第3.5节概率论

( 2 ) f X |Y ( x | y ), f Y | X ( y | x ) ;
解: ( 1 ) f X ( x )


f ( x , y ) dy
x dy 2 x , 0 x 1, x 其它 . 0,
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fY ( y )
§3. 5 条件分布
一、离散型随机变量的条件分布
设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量, 其分布律为
P{ X= xi ,Y= yj }= pi j , i , j = 1,2,
(X, Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律分别为:
P { X xi } pi ( X )

j1

3 0 3 1 3
3 1 4
4 0 4 0
3 4
p j (Y ) 25 48 13 48 7 48 3 48
Y P {Y y
j
4 1 4
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二、连续型随机变量的条件分布
设(X ,Y) 是二维连续型随机变量, 由于 P{X = xi } = 0, P{Y = y j }= 0, 不能直接代入条件概率公式, 我们利用极限的方法来 引入条件分布函数的概念. 给定 y, 设对于任意固定的正数 , P{ y- < Y y +}>0, 则对于任意实数 x,下式有意义
( 2 ) 当 | y | 1 ,
f X |Y ( x | y )
f (x, y) fY ( y )
1 , 1 | y | 0,
| y | x 1 其它。
当 0 x 1,
fY |X
1 , f (x, y) 2x (x | y) fX (x) 0,
x
F ( x, y ) y d dy FY ( y )



f ( u , y ) du , fY ( y )
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定义2: 设 ( X , Y )的联合概率密度为
概率密度为 f Y ( y ), 若 f Y ( y ) 0 , 则称
f ( x , y ), Y 的边缘
可得
X 1 2
X，
Y
Y 与 X 及 Y 的边缘分布律为
1 2 3 4
pi ( X ) 1 4 1 4 1 4 1 4
3
4
p
j
(Y )
25 48
13 48
7 48
3 48
上页 下页 返回 6
则 P { X 1 | Y 1}
P { X 2 | Y 1}
P { X 3 | Y 1}
2 2
其它
由此得，当
fY y

1 y 1 时，
1 y
2


f x，
y dx



1 y
2
1

dx
2

1 y
2
上页
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返回 14
所以, 随机变量 Y 的边缘概率密度为
2 fY y 0, 1 y ,
2
1 y 1, 其它 .
a ) 若 f X ( x ) 0 , 则 f Y | X ( y | x ) f Y ( y ), y ,
b ) 若 f y ( y ) 0 , 则 f X |Y ( x | y ) f X ( x ), x .
上页 下页 返回 22
Y P {Y y
j
1 | X 1} 1
2 0
3 0
4
X Y
1
2
3
4
pi ( X ) 1 4 1 4 1 4 1 4
0
1 2
Y P {Y y j | X 2 } Y P {Y y j | X 3}
1 1 2 1 1 3
1 | X 4} 1 4
2 1 2 2 1 3
2 1 4

0
lim [ F ( x , y ) F ( x , y )] / 2
0
lim [ F Y ( y ) F Y ( y )] / 2
y x f ( u , v ) dudv y fY ( y )
p 11 p 1 (Y )

1 4

48 25

12 25
p 21 p 1 (Y )
p 31 p 1 (Y )


1 8
1 12


48 25
48 25


6 25
4 25
,
X
Y
1
2
3
4
pi ( X ) 1 4 1 4 1 4 1 4
1 2
,
3 4
P { X 4 | Y 1}
p 41 p 1 (Y )
y


2

2
1 2 1 y
2

1 1 y 0
2
1 y
所以，
fX
Y
x y 2

1 y
2
x 其它
1 y
2
类似地 , 当 | x | 1时 , f X ( x ) 0 ,
1 , 2 ( y | x) 2 1 x 0, | y | 其它 .


f ( x , y ) dx
1 dx 1 y , 0 y 1, y 1 dx 1 y , 1 y 0 , y 0, 其它 .
1 | y |, 0,
| y | 1 其它 .
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1 16
1 12 25

48 25
2 6

3 25
p j (Y )
25 48
13 48
7 48
3 48
.
则
X P { X x i |Y 1}
3 4 25
4 3 25
上页 下页 返回 7
25
同理可得
X P { X x i |Y 2 }
X P { X x i |Y 3 }
X
Y
为在 X= xi 条件下随机变量Y 的条件分布律．
上页 下页 返回 2
条件分布律具有以下性质:
1
0
对固定的
p ij p j (Y ) 0
j 1 , 若 P {Y y j } 0 , 则
i 1; ( b )
(a )
0

i1

p ij p j (Y )
pj
1
(Y )


p ij
类似可得随机变量 X 的边缘概率密度为
2 fX x 0, 1 x ,
2
1 x 1, 其它 .
由此得，当
1 y 1 时， f Y ( y ) 0 .
上页 下页 返回 15
因此当
1 y 1 时，
1
fX
Y
x y
f x， fY y
P{ X xi |Y y j} P { X x i ,Y y j } P {Y y j } p ij p j (Y ) , i 1,2 ,
为在Y= yj 条件下随机变量 X 的条件分布律(条件分布 列). 同样对于固定的 i, 若P{X= xi} > 0, 则称
P {Y y j | X x i } P { X x i ,Y y j } P{ X xi } p ij pi ( X ) , j 1,2 ,
设 X 的边缘概率密度为 fX(x),
当 f X (x) 0条件概率密度函数 为
fY
X
y x
f ( x, y) f X x
, y
随机变量Ｙ在条件X = x下的条件分布函数为
FY | X ( y | x )
1
1 4
2
3
pi ( X ) 1 4 1 4 1 4 1 4
1 0
2 6 13
3 4 13
3 4 7 4 3 7
4 3 13
2 3 4
p j (Y ) 25 48 13 48 7 48 3 48
1 0
2 0
X P { X x i |Y 4 }
1 0
2 0
3 0
4 1
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返回 8
同理还可求得

y
f ( x,v) fX (x)
dv , y
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返回 13
x 例2: 设二维随机变量 X , Y 服从圆域：
2
y 1
2
上的均匀分布, 求条件概率密度.
解: 二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
f x， 1 y 0 x y 1
P{X 1 2 P {Y 0 } ,Y 0}
| y | x 其它。
(3) P { X
1 2
| Y 0}
1
(1
1
)
2
2 2 1 11 2
3 4
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注:
10 连续型随机变量的条件概率密度具有一维概率密度的性质. 20连续型随机变量的联合概率密度惟一地确定条件概率密度. 反 之不然. 若已知一个条件概率密度和对应的边缘概率密度, 则 可求得联合概率密度.
p j (Y ) p j (Y )
1.
i1