浙江省江山实验中学2014-2015学年高二数学4月教学质量检测试题 理

2014学年第二学期高二年级数学理科4月份教学质量检测试卷
一、选择题〔本大题共8小题,每一小题5分,共40分.在每一小题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的〕
1.假设集合
{|
0}1x
A x x =≤-,
2
{|2}B x x x =<,如此A B =〔 〕. A.{|01}x x << B.{|01}x x ≤< C.{|01}x x <≤ D.{|01}x x ≤≤ 2.在ABC ∆中，“0AB BC ⋅>〞是“ABC ∆是钝角三角形〞的 ( ) .
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.设m ，n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出如下命题，正确的答案是〔 〕. A.假设m β⊂，αβ⊥，如此m α⊥ B.假设m//α，m β⊥，如此αβ⊥ C.假设αβ⊥，αγ⊥，如此βγ⊥ D.假设m αγ=，n βγ=，m//n ，如此//αβ
4.函数
()f x 的定义域为{|1}x R x ∈≠，对定义域中任意的x ，都有(2)()f x f x -=，且当1x <时，
2()2f x x x =-，那么当1x >时,()f x 的递增区间是〔 〕.
A ．5[,)4+∞
B ．5(1,]4
C ．7[,)
4+∞ D ．7(1,)4
5.假设G 是ABC ∆的重心，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，假设3
03aGA bGB cGC ++
=，如此角A =〔 〕 .
A.
90B.60C.45D.30
6.抛物线
)(022
>=p px y 的焦点为F ,,A B 为抛物线上的两个动点，且满足 120=∠AFB ,过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ,垂足为N ,如此|||
|AB MN 的最大值为 〔 〕. A ．2
B ．
C ．1
D.
7.方程
sin x
k
x
=在
()0,+∞上有两个不同的解,()αβαβ<,如此如下结论正确的答案是〔 〕.
A.2
sin 22cos ααα= B.2
cos 22sin ααα=
C.2
sin 22cos βββ= D.
2sin 22sin βββ=
8.四面体ABCD 中，AD 与BC 互相垂直,24AD BC ==,且214AB BD AC CD +=+=,如此四面体
ABCD 的体积的最大值是 ( ) .
A.4
B.210
C.5
D.30
二、填空题：本大题共7小题，第9-10题每题6分，每空格2分，第11-12题每题6分，每空格3分，第13-15题每一小题4分，共36分。

9．等比数列
{}n a 的首项为
3,且对任意正整数n 都有21
41
233n n n n
a a --=．如此数列
{}n a 的公比q = ；
4
a _______；数列
{}n a 的前n 项和为n
S _______。

10．函数
|45|)(2
+-=x x x f ，()f x 的单调增区间为 ；假设()方程f x mx =有三个不相等的实根，如此m= ，且三个实根的和是 。

11．在△ABC 中，2a =，b x =，30B =．如果1x =，如此A ∠=；如果
23
3x =
，如此A ∠=。

12．在直角三角形ABC 中,点D 是斜边AB 上的点，且满足ACD 4545，BCD ∠=∠=, 设AC ,2，x BC y DC ===，如此x ，y 满足的相等关系式是____________ ；三角形ABC 面积的最小
值是______。

13.一个空间几何体的三视图如下右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是实心球体的一局部，如此这个几何体的外表积为 .
14.,,A B P 是双曲线22
221x y a b -=((0,0)a b >>上的不同三点，且,A B 两点连线经过坐标原点，假设直线
,PA PB 的斜率乘积
2
3PA PB k k ⋅=
，如此该双曲线的离心率e =．
15.O 为ABC ∆的外心，
2
2,(0),120AB a AC a BAC a ==
>∠=,假设AO xAB yAC =+(x ,y 为实数)，如
此x y +的最小值为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．〔此题总分为15分〕ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，假设
60=B ，c a )13(-=．
〔Ⅰ〕求角A 的大小；
〔Ⅱ〕ABC ∆的面积为1243+，求函数x a x x f sin 2cos )(+=的最大值.
17.(此题总分为为15分) 在等差数列
{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n
b 的各项均为正数，
11=b ，公比为q ，且1222=+S b ，
22
b S q =
.
〔1〕求
n a 与n b ；
〔2〕设数列{}n c 满足5
n n c b a =-，求
{}n c 的前n 项和n T .
18. (此题总分为为15分)如图，长方形ABCD 中，
1,2==AD AB ,M 为DC 的中点. 将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM . 〔1〕求证：BM AD ⊥；
〔2〕假设点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角D AM E --的余弦值为5
5．
19. (此题总分为为15分)如图,焦点在x 轴的椭圆，离心率
22
=
e ，且过点A 〔-2，1〕，由椭圆上异于点A 的
P 点发出的光线射到A 点处被直线1y =反射后交椭圆于Q 点(Q 点与P 点不重合).
〔1〕求椭圆标准方程；
〔2〕求证:直线PQ 的斜率为定值；
A
〔3〕求OPQ ∆的面积的最大值．
〔此题总分为14分〕函数
),0(1)(2
R b a bx ax x f ∈>++=，设方程x x f =)(有两个实数根21,x x 假设果4221<<<x x ，设函数)(x f 的对称轴为0x x =，求证：1
0->x
如果x x f x =<<)(201且的两个实数根相差2，求实数b 的取值范围。

