山东省聊城市水城中学2024-2025学年高三上学期第一次备考监测联考(10月)数学试题

山东省聊城市水城中学2024-2025学年高三上学期第一次备考
监测联考（10月）数学试题
一、单选题
1．已知集合{3,1,1,3,5}M =--，{}260N x
x x =+-≥∣，则M N =I （ ） A ．{3}- B ．{3,5} C ．{3,3}-
D ．{3,3,5}-
2．已知函数()()e 1x
f x f x '=-，则（ ）
A ．()e
12
f =-
B ．()e
12
f '=-
C ．()2
2e e f =-
D ．()2
2e e f '=-
3．已知函数()*
(2),n f x x n =-∈N ，则“1n =”是“()f x 是增函数”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知函数()()()1
tan 0,0π2
f x x ωϕωϕ=
-><<的部分图象如图所示，则ωϕ=（ ）
A ．
5π6
B ．
2π3 C ．π3
D ．π6
5．若对任意的,x y ∈R ，函数()f x 满足()()()2
f x y f x f y +=+，则()4f =（ ）
A ．6
B ．4
C ．2
D ．0
6．某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润s （单位：百万
元）与新设备运行的时间t （单位：年，*
N t ∈）满足232
25098,8
102,8
t t t s t t t t ⎧-+-<=⎨-+-≥⎩，当新设备生
产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间t =（ ） A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
7．如图，在ABC V 中，120,2,1,BAC AB AC D ∠===o 是BC 边上靠近B 点的三等分点，E 是BC 边上的动点，则AE CD ⋅u u u r u u u r
的取值范围为（ ）
A ．103⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ B ．73⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦ C ．410,33⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
D ．47,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
8．已知函数()3
31f x x x =++，若关于x 的方程()()sin cos 2f x f m x ++=有实数解，则m 的
取值范围为（ ）
A ．⎡-⎣
B ．[]1,1-
C ．[]0,1
D ．⎡⎣
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A ．“0x ∃>，ln 0x x -<”的否定为“0x ∀>，ln 0x x -≥”
B ．在AB
C V 中，若BC AC >，则()sin sin A A B >+ C ．若πtan 34θ⎛
⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 2θ=
D ．若1
a b
=，则2244a b +≥
10．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的定义出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集E 与F ，且满足E F Q ⋃=，E F ⋂=∅， E 中的每个元素都小于F 中的每个元素，称(),E F 为戴德金分割．下列结论正确的是（ ）
A ．{1},{1}E x x F x x =∈<=∈>Q
Q ∣∣是一个戴德金分割 B ．存在一个戴德金分割(),E F ，使得E 有一个最大元素，F 没有最小元素
C ．存在一个戴德金分割(),E F ，使得E 有一个最大元素，F 有一个最小元素
D ．存在一个戴德金分割(),
E
F ，使得E 没有最大元素，F 也没有最小元素 11．已知41
log 1002a =，10ln
9b =
，c = ） A ．c a > B ．a b > C ．c b >
D ．b a >
三、填空题
12．已知非零向量,a b r r
满足1,02a a b a ⎛⎫=-⋅= ⎪⎝⎭r r r r ，则a r 与b r
的夹角为．
13．若π0,2α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，且πcos 2cos 4αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则α=．
14．已知正实数,a b 满足232a b +=，则224
ab
a b -++的最大值为.
四、解答题
15
．已知向量2
,cos a x x ⎫=⎪⎪⎝⎭
r
，)
b x =r ，函数()3
2
f x a b =⋅+r r .
(1)求()f x 的单调递减区间；
(2)若()f x 在区间π,4m ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为3，求m 的最小值.
16．记ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c
cos a b
B B c
++=． (1)求C ；
(2)若CD 是ABC V
的中线，且CD =ABC V
的面积为ABC V 的周长．
17．已知函数()()2e 23e 3x x
f x a ax =-++．
(1)当3a =时，求曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程； (2)求函数()y f x =的极大值．
18．在ABC V 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ．
(1)2b a =+，4c a =+，是否存在正整数a
*N ，且ABC V 为钝角三角形？若存在，求出a ；若不存在，说明理由．
(2)若4,a b c D ===为BC 的中点，E ，F 分别在线段,AB AC 上，且90EDF ︒∠=，CDF θ
∠=()
90θ︒
︒<<，求DEF V 面积S 的最小值及此时对应的θ的值．
19．当一个函数值域内任意一个函数值y 都有且只有一个自变量x 与之对应时，可以把这个函数的函数值y 作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量x 作为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反函数.例如，由3,R y x x =∈，得,3
y
x y =
∈R ，通常用x 表示自变量，则写成,3x y x =∈R ，我们称3,y x x =∈R 与,3
x
y x =∈R 互为反函数.已知函数()f x 与()g x 互
为反函数，若,A B 两点在曲线y =f x 上，,C D 两点在曲线y =g x 上，以,,,A B C D 四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线y x =垂直，则我们称这个矩形为()f x 与()g x 的“关联矩形”.
(1)若函数()f x =11,4A y ⎛⎫
⎪⎝⎭
在曲线y =f x 上.
（i ）求曲线y =f x 在点A 处的切线方程； （ii ）求以点A 为一个顶点的“关联矩形”的面积.
(2)若函数f x =ln x ，且()f x 与()g x 的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为S .
证明：2
122S ⎫>⎪⎭.1ln20-<）。