高考文科数学一轮复习课件——第二课时 参数方程

(2)|M1M2|=|t1-t2|;
(3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t,则 t= t1 t2 ,中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|= 2
|t|=| t1 t2 |; 2
(4)若M0为线段M1M2的中点,则t1+t2=0.
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【重要结论】 直线的参数方程中,参数t的系数的平方和为1时,t才有几何意义且其几何意义 为:当M1,M2在M0(x0,y0)同侧时,t1,t2同号,异侧时t1,t2异号,|t1|=|M0M1|,|t2|= |M0M2|.
解:(1)曲线 C 的直角坐标方程为 x2 + y 2 =1. 4 16
当 cos α≠0 时,l 的直角坐标方程为 y=tan α·x+2-tan α, 当 cos α=0 时,l 的直角坐标方程为 x=1.
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(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.
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解:(1)☉O 的直角坐标方程为 x2+y2=1.
当α= π 时,l 与☉O 交于两点. 2
当α≠ π 时,记 tan α=k,则 l 的方程为 y=kx- 2 . 2
l 与☉O 交于两点当且仅当| 2 |<1,解得 k<-1 或 k>1, 1 k2
即α∈( π , 3π )或α∈( π , π ).综上,α的取值范围是( π , 3π ).
(t
为参数).
(1)若 a=-1,求 C 与 l 的交点坐标;
解:(1)曲线 C 的普通方程为 x2 +y2=1.当 a=-1 时,直线 l 的普通方程为 x+4y-3=0. 9
由
x 4

x2 9

y3 y2 1,
0,
解得
x

y

3, 0
或
x

y

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考点专项突破
在讲练中理解知识
考点一 参数方程与普通方程的互化
【例
1】(2018·全国Ⅲ卷)在平面直角坐标系
xOy
中,☉O
的参数方程为
x y

cos sin
,
(θ为参数),过点(0,- 2 )且倾斜角为α的直线 l 与☉O 交于 A,B 两点.
(1)求α的取值范围;
21, 25
24 . 25
从而
C
与
l
的交点坐标为(3,0),(-
21 25
,
24 25
).
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(2)若C上的点到l距离的最大值为 17 ,求a.
解:(2)直线 l 的普通方程为 x+4y-a-4=0,
故 C 上的点(3cos θ,sin θ)到 l 的距离为 d= 3cos 4sin a 4 .
C1:

x y

t t
cos sin
,
(t
为参数,t≠0),其中
0≤α<π.在
以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2 3 cos θ.
(1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标;
解:(1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0,曲线 C3 的直角坐标方程为 x2+y2-2 3 x=0.
2.(2017·苏州模拟)已知点
P(3,m)在以
F
为焦点的抛物线

x

4t
2
,
(t
为参数)上,则|PF|
y 4t
等于( A )
(A)4 (B)3 (C)2
(D)5
解析:由

x

4t
2
,
(t
为参数),得
y2=4x,则焦点
F
为(1,0),准线方程为
x=-1,故
y 4t
|PF|=3+1=4,故选 A.
函数
x

y

f g
t t
, ,
并且对于
t
的每一个允许值,上式所确定的点
M(x,y)都在这条曲线
上,则称上式为这条曲线的 参数方程 ,其中变数 t 称为参变数,简称 参数 .
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2.直线、圆、椭圆的参数方程
曲线 过点 M(x0,y0),倾斜角为α的直线 l 圆心在点 M0(x0,y0),半径为 R 的圆 圆心在原点,半径为 R 的圆 椭圆 x2 + y 2 =1(a>b>0)
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3.已知☉O
的参数方程为
x

y

cos sin
,
(θ为参数),则☉O
上的点到直线

x y

2 1
4 t, 5 3t 5
(t
为参数)
的距离最大值为( C )
(A)2 (B)1 (C)3
(D)5
解析:圆 O 的普通方程为 x2+y2=1,直线的普通方程为 3x+4y-10=0,圆心 O(0,0)到 该直线的距离为 10 =2,故圆 O 上的点到直线的距离最大值为 2+1=3.
3.直线的参数方程的标准形式的应用
过点
M0(x0,y0),倾斜角为α的直线
l
的参数方程是
x

y

x0 y0
t cos, t sin
(t
是参数).
若 M1,M2 是 l 上的两点,其对应参数分别为 t1,t2,则
(1)M1,M2 两点的坐标分别是(x0+t1cos α,y0+t1sin α),(x0+t2cos α,y0+t2sin α);
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【跟踪训练 2】 (2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为
x y

3 cos sin
,
(α为参数),以坐标原点为极点,以
x
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲
线 C2 的极坐标方程为ρsin(θ+ π )=2 2 . 4
(1)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程;
解:(2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程,整理得关于 t 的方程(1+3cos2 α)t2+4(2cos α+sin α)t-8=0.① 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内, 所以①有两个解, 设为 t1,t2,则 t1+t2=0.
又由①得
t1+t2=-
4

