江苏省扬州市大学附属中学高三数学文模拟试题含解析

江苏省扬州市大学附属中学高三数学文模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设单位向量,对任意实数都有|+|≤|+|，则向量,的夹角为( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
2. 若向量=（3，4），且存在实数x，y，使得=x，则可以是（）
A． =（0，0），=（﹣1，2）B． =（﹣1，3），=（2，﹣6）
C． =（﹣1，2），=（3，﹣1）D． =（﹣，1），=（1，﹣2）
参考答案：
C
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【专题】平面向量及应用．
【分析】由平面向量基本定理便知，与不共线，这样根据共面向量基本定理容易判断A，B，D 中的向量与共线，而根据共线向量的坐标关系可判断C中的不共线，从而便得出正确选项为C．
【解答】解：根据平面向量基本定理知：
不共线；
A.，共线；
B.，共线；
C.，∴﹣1×（﹣1）﹣2×3=﹣5≠0，∴与不共线，即该选项正确；
D.，∴共线．
故选：C．
【点评】考查共面向量基本定理，平面向量基本定理：，其中要求不共线，以及共线向量的坐标关系．
3. 设数列{a n}的前n项和为S n，，且.若，则n的最大值为（）A．51 B．52 C．53 D．54
参考答案：
A
若n为偶数，则，，，所以这样的偶数不存在
若n为奇数，则
S n
若，则当时成立
若，则当不成立
故选A
4. 定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，2）时，f（x）
=，函数g（x）=（2x﹣x2）e x+m，若?x1∈[﹣4，﹣2]，?x2∈[﹣1，2]，使得不等式f（x1）﹣g（x2）≥0成立，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞， +2] C．[+2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]
参考答案：
D
【考点】分段函数的应用．
【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】由f（x+2）=f（x），可得周期T=2，可得f（x）在[0，2]的最小值即为f（x）在[﹣4，﹣2]的最小值，运用二次函数和指数函数的单调性，求得f（x）的最小值；对g（x），求得导数，求得单调区间和极值，最值，可得g（x）的最小值，由题意可得f（x）min≥g（x）min，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：由f（x+2）=f（x），可得周期T=2，
可得f（x）在[0，2]的最小值即为f（x）在[﹣4，﹣2]的最小值，
当0≤x＜1时，f（x）=﹣2x2＞f（1）=﹣2=﹣，
当1≤x＜2时，f（x）=，
f（x）在[1，）递减，在[，2）递增，
可得f（x）在x=处取得最小值，且为﹣2；
由﹣2＜﹣，可得f（x）在[0，2]的最小值为﹣2；
对于g（x）=（2x﹣x2）e x+m，g′（x）=（2﹣x2）e x，
当x∈[﹣1，]时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当x∈[，2]时，g′（x）＜0，g（x）递减．
可得x=处g（x）取得极大值，也为最大值；
g（﹣1）=﹣3e﹣1+m＜g（2）=m，可得g（x）的最小值为g（﹣1）．
由题意可得f（x）min≥g（x）min，
即为﹣2≥﹣3e﹣1+m，即m≤﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的性质和运用，考查周期性和单调性的运用，注意运用最大值、最小值来解决恒成立和存在性问题，属于中档题．
5. 设，是非零向量，记与所成的角为，下列四个条件中，使成立的充要条件是（）．A．B．C．D．
参考答案：
B
等价于非零向量与同向共线，故选B.
6. 设a为非零实数，则关于函数f（x）=x2+a|x|+1，x∈R的以下性质中，错误的是（）
A．函数f（x）一定是个偶函数B．函数f（x）一定没有最大值
C．区间[0，+∞）一定是f（x）的单调递增区间D．函数f（x）不可能有三个零点
参考答案：
分析：根据偶函数的定义，判断f（﹣x）=f（x）则函数为偶函数；根据函数图象开口向上，函数没有最大值；取特殊值法，然后结合函数图象，判定单调递增区间；把函数转化成方程解的问题解答即可．
解答：解：（1）∵﹣x∈R
∴f（﹣x）=（﹣x）2+a|﹣x|+1=x2+a|x|+1=f（x）
∴函数f（x）一定是个偶函数．
（2）∵二次函数f（x）=x2+a|x|+1，开口向上，所以函数f（x）一定没有最大值．
（3）令a=﹣2，则f（x）=x2﹣2|x|+1画出如上图所示的函数图象，可知在区间[0，∞]不是f（x）的单调递增区间，所以C项错误．
（4）方程x2+ax+1=0，△=a2﹣4≥﹣4，此方称可能无解、一个解或者两个解，所以函数f（x）
=x2+a|x|+1可能无零点、两个零点、或者四个零点．
故选C．
点评：本题考查了二次函数的奇偶性，通过图象观察最值以及单调性，数形结合有助于我们的解题，形象直观．
7. 下列有关命题的说法正确的是………………………………………………………………
（）
命题“x ∈R ，使得x 2+x+1＜0”的否定是：“x∈R，均有x2+x+1＜
0”
命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题
D
8. 设，则a，b，c的大小关系为（）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
参考答案：
A
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．
【解答】解：∵，
＞20160=1，
0=log20161＞b=＞=，c=＜=，
∴a＞b＞c．
a，b，c的大小关系为a＞b＞c．
故选：A．
【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．
9. 下列选项中，说法正确的是（）
设是向量，命题“若，则||=||”的否命题是真命题
命题“p∪q”为真命题，则命题p和q均为真命题
D
解答：解：A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，对于逆命题，取m=0时不成立；
B．设是向量，命题“若，则||=||”的否命题是“若，则||≠||”是假命题，若向量、的起点相同，其终点在同一个圆周上，则必有||≠||，故其逆命题是假命题；
C．只要p、q中有一个为真命题，则pVq即为真命题．由此可知：C为假命题；
D．根据：全称命题p：“?x0∈M，p（x0）”的否定￢p为：“?x∈M，￢p（x）”可知：D正确．综上可知：正确答案为：D．
故选D．
点评：掌握四种命题间的关系、或命题的真假关系、全称命题与特称命题的否定关系是解题的关键．
10. “
成立”是“
成立”的
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 参考答案： B 由得
或。

