数学思想之——函数思想

数学思想之——函数思想
摘 要：函数思想是数学思想的有机组成部分,它在数学解题中显得越来越重要，本文就其在方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、向量以及在实际中等方面的应用作例说。

关 键 词：数学思想 函数思想 应用
数学思想是人脑对现实世界的空间形式和数量关系的本质的反映，是思维加工的产物，数学思想不仅是数学知识的重要组成部分，更是数学教学中进行素质教育的重要部分，在高中数学中起到横向联系和纽带连结的主干作用，它包括：分类讨论思想、方程思想、转化思想、数形结合思想、函数思想、换元思想、对称思想、正难则反思想等等。

而函数思想是用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题，是在知识和方法反复学习运用中抽象出的带有观念性的指导方法。

所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从而更快更好地解决问题。

构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质，结合函数的概念和性质，通过类比联想转化合理地构造函数，去分析、研究问题转化问题并解决问题。

函数思想不仅体现在本身就是函数问题的高考试题中，而且对于诸如方程、不等式、三角函数、数列、解析几何、向量等问题也常常可以通过构造函数来求解。

本文拟就函数思想方面，讨论其在解题中的应用。

一、运用函数思想求解方程问题
函数与方程既是两个不同的概念，又存在着密切的联系。

一个函数若能用一个解析式表达，则这个表达式就可看成一个方程；一个二元方程的两个未知数间存在着对应关系，如果这个对应关系是单值的，那么这个方程也可以看成一个函数。

一个方程的两端可以分别看成函数，方程的解就是这两个函数图象交点的横坐标。

因此，许多有关方程的问题都可用函数思想来解决。

例1、求证：不论 a 取什么实数，方程x 2-(a 2+a)x+a-2=0必有两个不相
等的实根。

分析：常规解法，若求出判别式△是一个关于a 的一元四次多项式，符号不易判断。

若用函数思想去分析题意，设函数f(x)=x 2-(a 2+a)x+a-2，要证明命题成立，只需证明函数y=f(x)的图象与x 轴有两个交点，由于它的开口向上，只要找到一个实数X 0，使f(x 0)<0即可。

比如f(1)=1-(a 2+a)+a-2=- a 2-1<0。

故函数y=f(x)
的图象与x 轴有两个交点，因此命题成立。

例2、 已知方程| x | = ax + 1 有一个负根且没有正根，则a 的取值范围为_______ 略解： 将a 看作是一个变量，由已知方程得 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<-->-=-=) 0 x ( 11) 0 x ( 111||x x x x a 作出它的图象如右图，由图象直接可得a ≥1。

二、在不等式方面的运用
有些不等式问题运用函数的观点去分析,通过构造函数，然后利用函数的单调性、奇偶性、周期性等来推理证明，过程简洁又明快，会有意想不到的效果。

x y
1 -1 1 -1
O
例3、证明不等式：
)0(2
21≠<-x x x x 。

简析：一般证法是按0>x 或0<x 分类讨论，过程繁琐；若构造函数
)0(22
1)(≠--=x x x x f x ，利用该函数的性质即可获得另一证法。

证明：设)0(2
21)(≠--=x x x x f x 221)(x x x f x ----=-- 2)1211(x x x +-+-=)(221x f x x x =--= )(x f ∴是偶函数，因此，当0>x 时，021<-x 从而0)(<x f
于是0<x 时，0)()(<-=x f x f 故当0≠x 时，恒有0)(<x f ， 即)0(2
21≠<-x x x x 。

例4、解不等式：.4)3820(4)3820(3232x x x x x x +<+-++-
分析：这是一个一元六次不等式，按常规思路（分解因式）很难形成解 法，
但注意其结构特征，可构造函数转化得解。

解：设,4)(3x x x f +=可知.),()(上递增
在+∞-∞x f 所以原不等式等价于
x x x x f x x f <+-<+-3820),()3820(22即 .192<<∴x
例5、对于满足40≤≤p 的所有实数p ，不等式342-+>+p x px x 恒成立，求x
的取值范围。

