2019秋人教A版高中数学必修四课件：2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

1.若向量a，b满足|a|=|b|=1，a与b的夹角为120°，则
a·a+a·b= ( )
A.
B.1
C.-
D.-1
【解1 析】选A.a·a+a·b=12+1×1 1×cos 120°= .
2
2
1
2
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2.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=2
与b的夹角为 ( )
A.
则|b|=_________.
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【解题指南】(1)由|a|=|a+2b|可得|b|2与a·b的关系，然 后代入夹角公式求解. (2)根据a+b+c=0，(a-b)⊥c，可得出向量a与b模相等.
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【解析】(1)把|a|=|a+2b|两边平方，整理得
2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景 及其含义
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主题1 向量的数量积 如图,一个物体在力F的作用下产生位移s,据此回答下列问
题:
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(1)如何计算这个力所做的功?
提示:根据物理知识知W=|F||s|cos θ.
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4.如何由向量的数量积公式求其夹角？
提示：由a·b=|a|·|b|cos θ得，cos θ= ，再由三a角b函数
确定其夹角.
ab
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5.实数满足交换律、结合律、分配律，向量数量积是否同 样满足这些运算律？
提示：向量数量积同样满足交换律、结合律、分配律.
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【跟踪训练】
1.(2019·厦门高一检测)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=
2,且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等,则
|a-b|等于 ( )
A.1
B.
C.
D.3
3
5
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【解析】选C.因为a在b方向上的投影与b在a方向上的
(2)力做的功的大小与哪些量有关? 提示:与力的大小、位移大小及它们之间的夹角有关.
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(3)力F在位移s方向上的分力大小是多少? 提示:由图知力F在位移s方向上的分力是|F|cos θ. (4)力和位移均可看作是数学上的向量,那么可否把
“功”看作是向量间的新运算呢? 提示:可把“功”看作向量的数量积运算.
a·b=-|b|2，设a与b的夹角为θ，
则cos θ=
答案：-
ab | a || b |
b2 3b2
1. 3
1
3
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(2)因为a+b+c=0，所以c=-(a+b). 因为(a-b)⊥c，所以c·(a-b)=0， 所以-(a+b)·(a-b)=0，
所以a2-b2=0，所以|b|=|a|=1. 答案：1
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几何 意义
规定
a与b的数量积等于a的长度__|_a_|与b在a方向
上投影|b|cos θ的乘积，或b的长度__|_b_| 与a在b方向上投影__________的乘积
|a|cos θ 零向量与任一向量的数量积均为0
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【对点训练】
ab 9 1 a b 63 2
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类型二 与向量的模有关的问题
【典例2】(1)设非零向量a,b满足|a+b|=2,|a-b|=1,
则a·b的值为 ( )
A.
B.
C.-
D.-
(2)已3 知|a|=2,1|b|=1,a与b之间3的夹角为60°1 ,那么向
4
4
4
4
量a-4b的模为________.
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【方法总结】求向量夹角的方法
求两向量的夹角主要借助于公式cos θ= a,b求解方 法有两种情况:一是根据已知条件求出a·b,|a| a|与|| b||b|,
代入公式求解;二是找出|a|,|b|与a·b的关系通过约 分求解.
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②(a+b)·(a-b); ③(2a-b)·(a+3b).
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【解题指南】借助数量积的定义及运算律求解. 【解析】(1)由已知两边平方得a2+b2+2a·b=9,a2+b22a·b=16,相减得4a·b=-7,所以a·b=- .
主题2 数量积的运算律 已知两个非零向量a，b，θ为a与b的夹角，回答下列问题： 1.若a·b=0，则a与b有什么关系？ 提示：由a·b=|a||b|cos θ=0得cos θ=0. 所以θ=90°，则a⊥b.
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2.a·a等于什么？ 提示：a·a=|a|·|a|cos 0°=|a|2. 3.a·b与|a||b|有怎样的大小关系？ 提示：由a·b=|a||b|cos θ.-1≤cos θ≤1得 -|a||b|≤a·b≤|a||b|.
,
CM CN （CO OM）（ CO OM） CO2 OM2 CO2 1
所以当| |最小时值最小,此时| |为圆心到直线AB的
距离,由于OC∠AOB=120°,所以圆心到直O线C 的距离为1·
sin 30°= ,故最小值为 -1=- .
1
1
3
2
4
4
第二十七页，编辑于星期日：点 五十一分。
2.设非零向量a和b，它们的夹角为θ. (1)若|a|=5，|b|=4，θ=150°，求a在b方向上的投影和a 与b的数量积. (2)若a·b=9，|a|=6，|b|=3，求b在a方向上的投影和a与 b的夹角θ.
解得|b|= 或|b|2=-3 (舍去).
答案： 2
2
2
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类型三 向量的夹角与垂直问题 【典例3】(1)若非零向量a，b满足|a|=3|b|= |a+2b|， 则a与b夹角的余弦值为_________. (2)设向量a，b，c，满足a+b+c=0，(a-b)⊥c，|a|=1，
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【解题指南】(1)将|a-b|与|a+b|都平方即可发现向量a与
b的关系.