2cos sin 1 3cos2
其中正确的是
.(写出所有正确命题的序号)
解析:①错误.曲线的参数方程中的参数,可以具有物理意义,可以具有几何意义,也可以没有明显的 实际意义; ②正确.两方程互化后所表示的曲线相同; ③错误.圆的参数方程中的参数θ表示半径的旋转角,而椭圆的参数方程中的参数表示对应的大圆 或小圆半径的旋转角,也就是椭圆的离心角; ④正确.用参数方程解决动点的轨迹问题,若选用的参数不同,那么所求得的曲线的参数方程的形 式就不同. 答案:②④
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对点自测
1(.A)xy3
5cos, (θ为参数)的焦距是(
4sin
(B)6
(C)8 (D)10
B)
解析:由曲线
x

y

5cos 4sin
,
(θ为参数),知该曲线为椭圆,且
a=5,b=4,所以
c=
a2 b2
=3,椭圆的焦距为 6,故选 B.
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3
联立

x x
2 2

y2 y2
2 y 0, 2 3x
0,
解得

x y

0, 0,
或

x y

2 3. 2
,
所以
C2 与
C3 交点的直角坐标为(0,0)
和( 3 , 3 ). 22
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(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.
24
42
44
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(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
解:(2)l
的参数方程为
x y
t cos, 2 t sin
(t
为参数,
π 4
<α<
3π 4
).设
A,B,P
对应的参数分
别为 tA,tB,tP,则 tP= tA tB ,且 tA,tB 满足 t2-2 2 tsin α+1=0.于是 tA+tB=2 2 sin 2
所以弦长为 2 r2 d 2 =2 9 5 =4.
答案:4
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5.给出下列命题:
①曲线的参数方程中的参数都有实际意义;
②参数方程与普通方程互化后表示的曲线是一致的;
③圆的参数方程中的参数θ与椭圆的参数方程中的参数的几何意义相同;
④普通方程化为参数方程,参数方程的形式不唯一.
α,tP=
2 sin
α.又点
P
的坐标(x,y)满足
x

tP
cos ,
y 2 tP sin ,
所以点
P
的轨迹的参数方程是

x


y

2 sin 2, 2 2 2
22
cos 2
(α为参数,
π 4
<α<
3π 4
).
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反思归纳
(1)将参数方程化为普通方程的基本途径就是消参,消参过程注意两点:一是 准确把握参数形式之间的关系;二是注意参数取值范围对曲线形状的影响. (2)已知曲线的普通方程求参数方程时,选取不同含义的参数时可能得到不同 的参数方程.
a2 b2
参数方程
x

y

x0 y0
t cos, t sin
(t
为参数)
x x0 Rcos

y

y0

R sin
, (θ为参数)
x Rcos

y

R
sin
, (θ为参数)
x

y

a cos, bsin
(
为参数)
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解:(1)C1的普通方程为 x2+y2=1,C2的直角坐标方程为x+y-4=0.
3
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(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
解:(2)由题意,可设点 P 的直角坐标为( 3 cos α,sin α). 因 为 C2 是直 线 , 所 以 |PQ| 的 最 小 值 即 为 P 到 C2 的 距 离 d( α ) 的 最 小 值 .d( α )=
5
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4.(人教
A
版教材习题改编)在直角坐标系
xOy
中,已知曲线
C1:
x

y
t 2, 1 2t
(t
为参数)与曲
线
C2:

x y

3cos 3sin
,
(θ为参数)相交于
A,B
两点,则线段
AB
的长为
.
解析:曲线 C1 是直线 2x+y-5=0,曲线 C2 是圆 x2+y2=9,圆心到直线的距离 d= 5 = 5 , 4 1
3 cos sin 4 =
2
|sin(α+ π )-2|.
2Leabharlann 3当且仅当α=2kπ+ π (k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为 2 ,此时 P 的直角坐标为 6
( 3 , 1 ). 22
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考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用
【例 3】
在直角坐标系
xOy
中,曲线


,
故 2cos α+sin α=0,
于是直线 l 的斜率 k=tan α=-2.
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考点二 参数方程及其应用
【例 2】
(2017·全国Ⅰ卷)在直角坐标系
xOy
中,曲线
C
的参数方程为
x

y

3cos sin
,
(θ为参数),直线
l
的参数方程为
x

y

a 4t, 1t
解:(2)曲线 C1 的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中 0≤α<π. 因此 A 的极坐标为(2sin α,α), B 的极坐标为(2 3 cos α,α). 所以|AB|=|2sin α-2 3 cos α|=4|sin(α- π )|.
17
当 a≥-4 时,d 的最大值为 a 9 . 17
由题设得 a 9 = 17 ,所以 a=8;当 a<-4 时,d 的最大值为 a 1 ,
17
17
由题设得 a 1 = 17 ,所以 a=-16.综上,a=8 或 a=-16. 17
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反思归纳 一般地,如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参 数方程,设曲线上点的坐标,将问题转化为三角恒等变换问题解决,使解题过 程简单明了.
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第二课时 参数方程
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[考纲展示]
1.了解参数方程,了解参数的意义.
2.能选择适当的参数写出直线、圆 和椭圆的参数方程.
知识链条完善 考点专项突破
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知识链条完善
知识梳理
把散落的知识连起来
1.曲线的参数方程
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变数 t 的
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【跟踪训练 1】 (2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为
x

y

2cos 4sin
,
(θ为参数),直线
l
的参数方程为
x

y

1 t cos, 2 t sin
(t
为参数).
(1)求 C 和 l 的直角坐标方程;