分析：这是一个有关x 的二次不等式恒成立问题，但若以x 为主元考虑解题将非
常复杂，而变换视角，将p 为主元便可构建p 的一次函数结构，使问题很容易得解。

解：构造函数34)1()(2+-+-=x x p x p f ，依题知0)(>p f 对40≤≤p 恒成立，
因此只要.130
10340)4(0)0(22-<>⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->+-⇒⎩⎨⎧>>x x x x x f f 或 三、在数列方面的运用
数列实质上是一种特殊的函数，用函数思想解数列问题能够加深对数列概念及公式的理解,加强知识点间的联系。

例6、等差数列{n a }的首项01>a ,前n 项的和为n S ,若)(k l S S k l ≠=,问n 为何值
时n S 最大?
简析:运用数列中的通项公式的特点,把数列问题转化为函数问题解决。

解:依题意,设d n n na S n f n 2
)1()(1-+==, N n ∈
n d a dn n f )2
(21)(12-+=∴,此函数是以n 为自变量的二次函数. 01>a ,)(k l S S k l ≠=0<∴d 故二次函数n d a dn n f )2(21)(12-+=
的图象开口向下 )()(k f l f =∴当2l k x +=
时,)(x f 最大,但)(n f 中, N n ∈ ∴当k l +为偶数时, 2
l k n +=时, n S 最大； 当k l +为奇数时, 2
1++=
l k n 时, n S 最大。

例7、已知数列的通项公式10102+-=n n a n ，这个数列从第几项起，各项的数值逐渐增大？从第几项起各项的
数值均为正？数列中是否存在数值与首项相同的项？
分析：根据条件，数列{}n a 的点都在函数，
10102+-=x x y 的图象上，如上图利用图象根据二次函数的性质可得，这个数列从第5项开始，各项的数值逐渐增大，从第9项起，各项的数值均为正数，第9项是与首项相同的项。

例8、在等差数列中，已知 S m = n , S n = m ; ( m ≠n) , 求 S m+n 的值。

分析：该题从数列知识出发，运用方程思想可以解题。

但如果从函数角度出发，
充分挖掘数列的函数特征，利用函数思想求解可使我们耳目一新。

略解：.2
2)2(2112d a n d n S n d a n d S n n -+=⇒-+= ∴n S n 是n 的一次函数， 点( n ,n S n ) 共线， ∴点（m ，m n ）, (n ,n m ) , (m+ n ,n
m S n m ++)共线， 则有n
n m n m n m S n m m n n m n m -+-
+=--+)( ，化简即得S m+n =－( m + n ) 。

三、在三角函数方面的运用
在解决三角函数相关问题时,我们应该注意到三角函数本身就是一种特殊的函数。

例9、已知x,2y ∈]4,4[π
π-，a ∈R,且⎩⎨⎧=++=-+)2.......(0cos sin 4)1.(..........02sin 33a y y y a x x 求cos(x+2y)的值。

分析与解：此题直接求解困难较大。

但观察式子（1），（2）可得变形：
x 3+sinx=2a,(2y)3+sin2y=-2a,由这式子使我们联想到函数
f(v)=v 3+sinv 由（1）得，f(x)=2a; 由（2）得，f(2y)=-2a;由f(v)在]2,2[ππ-
上，为单调的奇函数。

故f(x)=-f(2y)=f(-2y),又x,2y ∈]4
,4[ππ-
,∴x=-2y,∴x+2y=o,从而cos(x+2y)=0。

四、在解析几何中的应用
求代数的值时,可以将代数式转化为函数式,利用函数的性质,可获得快捷解法。

例10、设实数y x ,满足02,0233=-+=++a y y a x x ,试求y x +的值.
略解：如果直接解这两个方程,过程冗繁，观察两个方程可把他们变为:
a y y a x x =+-=+2,233,再构造函数)(2)(3R t t t t f ∈+=。

利用此函数的性质易求y x +的值。

解:设)(2)(3R t t t t f ∈+=,显然)()(t f t f -=-,故)(t f 为奇函数。

a y f a x f =-=)(,)( ),()(y f x f -=∴又由)(t f 为奇函数
)()(y f x f -=∴,易证)(t f 是增函数y x -=∴,故0=+y x .
五、在二项式定理方面的运用
例11、设55443322105)2(x a x a x a x a x a a x +++++=-，则=++531a a a ____。