一、选择题 AAB CDDCA
二、填空题
9．]2,1(，),1[+∞-，}21|{>-<x x x 或 10．π，21，
]12π
5π,12ππ[+-k k )(Z k ∈ 11．12，2428+ 12．2，0=-y x 13. 94
14. 3 15. 2
解答题：
16．〔此题总分为15分〕解：〔1〕因为
60=B ，所以
120=+C A ， A C -=
120 因为c a )13(-=，由正弦定理可得：C A sin )13(sin -=
)sin 32cos cos 32)(sin 13()32sin(
)13(sin A A A A πππ--=--=
)sin 21
cos 23)(
13(A A +-=，整理可得：1tan =A
所以，
4A π
=。

(2)
由
212ABC
S B ∆=+
得a
=
从而2
()12sin f x x x =-+
=
22(sin 5x -+ 当1sin =x 时，函数()f x
取得最大值1。

17. 〔此题总分为15分〕
解：〔1〕因为222212
b s s q b +=⎧⎪⎨=⎪⎩,所以6126q d d q q
++=⎧⎪+⎨=⎪⎩,得3,4(3q
q d ==-=舍），,
3n a n
=, 1
3n n b -= 7分
〔2〕因为
5
n n c b a =-，所以
1
1
1
153(3)3
15315(4)n n n n n c n ---⎧-≤⎪=-=⎨-≥⎪⎩
得31
15(3)2
2312715(4)22n n n n n T n n ⎧-++≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩ 14分
18. 〔此题总分为15分〕
〔Ⅱ〕设DE DB λ=,因为平面AMD 的一个法向量=010n （，
，） 22222
(
)
2ME MD DB λ=+=,
(2,0,0)AM =- 设平面AME 的一个法向量为
(,,)m
x y z =,20
22)0x y z λλ⎧=⎪⎨-=⎪⎩
取1y =,得
20,1,1x y z λλ===
-,所以
2(0,1,)
1m λλ=-, 11分 因为5
cos ,m n m n m n
⋅==
⋅
求得
1
2λ=
，所以E 为BD 的中点。

14分
19.〔此题总分为15分〕
解：〔1〕设椭圆方程为22
221,(0,0)x y a b a b +=>>
,
2c e a =
=,椭圆经过点(2,1)-
∴椭圆方程为22
163x y += 5分
〔2〕设直线AP 方程为(2)1y k x =++，如此直线AQ 的方程为(2)1y k x =-++ 由22
21
163y kx k x y =++⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得
222(12)4(21)8840k x k k x k k +++++-= 0>,设11(,)P x y , 由(2,1)A -可得
211224(21)4422,1212k k k k x x k k -+--+-==++,2222
44224(,)1212k k k k
P k k --+-+∴++
同理可得2222
44224(,)1212k k k k Q k k -++--++
2222
2222242412121442442
1212PQ
k k k k k k k k k k k k k ---+-++==--++--+-
++ 10分
〔3〕由〔2〕，设PQ 的方程为y x m =-+.由22163y x m
x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩联立得：
22
16(9)9m PQ -∴=2234260x mx m -+-=令0∆>，得33m -<<， 设
1122(,),(,)
P x y Q x y ，如此
21212426,33m m x x x x -+=⋅=,22
16(9)9m PQ -∴=
设原点O 到直线的距离为d ，如此
2
2
2m d =
,
2222
212(9)9492OPQ
m m s
PQ d -∴==≤
当
m =时，OPQ 面积的最大值为92 15分 20
〔
此
题
总
分
为
14
分
〕
解
：
〔
1
〕
由
,
1)(2++=bx ax x f 设
,
1)1()(2+-+=x b ax x g ,
4221<<<x x ⎩⎨
⎧><∴0
)4(0
)2(g g ⎩⎨
⎧>+-+<+-+0
1)1(41601)1(24b a b a 即)
4()2(324g g b a +-=- 又12,020->-
=∴>-∴a b
x b a
同号，2121,,1
x x a x x ∴=
,2,20211=-<<x x x 又
4
4
)1(4)()(22212
212
21=--=-+=-∴a a b x x x x x x ,1)1(122+-=+∴b a ,124,0)2(<+<b a g 得由
代入上式有
41,23)1(22<
∴-<-b b b。