高中数学 第4章 数系的扩充与复数的引入(二)同步练习

2014-2015高中数学 第4章 数系的扩充与复数的引入（二）同步练
习 北师大版选修1-2
说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1、设,,,a b c R ∈则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是（ ） A 、0ad bc -= B 、0ac bd -= C 、0ac bd += D 、0ad bc +=
2
等于（ ）
A 、i
B 、i -
C i
D i
3、若复数z 满足方程022
=+z ，则3
z 的值为（ ）
A 、22±
B 、22-
C 、i 22-
D 、i 22± 4、对于任意的两个实数对（a ,b ）和(c,d),规定（a ,b ）＝(c,d)当且仅当a ＝c,b ＝d;运算“⊗”为：),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⊗，运算“⊕”为：),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕，设R q p ∈,，若)0,5(),()2,1(=⊗q p 则=⊕),()2,1(q p （ ）
A 、)0,4(
B 、)0,2(
C 、)2,0(
D 、)4,0(-
5、适合方程02=--i z z 的复数z 是（ ）
A 、i 2163+
B 、i 2163-
C 、i 2163--
D 、i 2
163+± 6、
2
)1(3
i -＝ ( )
A 、32i
B 、－3
2
i C 、i D 、－i
7、i 是虚数单位，
=+i
i
1（ ） A 、i 2121+ B 、i 2121+- C 、i 2121- D 、i 2
121--
8、如果复数2
()(1)m i mi ++是实数，则实数m =（ ）
A 、1
B 、1-
C
D 、
9、已知复数z 满足＋3i ）z ＝3i ，则z ＝（ ）
A 、322i
B 、344
C 、322
D 、344
i
10、在复平面内，复数1i
i
+对应的点位于 ( ) A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
第Ⅱ卷(非选择题 共60分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11、已知11m
ni i
=-+，
m n i 其中，是实数，是虚数单位，m ni +=则__________
12、在复平面内，若复数z 满足|1|||z z i +=-，则z 所对应的点的集合构成的图形是 。

13、设x 、y 为实数，且
i
i y i x 315
211-=
-+-，则x +y =__________.
14、非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意,a b G ∈，都有a b G ⊕∈；
（2）存在e G ∈，使得对一切a G ∈，都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融
洽集”；现给出下列集合和运算：
①{},G =⊕非负整数为整数的加法 ②{},G =⊕偶数为整数的乘法
③{},G =⊕平面向量为平面向量的加法 ④{},G =⊕二次三项式为多项式的加法 ⑤{},G =⊕虚数为复数的乘法
其中G 关于运算⊕为“融洽集”_______________;（写出所有“融洽集”的序号）
三、解答题(本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15、(本小题满分9分)已知复数w 满足i (i )23(4w w -=-为虚数单位），|2|5
-+=w w
z ，求一个以z 为根的实系数一元二次方程.
16、(本小题满分9分)计算2025100
)2
1(])11()21[(i i i i i +-+-+⋅+
17、(本小题满分9分) 在复平面上，正方形ABCD 的两个顶点A ，B 对应的复数分别为 1+2i ，3－5i ．求另外两个顶点C ，D 对应的复数．
18、(本小题满分13分)设z 是虚数，z
z 1
+=ω是实数，且21<<-ω. （1）求z 的值及z 的实部的取值范围； （2）设z
z
u +-=11，求证u 是纯虚数；
参考答案
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
1-10 DADBA AABDD
第Ⅱ卷(非选择题 共60分)
11、i +2 12、直线x y -= 13、4 14、①③ 15、[解法一] i 2i
21i
34,i 34)i 21(-=++=
∴+=+w w Θ， ……4分 i 3|i |i
25
+=-+-=
∴z . ……8分 若实系数一元二次方程有虚根i 3+=z ，
则必有共轭虚根i 3-=z .
10,6=⋅=+z z z z Θ，
∴ 所求的一个一元二次方程可以是01062=+-x x . ……10分
[解法二] 设i b a w +=R)(∈b a 、
b a b a 2i 2i 34i +-=-+，
得 ⎩⎨⎧-==-,23,24a b b a ∴ ⎩
⎨⎧-==,1,
2b a
i 2-=∴w ， ……4分
以下解法同[解法一].
16、解：2025100
)2
1(])11()21[(i i i i
i +-+-+⋅+ =10
2
5)(])(1)21[(i i i --+⋅+ =10
2
)()21(i i i --+ =102
)()1(i i -+ =12+i
17、解：设),(y x C ,则)5,3(),7,2(+-=-=y x 因为ABCD 是一个正方形，所以
||||BC BA =并且0=⋅
从而：⎪⎩
⎪⎨⎧=++-⋅-++-=+-0)5(7)3()2()5()3(7)2(2
222y x y x
解得⎩⎨
⎧-==310y x 或⎩⎨⎧-=-=7
4
y x
所以)3,10(-C 或)7,4(--C 同理：)4,8(D 或)0,6(-D .
18、解：（1）设bi a z +=,则2
2
1b a bi
a bi a bi a bi a w +-++=+++= =)1
1()11(2
222b a bi b a a +-+++
因为w 为实数，所以0,01
12
2≠=+-b b a 而
从而12
2
=+b a 进而1||=z .
由以上还可以得知：w a b a a 2)1
1(2
2=++=
又由条件21<<-ω 可得12
1
<<-a （2）]
)1][()1[(]
)1][()1[()1()1()(1)(111bi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a z z u -+++-+--=++--=+++-=+-=
=2
222)1(])1()1([)1(b a i
b a a b b a ++++---- 2
222)1(2)1(b a bi
b a ++---=
由第（1）题结论，12
2
=+b a 可知u 的实部为0，
显然u 的虚部不为0。

u 是纯虚数得证。