椭圆常用结论及其推导过程

椭圆中重要结论
一 椭圆中的一些不等关系
（1）设椭圆（22
221(0)x y a b a b
+=>>），00(,)P x y 是椭圆上任意一点，12,F F 为
椭圆的两个焦点，则：
① 0a x a -≤≤，0b y b -≤≤
例 已知12,F F 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点，P 是椭圆上的一点且
212PF PF c =，则此椭圆离心率的范围是______.
② b PO a ≤≤（其中上下顶点距离坐标原点最近，左右顶点距离坐标原点最远） ③122PF PF c -≤.
例 若椭圆上存在一点P ，使得P 到两个焦点的距离之比为2:1，则此椭圆离心
率的取值范围是______.1
[,1)3
④到左焦点最近的点是左顶点，最远的是右顶点.到右焦点最近的是右顶点，最远的是左顶点.
例 已知椭圆22
22:1(0)x y C a b c a b
+=>>>的左右焦点分别为12,F F ，若以2F 为圆
心，b c -为半径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT 的
最小值不小于()2a c -，则椭圆的离心率取值范围为______.3[,52
④过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为a
b 2
2
二 椭圆焦点三角形的结论
（1）已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形
21F PF 中,21θ=∠PF F 则2
tan
221θ
b S PF F =∆
例 已知12,F F 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点，P 为椭圆上一点，且
12PF PF ⊥，若12PF F 面积为9，则短轴长为_____.3
练习椭圆22
194
x y +
=的焦点为12,F F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，
点P 的横坐标的取值范围为_______. (
（2）已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三
角形21F PF ，若12PF PF 最大，则点P 为椭圆短轴的端点，且最大值为2a . 例 已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,
P
使得2122PF PF b =，则椭圆的离心率e 的取值范围_________.
（3）已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三
角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点
例 已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,
P
使得1290F PF ︒∠=，则椭圆的离心率e 的取值范围_________.
（4）已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形
21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ
例 已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,
P
使得,120021=∠PF F 则椭圆的离心率e 的取值范围_________.2
三 椭圆的中点弦问题
（1）在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>中，若直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，点
00(,)P x y 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为，则
2
020MN
y b k x a
=- （2）在椭圆22
221(0)y x a b a b
+=>>中，若直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，点
00(,)P x y 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为，则
2
020MN
y a k x b
=-
例1 椭圆221169x y +
=，以点(1,2)M -为中点的弦所在直线的斜率为_____.（9
32
）
例2已知椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交E
于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-，则椭圆的方程为_________.
（22
1189
x y +
=）
练习1 已知椭圆2217525y x +
=的一条弦的斜率为3，它与直线1
2
x =的交点恰为这条弦的中点M ，则M 的坐标为_____. 11
(,)22
-
练习2已知椭圆22
17525y x +
=，则它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为_____.
0(22
x y x +=-
<<
（综合题） 已知椭圆E 过点(2,3)A ，对称轴为坐标轴，焦点12,F F 在x 轴上，离
心率1
2
e =.
（1）求椭圆E 的方程；22
11612
x y +
= （2）求12F AF ∠的角平分线所在的直线l 的方程；210x y --=
（3）在椭圆上是否存在关于直线l 对称的相异的两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.（不存在）
四 椭圆与直线的位置关系及其弦长公式
若椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，直线:(0)l y kx b k =+≠与椭圆交于11(,)A x y ，
22(,)B x y 两点，则弦AB 的长度为：
12AB x =-或12AB y =-
例 设椭圆的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，直线l 的倾斜角为60︒，2AF FB =. （1）求椭圆的离心率； （2）如果15
4
AB =，求椭圆C 的方程. l
练习1 已知椭圆2
2:14
x C y +=，直线l 过点(1,0)E -且与椭圆相交于,A B 两点，
是否存在AOB 面积的最大值，若存在，求出AOB 的面积，若不存在，说明
理由.
练习2 已知椭圆2
2:14
x C y +=，若直线:(0)l y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的
两点,M N （,M N 不与左右顶点重合），且0MA NA =，求证：l 过定点，并求
出定点的坐标.。