(2)利用公式|a|= 求解.
a2
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【解析】(1)选A.由|a+b|=2,|a-b|=1,两边分别平方 得a2+2a·b+b2=4,a2-2a·b+b2=1,两式相减得4a·b=3,
7 4
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(2)①a·b=|a|·|b|cos 120°=2×3×
=12-3.
②(a+b)·(a-b)=a2-a·b+a·b-b2=a2-b2=|a|2-|b|2
=4-9=-5.
③(2a-b)·(a+3b)=2a2+6a·b-a·b-3b2=
2|a|2+5a·b-3|b|2=2×4-5×3-3×9=-34.
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【方法总结】
1.求平面向量数量积的方法
(1)若已知向量的模及其夹角,则直接利用公式 a·b=|a||b|cos θ. (2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影, 可利用数量积的几何意义求a·b.
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【补偿训练】1.已知A,B是单位圆上的两点,O为圆心,
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【对点训练】 1.已知|a|=6,|b|=5,a·b=15,则向量a与向量b的夹角为
________.
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【解析】设向量a与b的夹角为θ，
则cos θ= a b 又150°≤1θ,≤180°，则θ=60°. 答案：60° | a || b | 65 2
则a·b= 3 . (2)因为|a4|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为60°,
所以a·b=2×1×cos 60°=1,
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所以|a-4b|= （a 4b）2 a2 16b2 8a b .
4 16 8 2 3
答案:2
3
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【方法总结】求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模平方,与向量数量积联系, 并灵活应用a2=|a|2,勿忘记开方. (2)a·a=a2=|a|2或|a|= ,此性质可用来求向量的
模,可以实现实数运算与向量a 2 运算的相互转化.
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(3)一些常见的等式应熟记,如(a±b)2=a2±2a·b+b2, (a+b)·(a-b)=a2-b2等.
B.
C.
2
3
2
3
Байду номын сангаас
4
,3且a⊥(a+b),则a
D.
5 6
第九页，编辑于星期日：点 五十一分。
【解析】选D.因为a⊥(a+b),所以a·(a+b)=0,
所以a2+a·b=0,所以9+3×2 cos <a,b>=0,
3
所以cos <a,b>=-
,所以<a,b>=
3
π.
5
2
6
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第十四页，编辑于星期日：点 五十一分。
结论：
1.向量数量积的运算性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，则 (1)a⊥b⇔a·b=0
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(2)当a∥b时，a·b= (3)a2=|a|2，或|a|= (4)|a·b|≤|a||b|
(5)cos θ=
ab | a || b |
且∠AOB=120°,MN是圆O的一条直径,点C在圆内,且满
足 =λ +(1-λ) (λ∈R),则 · 的最小值
为 OC ( OA)
OB
CM CN
A.-
B.-
C.-
D.-1
1
1
3
2
4
4
第二十六页，编辑于星期日：点 五十一分。
【解析】选C.由 OC OA （1 ）O（B ,R得）A,B,C三
点共线,
【解析】因为|2a+b|= ，
所以(2a+b)2=10，
10
所以4a2+4a·b+b2=10，
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又因为向量a与b的夹角为45°且|a|=1，
所以4|a|2+4|a||b|cos 45°+|b|2=10，
故4×12+4×1×|b|× +|b2|2=10， 整理得|b|2+2 |b|-6=02，
第二十八页，编辑于星期日：点 五十一分。
【解析】(1)a在b方向上的投影为
|a|cos θ=5cos 150°=- ，5 3
a·b=|a||b|cos θ=5×4×cos 1250°=-10 .
(2)b在a方向上的投影为|b|cos θ=
3
因为cos θ=
，且0°≤θ≤180°，a所ab以 θ96 =6320. °.
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2.已知|a|=3,|b|=4,则(a+b)·(a-b)=________. 【解析】(a+b)·(a-b)=a2-b2 =|a|2-|b|2=32-42=-7. 答案:-7
第二十页，编辑于星期日：点 五十一分。
类型一 数量积的运算
【典例1】(1)已知向量a,b满足|a+b|=3,|a-b|=4,则 a·b=________. (2)已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,试求: ①a·b;
a b ，当a，b同向时，
a
b ，当a，b反向时.
aa
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2.向量数量积的运算定律
已知向量a，b，c与实数λ，则
交换律 结合律 分配律
a·b=__b_·_a_ (λa)·b=__λ__(_a_·b__)_=___a_·(_λ__b_)_
a·(b+c)=__________ a·b+a·c
【跟踪训练】
已知向量a,b满足 =3, =4,a·
=-9,则a,b
a
b
a 3b
的夹角为________.
第五页，编辑于星期日：点 五十一分。
结论：数量积的定义及其几何意义
定义 投影
已知两个非零向量a和b，它们的夹角 为θ，把|a||b|cos θ叫做a与b的数 量积(或内积)，记作a·b，即a·b= _____________. _|_a_|_|_b_|_c_o_s_(θ|b|cos θ)叫做向量a在b 方|a向|c上os(向θ量b在a方向上)的投影
投影相等,所以 a b a b ,又因为|a|=1,|b|=2,所以 a·b=0,所以a,b垂b直,所a以|a-b|=
a2 b2 2a b 1 4 5.
第三十七页，编辑于星期日：点 五十一分。
2.已知向量a与b的夹角为45°，且|a|=1，|2a+b|=
，则|b|=_________.
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