏假设，1
111
mod mod i
r
αk φ(n )
k φ(n )
j
j i
i a
a n p p p ++=≡∴≡∏
成立，有11
1
)=i i r
r
ααk φ(n )j i i j j
i i (p ,p )(p ,p p +===∏∏ 则1+(n))21
j k φ,α≥∴= 而(由上必要性得证。

=r
i i n n p p ∏1当且仅当有分解式(其中为不同素数）。