《高等工程数学》科学出版社 吴孟达版习题答案(1-8章)

《高等工程数学》――科学出版社版习题答案： 第一章习题（P26） 1．略
2．在R 4中，求向量a ＝[1,2,1,1]T ,在基
a 1 ＝ [1 , 1, 1, 1]T , a 2 ＝ [1 , 1, －1,－1]T
a 3 ＝ [1 , －1, 1, －1]T a 4 ＝ [1 , －1,－1, 1]T 下的坐标。

解：其坐标为：x ＝( 5/4, 1/4, －1/4，－1/4 )T 3．在R 2
×2
中，求矩阵12A=03⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
，在基 111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，311B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =00⎡⎤
⎢⎥⎣⎦下的坐标。

解：其坐标为：x ＝( 3, －3, 2，－1 )T
4．试证：在R 2×
2中，矩阵
111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦
线性无关。

证明：设 k 1B 1+ k 2B 2+ k 3B 3+ k 4B 4=0000⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，只要证明k 1= k 2 = k 3= k 4 =0即可。

余略。

5．已知R 4中的两组基：
T T T T 1234=[1,0,0,0],=[0,1,0,0],=[0,0,1,0],=[0,0,0,1]αααα
和T T T T 1234=[2,1,1,1],=[0,3,1,0],=[5,3,2,1],=[6,6,1,3]ββββ－
求由基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵，并求向量
1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标。

解：基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵是：2
0561
33611211
013⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
－ 向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标是：
1
1234205612
927331336112923x 11219
00181
01
373926x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦⎣⎦
－－－－－1＝
－－27－－
6．设R[x]n 是所有次数小于n 的实系数多项式组成的线性空间，求多项式p(x) = 1+ 2x n －
1
在基{1，(x －1)，(x －1)2，(x －1)3，….，(x －1)n －
1}的坐标。

解：所求的坐标是：（3，1
1
1112,...,2, (2)
n n n n C C C ----）T
7．已知T T T T
1212=[1,2,1,0],=[-1,1,1,1],=[2,-1,0,1],=[1,-1,3,7]ααββ，
求V 1＝12212{,}V ={,}span span ααββ与的和与交的基和维数。

解：V 1＋V 2的一组基为T T T
121=[1,2,1,0],=[-1,1,1,1],=[2,-1,0,1]ααβ，所以维数为3 V 1∩V 2的一组基是：123[5,2,3,4]T
ββ-+=-，所以维数为1。

8．设T 是n 维线性空间V 上的一个线性变换，对某个ξ∈V ，有T k －
1（ξ）≠0，
T k （ξ）＝0。

试证：21
,(),(),...,()k T T T
ξξξξ-线性无关。

证明：设21
123()()...()0k k x x T x T x T ξξξξ-++++=………………（*）
下证123...0k x x x x =====即可。

对（*）两边的向量作线性变换：T k －
1，根据T k －
1（ξ）≠0，T k （ξ）＝0，得到
10x = 由此（*）变为
2123()()...()0k k x T x T x T ξξξ-+++=…………….. （**）
对（**）两边作线性变换：T k －
2，根据T k －
1（ξ）≠0，T k （ξ）＝0，得到
20x =
依次进行，得到123...0k x x x x =====，即2
1
,(),(),...,()k T T T ξξξξ-线性无关。

9．设n 维线性空间V 上线性变换T ，使对V 中任何非零向量ξ都有T n －
1（ξ）≠0，
T n （ξ）＝0。

求T 在某一基下的矩阵表示。

解：任取V 中一非零向量ξ，因T n －
1（ξ）≠0， T n （ξ）＝0，所以由第8题的结果，有
21,(),(),...,()n T T T ξξξξ-是V 中的一组基。

则T 在此基下的矩阵：
0,0,......,0,01,0,.......,0,00,1,.......,0,0.................0,0,......,1,00,0,......,0,0⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
10．设T 是线性空间R 3的线性变换，它在R 3中基123{,,}ααααB =下的矩阵表示是：
A ＝123103215⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
求T 在基112123123{,,}ββαβααβαααB ===+=++下的矩阵表示。