所以“
成立”是“
成立”的必要不充分条
件，选B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图，在Rt △ADE 中，是斜边AE 的中点，以
为直径的圆O 与边DE 相切于点C ，若 AB ＝
3，则线段CD 的长为 ．
参考答案：
12. 已知某人投篮的命中率为
，则此人投篮4次，至少命中3
次的概率是。

参考答案：
13.
则=
参考答案：
答案： 1
14. 函数
的最大值是
．
参考答案：
10 略
15. 已知定义在R 上的函数
满足：①函数的图像关于点(－1,0)对称；②对任意的
，都有
成立；③当
时，
，则
.
参考答案：
-2
16.
.
参考答案： 2 略
17. 平行四边形
中，为的中点．若在平行四边形内部随机取一点，
则点取自△内部的概率为______．
参考答案：
,根据几何概型可知点
取自△
内部的概率为
，其中为平行四边形底面的高。

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数（
）的最小正周期为
．
（Ⅰ）求函数
的单调增区间；
（Ⅱ）将函数
的图象向左平移
个单位，再向上平移个单位，得到函数
的图象．若
在
上至少含有
个零点，求的最小值．
参考答案：
解：（Ⅰ）由题意得
由周期为
，得
. 得
由正弦函数的单调增区间得
，得
所以函数
的单调增区间是
…………6分
（Ⅱ）将函数的图象向左平移
个单位，再向上平移1个单位，
得到
的图象，所以
令，得：或
所以在每个周期上恰好有两个零点， 若
在
上有
个零点，
则不小于第个零点的横坐标即可，即的最小值为 …………13分
略
19. 某班级举办知识竞赛活动，现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表：
（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；
（2）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备4道判断题，选手对其依次口答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对1道，则获得二等奖．某同学进入决赛，每道题答对的
概率p 的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同． （1）求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率； （2）设该同学答题个数为X ，求X 的分布列及X 的数学期望．
【考点】CH ：离散型随机变量的期望与方差；CC ：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；CG ：离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）由频率分布表的性质和频率=
能求出结果．
（2）（1）先求出p=0.4，由此能求出该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率．
（2）该同学答题个数为2，3，4，即X=2，
3
，4，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E （X ）．
【解答】解：（1）由频率分布表的性质得： d=
=50，a=
=0.44，b=50﹣8﹣22﹣14=6，c=
=0.12．…（4分）
（2）由（1）得p=0.4 (1)
…（7分）
（2）该同学答题个数为2，3，4，即X=2，3，4，
，
…（10分）
∴X 的分布列为： 12分）
【点评】本题考查频率分布表的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的
求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
20. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点，作交于点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值．
参考答案：
（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）
如图建立空间直角坐标系，点为坐标原点，设. ……..…1分（Ⅰ）证明：连结交于点，连结.
依题意得.
因为底面是正方形，所以点是此正方形的中心，
故点的坐标为，且
.
所以,即,而平面,且平面,
因此平面．……5分
（Ⅱ）,又,故,所以.
由已知，且,所以平面. ………7分
所以平面的一个法向量为.,
不妨设平面的法向量为
则
不妨取则，即…10分
设求二面角的平面角为
因为，所以．
二面角的正弦值大小为．………12分
21. (本题满分12分
)
设函数直线与函数图象相邻两交点的距离为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）在△中，角、、所对的边分别是、、，若点（）是函数图象的一个对称中心，且，求△周长的取值范围.
参考答案：
周长为
a+b+c=………12分
22. 已知函数f(x)=sinωx·cosωx﹣+cos2ωx(ω＞0)的最小正周期为π．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边，角A是锐角，f（A）=0，a=1，b+c=2，求△ABC的面积．参考答案：
【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦定理．
【分析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx+），
利用周期公式可求ω，可得函数解析式，进而由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），可得f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由，又角A是锐角，可求A的值，利用余弦定理可求bc=1，根据三角形面积公式即可计算得解．
【解答】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）
=，…
∴T==π，从而可求ω=1，…
∴f（x）=sin（2x+）…
由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），可得：，
所以f（x）的单调递增区间为：．…
（Ⅱ）∵f（A）=0，
∴，又角A是锐角，
∴，
∴，即．…
又a=1，b+c=2，
所以a2=b2+c2﹣2bc?cosA=（b+c）2﹣3bc，∴1=4﹣3bc，
∴bc=1．…
∴．…。