高考数学二轮复习 补偿练3 函数与导数二 理

补偿练3 函数与导数
二
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是
( )．
A ．y ＝x 2
B ．y ＝2|x |
C ．y ＝log 21
|x |
D ．y ＝sin x
解析 函数y ＝x 2
在(－∞，0)上是减函数；函数y ＝2|x |
在(－∞，0)上是减函数；函数
y ＝log 2
1
|x |
＝－log 2|x |是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数；函数y ＝sin x 不是偶函数，综上所述，选C. 答案 C
2．曲线f (x )＝x 2
(x －2)＋1在点(1，f (1))处的切线方程为
( )．
A ．x ＋2y －1＝0
B ．2x ＋y －1＝0
C ．x －y ＋1＝0
D ．x ＋y －1＝0
解析 ∵f (x )＝x 3
－2x 2
＋1， ∴f ′(x )＝3x 2
－4x ， ∴f ′(1)＝－1， 又f (1)＝1－2＋1＝0，
∴所求切线方程为y ＝－(x －1)， 即x ＋y －1＝0. 答案 D
3．已知幂函数f (x )的图象经过(9,3)，则f (2)－f (1)＝
( )．
A ．3
B ．1－ 2 C.2－1
D ．1
解析 设幂函数为f (x )＝x α，则f (9)＝9α＝3，即32α
＝3，所以2α＝1，α＝12，即f (x )
＝x ＝x ，所以f (2)－f (1)＝2－1. 答案 C
4．设a ＝log 32，b ＝log 23，c ＝log 12
5，则
( )． A ．c ＜b ＜a B ．a ＜c ＜b C ．c ＜a ＜b
D ．b ＜c ＜a
解析 ∵0＜log 32＜1,1＜log 23＜log 24＝2，c ＝log 125＜log 124＝log 12(12
)－2
＝－2＜0，∴c
＜a ＜b . 答案 C
5．已知函数f (x )＝sin x ＋1，则f (lg2)＋f (lg 1
2
)＝
( )．
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
解析 因为⎩⎪⎨⎪
⎧
f lg2＝sin lg2＋1，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫lg 12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＋1，所以f (lg2)＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫lg 12＝sin(lg2)＋
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫lg 12＋2， 而y ＝sin x 是奇函数，lg 1
2
＝－lg 2，
所以f (lg2)＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫lg 12＝2. 答案 D
6．函数f (x )＝ax 2
－(a －1)x －3在区间[－1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是
( )． A.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，13 B ．(－∞，0]
C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13
D ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，13 解析 当a ＝0时，f (x )＝x －3符合题意；当a ≠0时，由题意⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＞0，a －1
2a
≤－1，解得0
＜a ≤13，综上a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13.
答案 D
7．若函数f (x )＝x 2
＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为 ( )．
A ．(－2,2)
B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D ．[－2,2]
解析 依题意x 2
＋ax ＋1≥0对x ∈R 恒成立， ∴Δ＝a 2
－4≤0，∴－2≤a ≤2. 答案 D
8．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2
－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于 ( )．
A ．1
B ．2
C ．0
D ． 2
解析 ∵函数f (x )＝x 2
－ax ＋3在(0,1)上为减函数，
∴a 2≥1，得a ≥2.又∵g ′(x )＝2x －a
x ，依题意g ′(x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立，得2x 2
≥a 在x ∈(1,2)上恒成立，有a ≤2，∴a ＝2. 答案 B
9．下列四个图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2
－4)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数y
＝f ′(x )的图象，则f (1)＝
( )．
A.103
B ．43
C ．－23
D ．1
解析 f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2
－4)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－4)，由a ≠0，
结合导函数y ＝f ′(x )，知导函数图象为③，从而可知a 2
－4＝0，解得a ＝－2或a ＝2，再结合－a ＞0知a ＝－2，代入可得函数f (x )＝13x 3＋(－2)x 2
＋1，可得f (1)＝－23.
答案 C
10．某公司在甲乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2
和L 2
＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为
( )．
A ．45.606
B ．45.6
C ．45.56
D ．45.51
解析 设在甲地销售x 辆车，则在乙地销售(15－x )辆车，获得的利润为y ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2
＋3.06x ＋30.当x ＝－ 3.062×－0.15＝10.2时，y 最大，
但x ∈N ，所以当x ＝10时，y max ＝－15＋30.6＋30＝45.6. 答案 B
11．f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为
( )．
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析 令2sin πx －x ＋1＝0，则2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题转化为两个函数h (x )与g (x )图象的交点个数问题．h (x )＝2sin πx 的最小正周期为T ＝2π
π
＝2，画出两个函数的图象，如图所
示，∵h (1)＝g (1)，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＞g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52，g (4)＝3＞2，g (－1)＝－2，∴两个函数图象的交点一共有5个，∴f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.
答案 B
12．已知函数y ＝f (x )是R 上的可导函数，当x ≠0时，有f ′(x )＋f x
x
＞0，则函数F (x )＝xf (x )＋1
x
的零点个数是
( )．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析 依题意，记g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )，g (0)＝0，当x ＞0时，g ′(x )＝x ⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤f ′x ＋f x x ＞0，g (x )是增函数，g (x )＞0；当x ＜0时，g ′(x )＝x [f ′(x )
＋
f x x ]＜0，
g (x )是减函数，g (x )＞0.在同一坐标系内画出函数y ＝g (x )与y ＝－1
x
的大致图象，结合图象可知，它们共有1个公共点，因此函数F (x )＝xf (x )＋1
x
的零点个数是1. 答案 B 二、填空题
13．函数f (x )＝1－lg x －2的定义域为__________．
解析 ∵1－lg (x －2)≥0，∴lg (x －2)≤1，∴0＜x －2≤10，∴2＜x ≤12，∴f (x )
＝1－lg x －2的定义域为(2,12]． 答案 (2,12]
14．若log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a
2m ＋n
＝__________.
解析 由题意a m
＝2，a n
＝3，所以a 2m ＋n
＝(a m )2·a n ＝22
×3＝12.
答案 12
15．若函数f (x )＝x 3
－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是_____．
解析 f ′(x )＝3x 2
－6b ，若f (x )在(0,1)内有极小值，只需f ′(0)·f ′(1)＜0，即－6b ·(3－6b )＜0，解得0＜b ＜1
2.
答案 (0，1
2
)
16．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 2x ，x ＞0，
4x
，x ≤0，
则f [f (－1)]＝________；若函数g (x )＝f (x )－k 存
在两个零点，则实数k 的取值范围是________．
解析 f [f (－1)]＝f (4－1
)＝f (14)＝log 214
＝－2.令f (x )－k ＝0，即f (x )＝k ，设y ＝f (x )，
y ＝k ，画出图象，如图所示，函数g (x )＝f (x )－k 存在两个零点，即y ＝f (x )与y ＝k
的图象有两个交点，由图象可得实数k 的取值范围为(0,1]．
答案 －2 (0,1]。