高考数学一轮总复习第五章平面向量数系的扩充与复数的引入4.1平面向量的概念及其线性运算课件新人教B版

时，λa 的方向与 a λ(μa)＝(λμ)a；
数乘
求实数 λ 与向量 a 的积的运算
的方向相同；当 λ<0 时，λa 的方向
(λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
与 a 的方向相反；
当 λ＝0 时，λa＝0
(1)利用三角形法则时，两向量要首尾相连，利用平行四边 形法则时，两向量要有相同的起点．
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B．模相等的两个平行向量是相等向量 C．若 a 和 b 都是单位向量，则 a＝b D．两个相等向量的模相等
解析：A.若两个向量相等，则它们的起点和终点不一定重 合；B.模相等的两个平行向量是相等向量是错误的，可以是方 向相反的向量；C.若 a 和 b 都是单位向量，则模是相等的，但 是两个向量不一定相等；D.两个相等向量的模相等是正确的．
|A→C|＝|D→B|.
由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形 ABCD 是矩形．
1 (5)设向量 a，b 不平行，向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，则实数 λ＝ 2 .
解析：∵向量 a，b 不平行，∴a＋2b≠0，又向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，则存在唯一的实数 μ，使 λa＋b＝μ(a＋2b)成立， 即 λa＋b＝μa＋2μb，则λ1＝＝μ2，μ， 解得 λ＝μ＝12.
③不正确．当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到 a＝b，故|a|＝|b|且 a∥b 不是 a＝b 的充要条件，而是必要不充分 条件．
综上所述，正确命题的序号是①②.
2．若 a，b 都为非零向量，则使|aa|＋|bb|＝0 成立的条件是
a 与 b 反向共线 ．
考点二 平面向量的线性运算
理解两个向量共线的含义． 6．了解向量线性运算的性质及其几何 意义．
3．题型以选择题、填空题 为主，属中低档题.
01知识梳理 诊断自 02考点探究 明晰规律 测 课时作业
01 知识梳理 诊断自测
课前热身 稳固根基
知识点一 向量的有关概念
名称
定义
备注
既有大小又有方向的量；向量的 平面向量是自由 向量
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一节 平面向量的概念及其线性运算
最新考纲
考情分析
1.了解向量的实际背景．
2量 34解 5． ． ． ．相 其掌理 理 掌等 几握解 解 握的 何向平 向 向含 意量面 量 量义 义数向 的 加． ．乘量 几 法的的 何 、运概 表 减算念 示 法及， ． 的其理 运几解 算何两 ，意个 并义向 理，1线 命 2识 制． .平向 题 交 新常面量 的 汇 定与向定 热 考 义三量理 点 查 问角的是 ． ， 题、线近 有 ．平性几 时面运年 也几算高 会何、考 命知 共
(2)D 是△ABC 的边 AB 上的中点，则向量C→D等于( A )
A．－B→C＋12B→A
B．－B→C－12B→A
C.B→C－12B→A
D.B→C＋12B→A
解析：如图．
(3)对于非零向量 a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解法 2：E→B＝A→B－A→E＝A→B－12A→D＝A→B－12×12(A→B＋A→C)＝34 A→B－14A→C，故选 A.
3．(方向 3)已知 O 为△ABC 内一点，满足 4A→O＝A→B＋2A→C，则△
AOB 与△AOC 的面积之比为( D )
【解析】 (1)长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故 A 不正确；方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，但共线向 量不一定在同一条直线上，故 B 不正确；显然 C 正确；当A→B∥C→D 时，A→B所在的直线与C→D所在的直线可能重合，故 D 不正确．
(2)对于 A，当|a|＝|b|，即向量 a，b 的模相等时，方向不一定 相同，故 a＝b 不一定成立；对于 B，向量的模可以比较大小，但 向量不可以比较大小，故 B 不正确；C 显然正确；对于 D，若|a| ＝0，则 a＝0，故 D 不正确，故选 C.
(2)当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则 不适用．
2．共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使得 b＝λa.
若O→A＝λO→B＋μO→C，则 A，B，C 三点共线的充要条件是 λ＋ μ＝1.
1．思考辨析 判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1) 向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向
量．( × ) (2)|a|与|b|是否相等与 a，b 的方向无关．( √ )
(3)若向量A→B与向量C→D是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直
线上．( × ) (4)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 b＝λa，反之成立．( √ )
2．小题热身
(1)有关向量概念，下列命题中正确的是( D )
(2)如图，作 OG∥EF 交 DC 于点 G，由 DE＝EO，得 DF＝ FG，又由 AO＝OC 得 FG＝GC，于是D→F＝13D→C＝13－12b＋12a， 那么A→F＝A→D＋D→F＝12a＋12b＋13－12b＋12a＝23a＋13b.故选 B.
命题方向 3 向量线性运算的应用 【例 4】 已知点 M 是△ABC 所在平面内的一点，若点 M 满足|λA→M
向量概念的四点注意 (1)注意 0 与 0 的区别，0 是一个实数，0 是一个向量，且|0|＝0. (2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同． (3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但 是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性． (4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上．
③a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b.
其中正确命题的序号是 ①② .
解析：①正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同， 又 b＝c，∴b，c 的长度相等且方向相同， ∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ②正确．∵A→B＝D→C， ∴|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C， 又 A，B，C，D 是不共线的四点， ∴四边形 ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形 ABCD 为平行四边形， 则A→B∥D→C且|A→B|＝|D→C|，因此，A→B＝D→C.
