河南省洛阳市2022届高三第三次统一考试数学(文科)试题(1)

一、单选题
二、多选题
1. 函数
的部分图象如图所示，则
的值为（
）
A
．B ．0C ．1D ．2
2. 已知a ＞0，且a≠1，则函数f(x)＝a x ＋(x －1)2－2a 的零点个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．与a 有关
3. 数学家也有一些“美丽的错误”，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：形如
（
）的数都是质数．1732年，瑞士数学家欧拉证明了
不是质数，请你利用所学知识，估算
是（ ）位数．（参考数据：
）
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
4.
已知集合
，
，那么
（ ）
A
．B
．C
．D
．
5. 皮埃尔•德•费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学作出了重大贡献，其中在
年发现了：若是质数，且，
互质，那么
的
次方除以的余数恒等于
，后来人们称该定理为费马小定理．依此定理，若在数集
中任取两个数，其
中一个作为，另一个作为，则所取两个数符合费马小定理的概率为（ ）
A
．B
．C
．D
．
6. 为了得到函数
的图象，可以将函数
的图象（ ）
A ．向左平移个单位
B ．向右平移个单位
C ．向右平移
个单位
D ．向左平移
个单位
7. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2a ，E 是AB 的中点，将△ADE 沿DE 翻折至△A 1DE 的位置，使三棱锥A 1﹣CDE 的体积取得最大值，若
此时三棱锥A 1﹣CDE 外接球的表面积为16π，则a ＝（
）
A ．2
B
．
C
．
D ．4
8.
已知函数
同时满足性质:①
;②当
时,
,则函数
可能为( )
A
．B
．C
．
D
．
9. 已知函数是偶函数，则（ ）
A
．B ．在上是单调函数C
．
的最小值为1
D ．方程
有两个不相等的实数根
河南省洛阳市2022届高三第三次统一考试数学（文科）试题(1)
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三、填空题
四、解答题
10. 某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将所得数据分成6
组：
，
，
，
，
，
，得到如右所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中正确的是
（
）
A
．
B ．长度落在区间内的个数为35
C ．长度的众数一定落在区间
内
D ．长度的中位数一定落在区间内
11.
在平面直角坐标系
中，已知点在双曲线
的右支上运动，平行四边形
的顶点，分别在的两条渐近
线上，则下列结论正确的为（ ）
A ．直线
，
的斜率之积为B ．的离心率为2C
．
的最小值为
D ．四边形
的面积可能为
12.
设向量
，
，则 （ ）
A
．
B
．
C
．
D
．与
的夹角为
13.
设函数
的定义域为，为奇函数，为偶函数，若
，则
______．
14.
已知函数
为定义域为
的偶函数，且满足
，当
时，
.若函数
在区间
上的所有零点之和为__________．
15. 已知
，
的展开式中存在常数项，则的最小值为________．
16. 已知椭圆
的离心率为分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，当时，内切圆的半径
为
.
(1)求椭圆的方程；(2)已知直线
与椭圆
相较于
两点，且
，当直线
的斜率之和为2时，问：点到直线的距离是否存在最大值？若存
在，求出最大值；若不存在，说明理由.
17. 在①
，②，③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求和的值；若问
题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在
，它的内角，
，的对边分别为，，
，且
，
，______？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.
在等差数列中，，其前项和为
，等比数列
的各项均为正数，
，公比为q ，且.
(1)求
与；(2)证明：
.
19. 已知函数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)若时，恒有，求的取值范围.
20. 某大型商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为黑色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖．
(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望．
(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望．
(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．
21. 某学校三年级开学之初增加早自习，早饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是，择餐厅乙就餐的概率为
，前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是，选择餐厅甲就餐的概率也为，如此往复.假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，选择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第天选择甲餐厅就餐的概率为.
(1)记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，求的分布列，并求；
(2)请写出的通项公式；。