分析：本式为二项式展开式中的偶数项系数和，而不是偶数项二项式系数和，不能直接用二项式系数性质求解，但可用赋值法构造方程求解。

解：由于55443322105)2()(x a x a x a x a x a a x x f +++++=-=。

令1=x 得：1)12()1(5432105=+++++=-=a a a a a a f ……①
令1-=x 得：[]554321053)1(2)1(=-+-+-=--=-a a a a a a f ……② 两式相加再除以2得：121531-=++a a a 。

六、在平面向量方面的应用
例12、已知向量x f t x x x ⋅=-=+=)(),,1(),1,(2若函数在区间（－1，1）上
是增函数，求t 的取值范围。

解法1：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=
.
23)(2t x x x f ++-='则.0)()1,1(,)1,1()(≥'--x f x f 上可设则在上是增函数在若
,3
1)(,
23)(,)1,1(,230)(22=-=--≥⇔≥'∴x x g x x x g x x t x f 的图象是对称轴为由于考虑函数上恒成立在区间 开口向上的抛物线，故要使x x t 232-≥在区间（－1，1）上恒成立⇔.5),1(≥-≥t g t 即
.
)1,1()(,0)()1,1()(,5上是增函数在即上满足在时而当->'-'≥x f x f x f t
5≥t t 的取值范围是故。

解法2：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=
.
0)()1,1(,)1,1()(.
23)(2≥'--++-='x f x f t x x x f 上可设则在上是增函数在若
)(x f ' 的图象是开口向下的抛物线， 时且当且仅当05)1(,01)1(≥-=-'≥-='∴t f t f
.5.
)1,1()(,0)()1,1()(≥->'-'t t x f x f x f 的取值范围是故上是增函数在即上满足在
七、在实际问题方面的运用.
例13、某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图如图所示，
是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200平方米的十字形地域，计划在正方形MNMN 上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四旁四个相同的矩形上铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角上铺草坪，造价为每平方米80元。

（1）设总造价为S 元，AD 长为x 米，试建立S 关于x 的函数关系；（2）当为何值时S 最小，并求出这个最小值。

分析：细心读题之后，由平面几何知识找到各部分面积的表达式，进而由三类不
同的造价得出它们的费用，从而得出总造价S 关于x 的函数关系。

然后再根据函数的结构特点解决最值的求解。

解：（1）设DN=y 米。

则x 2
+4xy=200，x x y 42002
-=∴ .400000400038000)4200(280)200(2104200280421042002222
2
22
2x x x
x x x y xy x S ++=-⋅⋅+-⋅+=⋅+⋅+=∴
（2）∵x>0,∴,11800010162380008=⨯+≥S
∴当且仅当10400000400022=⇒=x x
x （米）时取等号。

故当10=x 米时总造价最小，最小值是118000元。

从以上几例的解答中，我们已初步看到了函数思想的应用，首先解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，用函数的观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到一种科学的解题途径。

其次数量关系是数学中的一种基本关系。

现实世界的复杂性决定了数量关系的多元性。

因此，如何从多变元的数量关系中选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在。

另外，根据需要，构造辅助函数是高等数学中一种常用的方法，这种方法也渗透到中学数学中。

函数思想的应用渗透在很多知识点里面,我们平时在教学与学习时应该多去发掘、培养、训练、强化这种思想，以期提高数学解题能力及数学思想素质。

但这些方面都涉及到最基础知识，只要在学习中扎扎实实地掌握基础知识，学会全面地分析问题，并注意在解题中不断总结经验，就一定会真正掌握运用函数思想解题的思路和方法，从而收到事半功倍的效果。

参考文献：
1.中学数学研究. 华南师大数学系《中学数学研究》编辑部. 2005.3.
2.《世纪金榜》理科数学,延边大学出版社2007.4
3.《高考轻舟》高考总复习数学,内蒙古大学出版社.2007.10.
4.《高中数学解题题典》,东北师大出版社, 2004.6。