2020高考数学一轮复习课时作业25平面向量的概念及其线性运算理
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时作业25 平面向量的概念及其线性运算
[基础达标]
一、选择题
1．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k( )
A．共线 B．不共线
C．共线且同向 D．不一定共线
解析：可举特例，当n＝0时，满足m∥n，n∥k，故A，B，C选项都不正确，故D正确．
答案：D
2．[2019·通州模拟]已知在△ABC中，D是BC的中点，那么下列各式中正确的是( )
A. ＋ ＝ B. ＝ ＋
C. － ＝ D．2 ＋ ＝
解析：本题考查向量的线性运算．A错，应为 ＋ ＝2 ；B错，应为 ＋ ＝ ＋ ＝ ；C错，应为 ＝ ＋ ；D正确，2 ＋ ＝ ＋ ＝ ，故选D.
答案：D
3．如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量a－b可表示为( )
A．3e2－e1
B．－2e1－4e2
解析：如图所示，设AB的中点为M，连接OM，则 ＋ ＝2 ，∴ ＋ ＋2 ＝2 ＋2 ＝0，即 ＋ ＝0，∴点O为线段MC的中点，则S△OBC＝ S△MBC＝ S△ABC，所以 ＝ .
答案：
13．[2019·河北百校联盟联考]已知在△ABC中，点D满足2 ＋ ＝0，过点D的直线l与直线AB，AC分别交于点M，N， ＝λ ， ＝μ .若λ>0，μ>0，则λ＋μ的最小值为________．
答案：直角三角形
8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝ AB，BE＝ BC.若 ＝λ1 ＋λ2 (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
解析： ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ( ＋ )＝－ ＋ ，所以λ1＝－ ，λ2＝ ，即λ1＋λ2＝ .
答案：
三、解答题
9．在△ABC中，D，E分别是BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设 ＝a， ＝b，试用a，b表示 ， .
＝ ①若a＝b，b＝c，则a＝c；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则 ＝ 是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
④若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中正确命题的序号是________．
解析：①正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，
又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，
∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
②正确．∵ ＝ ，∴| |＝| |且 ∥ ，
又A，B，C，D是不共线的四点，
∴四边形ABCD为平行四边形；
反之，若四边形ABCD为平行四边形，
则 ∥ 且| |＝| |，因此， ＝ .
③不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．
解析： ＝ ( ＋ )＝ a＋ b.
＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ( ＋ )
＝ ＋ ( － )
＝ ＋
＝ a＋ b.
10．设e1，e2是两个不共线向量，已知 ＝2e1－8e2， ＝e1＋3e2， ＝2e1－e2.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)若 ＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．
解析：(1)证明：由已知得 ＝ －
解析：连接AD.因为2 ＋ ＝0，所以 ＝ ， ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ( － )＝ ＋ .因为D、M、N三点共线，所以存在x∈R，使 ＝x ＋(1－x) ，则 ＝xλ ＋(1－x)μ ，所以xλ ＋(1－x)·μ ＝ ＋ ，根据平面向量基本定理，得xλ＝ ，(1－x)μ＝ ，所以x＝ ，1－x＝ ，所以 ＋ ＝1，所以λ＋μ＝ (λ＋μ) ＝ ≥ ，当且仅当λ＝ μ时等号成立，∴λ＋μ的最小值为 .
答案：
A．反向平行 B．同向平行
C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
解析：由题意得 ＝ ＋ ＝ ＋ ，
＝ ＋ ＝ ＋ ，
＝ ＋ ＝ ＋ ，
因此 ＋ ＋ ＝ ＋ ( ＋ － )
＝ ＋ ＝－ ，
故 ＋ ＋ 与 反向平行．
答案：A
12．[2019·清华大学自主招生能力测试]O为△ABC内一点，且 ＋ ＋2 ＝0，则△OBC和△ABC的面积比 ＝________.
④不正确．考虑b＝0这种特殊情况．
综上所述，正确命题的序号是①②.
答案：①②
7．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足| － |＝| ＋ －2 |，则△ABC的形状为________．
解析： ＋ －2 ＝( － )＋( － )＝ ＋ ， － ＝ ＝ － ，所以| ＋ |＝| － |.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．
答案：B
5．如图，已知四边形ABCD是梯形，E，F分别是腰的中点，M、N是线段EF上的两个点，且EM＝MN＝NF，下底是上底的2倍，若 ＝a， ＝b，则 ＝( )
A．－ a－ bB. a＋ b
C. a＋ bD. a－ b
解析：∵ ＝ ( ＋ )＝ ＝ a
＝－ ＝－ b，
∴ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋
－ ＝ a－ b－ × a
C．e1－3e2
D．3e1－e2
解析：向量a－b是以b的终点为始点，a的终点为终点的向量．由图形知，a－b＝e1－3e2.
答案：C
4．[2019·石家庄检测]在△ABC中，点D在边AB上，且 ＝ ，设 ＝a， ＝b，则 ＝( )
A. a＋ bB. a＋ b
C. a＋ bD. a＋ b
解析：∵ ＝ ，∴ ＝ ，∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ( － )＝ ＋ ＝ a＋ b，故选B.
＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
∵ ＝2e1－8e2，∴ ＝2 ，
又有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)由(1)可知 ＝e1－4e2，且 ＝3e1－ke2，
由B，D，F三点共线得 ＝λ ，
即3e1－ke2＝λe1－4λe2，
得 ，解得k＝12，∴k＝12.