1．(方向 1)根据图形(如下图)，下列结论正确的是( C )
①P→Q＝32a＋32b; ②P→T＝32a－b；
③P→S＝32a－12b; ④P→R＝32a＋b.
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
解析：①根据向量加法的平行四边形法则，得P→Q＝32a＋32b， 故①中的结论正确；②根据向量减法的三角形法则，得P→T＝32a－ 32b，故②中的结论错误；③P→S＝P→Q＋Q→S＝32a＋32b－2b＝32a－12b， 故③中的结论正确；④P→R＝P→Q＋Q→R＝32a＋32b－b＝32a＋12b，故④ 中的结论错误．故选 C.
方法技巧 1两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的 模可以比较大小； 2大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何 特征； 3向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上.
1．给出下列命题： ①若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则A→B＝D→C是四边形 ABCD 为 平行四边形的充要条件；
命题方向 2 向量的线性运算 【例 3】 (1)如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，BC＝3AD，E 为
CD 的中点，则A→E＝( C )
A.13A→B＋23A→D C.12A→B＋2A→D
B.13A→B＋2A→D D.12A→B＋32A→D
(2)在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的
命题方向 1 向量加法、减法的几何意义
【例 2】 A．a⊥b C．a∥b
设非零向量 a，b 满足|a＋b|＝|a－b|，则( A )
B．|a|＝|b| D．|a|>|b|
【解析】 方法 1：∵|a＋b|＝|a－b|， ∴|a＋b|2＝|a－b|2. ∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b. ∴a·b＝0.∴a⊥b.故选 A. 方法 2：利用向量加法的平行四边形法则． 在▱ABCD 中，设A→B＝a，A→D＝b， 由|a＋b|＝|a－b|知，|A→C|＝|D→B|， 从而四边形 ABCD 为矩形，即 AB⊥AD，故 a⊥b.故选 A.
解析：若 a＋b＝0，则 a＝－b，所以 a∥b.若 a∥b，则 a ＋b＝0 不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．
(4)在平行四边形 ABCD 中，若|A→B＋A→D|＝|A→B－A→D|，则四边形
ABCD 的形状为 矩形 ． 解析：如图，因为A→B＋A→D＝A→C，A→B－A→D＝D→B，所以
－A→B－A→C|＝0 且 S△ABC＝3S△ABM，则实数 λ＝____±_3___.
【解析】 如图，设 D 为 BC 的中点，则A→B＋A→C＝2A→D，
因为|λA→M－A→B－A→C|＝0， 所以 λA→M－A→B－A→C＝0， 所以 λA→M＝A→B＋A→C＝2A→D，
→ 于是 A，M，D 三点共线，且|A→M|＝|2λ|，
02 考点探究 明晰规律
课堂升华 强技提能
考点一 平面向量的概念
【例 1】 (1)下列说法正确的是( C )
A．长度相等的向量叫做相等向量 B．共线向量是在同一条直线上的向量 C．零向量的长度等于 0 D.A→B∥C→D就是A→B所在的直线平行于C→D所在的直线
(2)下列命题正确的是( C )
A．若|a|＝|b|，则 a＝b B．若|a|>|b|，则 a>b C．若 a＝b，则 a∥b D．若|a|＝0，则 a＝0
知识点二
向量的线性运算
1．向量的线性运算
向量 运算
定义
求两个向量和的 加法
运算
法则(或几 何意义)
运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋
a；
(2)结合律：(a＋b)＋c
＝a＋(b＋c)
求 a 与 b 的相反向
减法 量－b 的和的运
a－b＝a＋(－b)
算叫做 a 与 b 的差
|λa|＝|λ||a|，当 λ>0
中点，线段 AE 的延长线与 CD 交于点 F.若A→C＝a，B→D＝b，则A→F＝( B )
A.14a＋12b
B.23a＋13b
C.12AC，A→C＝A→B＋B→C＝A→B＋3A→D，A→E＝12(A→C ＋A→D)＝12(A→B＋4A→D)＝12A→B＋2A→D.故选 C.
|AD|
又 S△ABC＝3S△ABM，所以SS△ △AABBMC ＝13， →
又因为 S△ABD＝12S△ABC 且SS△ △AABBMD＝||AA→MD||＝|2λ|，所以13＝2S·S△△ABAMBD＝12 ×|2λ|，解得 λ＝±3.
方法技巧 向量线性运算的解题策略 1常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点 的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连 的向量的和用三角形法则. 2找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向 量转化到同一个平行四边形或三角形中求解. 3用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各 向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系； ④化简结果.
大小叫做向量的长度(或称模) 向量
零向 长度为 0 的向量
量
记作 0，其方向 是任意的
单位 长度等于 1 个单位的向量
向量
非零向量 a 的单 位向量为±|aa|
平行 方向相同或相反的非零向量(又 向量 叫做共线向量) 相等
长度相等且方向相同的向量 向量
相反 长度相等且方向相反的向量
向量
0 与任一向量平 行或共线 两向量只有相等 或不相等，不能 比较大小 0 的相反向量为 0
2．(方向 2)在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，
则E→B＝( A )
A.34A→B－14A→C
B.14A→B－34A→C
C.34A→B＋14A→C
D.14A→B＋34A→C
解析：解法 1：如图所示，E→B＝E→D＋D→B＝12A→D＋12C→B＝12×12 (A→B＋A→C)＋12(A→B－A→C)＝34A→B－14A→C，故选 A.