[能力挑战]
11．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且 ＝2 ， ＝2 ， ＝2 ，则 ＋ ＋ 与 ( )
[基础达标]
一、选择题
1．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k( )
A．共线 B．不共线
C．共线且同向 D．不一定共线
解析：可举特例，当n＝0时，满足m∥n，n∥k，故A，B，C选项都不正确，故D正确．
答案：D
2．[2019·通州模拟]已知在△ABC中，D是BC的中点，那么下列各式中正确的是( )
A. ＋ ＝ B. ＝ ＋
C. － ＝ D．2 ＋ ＝
解析：本题考查向量的线性运算．A错，应为 ＋ ＝2 ；B错，应为 ＋ ＝ ＋ ＝ ；C错，应为 ＝ ＋ ；D正确，2 ＋ ＝ ＋ ＝ ，故选D.
答案：D
3．如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量a－b可表示为( )
A．3e2－e1
B．－2e1－4e2
解析：如图所示，设AB的中点为M，连接OM，则 ＋ ＝2 ，∴ ＋ ＋2 ＝2 ＋2 ＝0，即 ＋ ＝0，∴点O为线段MC的中点，则S△OBC＝ S△MBC＝ S△ABC，所以 ＝ .
答案：
13．[2019·河北百校联盟联考]已知在△ABC中，点D满足2 ＋ ＝0，过点D的直线l与直线AB，AC分别交于点M，N， ＝λ ， ＝μ .若λ>0，μ>0，则λ＋μ的最小值为________．
答案：直角三角形
8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝ AB，BE＝ BC.若 ＝λ1 ＋λ2 (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
解析： ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ( ＋ )＝－ ＋ ，所以λ1＝－ ，λ2＝ ，即λ1＋λ2＝ .
答案：
三、解答题
9．在△ABC中，D，E分别是BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设 ＝a， ＝b，试用a，b表示 ， .
＝ ①若a＝b，b＝c，则a＝c；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则 ＝ 是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
④若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中正确命题的序号是________．
解析：①正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，
又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，
∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
②正确．∵ ＝ ，∴| |＝| |且 ∥ ，
又A，B，C，D是不共线的四点，
∴四边形ABCD为平行四边形；
反之，若四边形ABCD为平行四边形，
则 ∥ 且| |＝| |，因此， ＝ .
③不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．
解析： ＝ ( ＋ )＝ a＋ b.
＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ( ＋ )
＝ ＋ ( － )
＝ ＋
＝ a＋ b.
10．设e1，e2是两个不共线向量，已知 ＝2e1－8e2， ＝e1＋3e2， ＝2e1－e2.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)若 ＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．
解析：(1)证明：由已知得 ＝ －
解析：连接AD.因为2 ＋ ＝0，所以 ＝ ， ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ( － )＝ ＋ .因为D、M、N三点共线，所以存在x∈R，使 ＝x ＋(1－x) ，则 ＝xλ ＋(1－x)μ ，所以xλ ＋(1－x)·μ ＝ ＋ ，根据平面向量基本定理，得xλ＝ ，(1－x)μ＝ ，所以x＝ ，1－x＝ ，所以 ＋ ＝1，所以λ＋μ＝ (λ＋μ) ＝ ≥ ，当且仅当λ＝ μ时等号成立，∴λ＋μ的最小值为 .
答案：
A．反向平行 B．同向平行
C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
解析：由题意得 ＝ ＋ ＝ ＋ ，
＝ ＋ ＝ ＋ ，
＝ ＋ ＝ ＋ ，
因此 ＋ ＋ ＝ ＋ ( ＋ － )
＝ ＋ ＝－ ，
故 ＋ ＋ 与 反向平行．
答案：A
12．[2019·清华大学自主招生能力测试]O为△ABC内一点，且 ＋ ＋2 ＝0，则△OBC和△ABC的面积比 ＝________.
④不正确．考虑b＝0这种特殊情况．
综上所述，正确命题的序号是①②.
答案：①②
7．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足| － |＝| ＋ －2 |，则△ABC的形状为________．
解析： ＋ －2 ＝( － )＋( － )＝ ＋ ， － ＝ ＝ － ，所以| ＋ |＝| － |.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．
答案：B
5．如图，已知四边形ABCD是梯形，E，F分别是腰的中点，M、N是线段EF上的两个点，且EM＝MN＝NF，下底是上底的2倍，若 ＝a， ＝b，则 ＝( )
A．－ a－ bB. a＋ b
C. a＋ bD. a－ b
解析：∵ ＝ ( ＋ )＝ ＝ a
＝－ ＝－ b，
∴ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋
－ ＝ a－ b－ × a
C．e1－3e2
D．3e1－e2
解析：向量a－b是以b的终点为始点，a的终点为终点的向量．由图形知，a－b＝e1－3e2.
答案：C
4．[2019·石家庄检测]在△ABC中，点D在边AB上，且 ＝ ，设 ＝a， ＝b，则 ＝( )
A. a＋ bB. a＋ b
C. a＋ bD. a＋ b
解析：∵ ＝ ，∴ ＝ ，∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ( － )＝ ＋ ＝ a＋ b，故选B.
＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
∵ ＝2e1－8e2，∴ ＝2 ，
又有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)由(1)可知 ＝e1－4e2，且 ＝3e1－ke2，
由B，D，F三点共线得 ＝λ ，
即3e1－ke2＝λe1－4λe2，
得 ，解得k＝12，∴k＝12.
[能力挑战]
11．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且 ＝2 ， ＝2 ， ＝2 ，则 ＋ ＋ 与 ( )