解：T 在基112123123{,,}ββαβααβαααB ===+=++下的矩阵表示是：
B ＝244346238⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦
11．设T 在基123{[1,1,1],[1,0,1],=[0,1,1]}T T T
ααααB ==-=-下的矩阵表示是：
A ＝101110121⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
（1） 求T 在基123{[1,0,0],[0,1,0],=[0,0,1]}T T T
εεεεB ===下的矩阵表示。

（2） 求T 的核和值域。

（3） 求T 的特征值和特征向量。

解：（1）T 在基123{[1,0,0],[0,1,0],=[0,0,1]}T T T
εεεεB ===下的矩阵表示是：
B ＝110101111112101110011220111121101302-----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
（2）核空间N （T ）＝{(0,0,0)T }
值域 R （T ）＝R 3。

（3
）特征值为：1232,(1)/2,(1)/2λλλ===
对应的特征向量是：
1230332,44166x x x ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
12．求矩阵A 的列空间R （A ）＝{y ∈R 3|y ＝Ax ，x ∈R 3}和核空间N （A ）＝{x ∈R 3
|Ax ＝0}。

其中：
（1）A ＝116042116⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（2）A ＝0
241453170510-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
-⎣⎦
解：（1）列空间为R （A ）＝11{0,4}11span ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
核空间为N （A ）＝11{1}2span -⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪⎝⎭
（2） 列空间为R （A ）＝0214
{,}3105span ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
核空间为N （A ）＝3{2}1span -⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
13．设V 是一线性空间。

123{,,}ααααB =是V 的一组基 ，线性变换T 在基123{,,}
ααααB =在的矩阵B 分别如下，求T 的特征值和特征向量，并判断T 是否可对角化。

（1）010440216⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－－, (2)01110110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1 ,（3）00101000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1，
（4）0
210330⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
－2－1－ 解：（1）特征值为： 1232λλλ===
特征向量是： 12102,001x x ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
不可对角化
（2）特征值为：1232,1λλλ===-
特征向量是： 1231101,0,1111x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
可对角化
（3）特征值为：1231,1λλλ=-==
特征向量是： 1231100,0,1110x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
可对角化
（4
）特征值为：1230,,λλλ=== 特征向量是： 略 可对角化
14．略
15．设欧氏空间P 2（t ）中的内积为1
,()()f g f t g t dt <>=
⎰
（1）求基{1，t ，t 2}的度量矩阵。

（2）采用矩阵形式计算f （t ）＝1－t ＋t 2与g （t ）＝1－4t －5t 2的内积。

（3）用Schmidt 正交化方法求P 2（t ）的标准正交基。

解：
（1） 111
22000
1,1111,1,dt t tdt t t dt <>=<>=<>=⎰⎰⎰11
＝，＝，＝，
23 1
1
1
223224000
,,,t t t dt t t t dt t t t dt <>=<>=<>=⎰⎰⎰111
＝，＝，＝，
345 所以度量矩阵为
1
112311123411134
5⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
（2）1
112311
119,(1,1,1)44234511134
5f g ⎡
⎤
⎢⎥⎛⎫⎢⎥
⎪
⎢
⎥<>=--=- ⎪⎢⎥ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
（3）
所以标准正交基是：12231,
1
)
21
6
t t t εεε==-=-+（）
《高等工程数学》――科学出版社版习题答案（第二章） P50
1． 求下列矩阵的特征值、代数重数核几何重数，并判断矩阵是否可对角化
（1）110020112⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－ （2）011121213⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－－ （3）411030102⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
－
解：（1）特征值：
1231(1)()λλλ＝代数重数和几何重数均为，＝＝2代数重数和几何重数均为2
可对角化。

1222222223112233231,
111,,,2121)
2
1,,6
1
,1801
6t t t t t t t t t t t εβββεβεεεεββε==-<>=-<>==-=-<>-<>=-+
<>=
=-+（）
（2）特征值：
1231(1)()λλλ＝代数重数和几何重数均为，＝＝2代数重数为2和几何重数为1
不可对角化。

（3）特征值：
123(1)λλλ＝＝＝3代数重数为3、几何重数均为
不可对角化。

2． 求下列矩阵的不变因子、初等因子和Jordan 标准形
（1）3732524103⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－－－－－（2）413002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
10－1 （3）1
2340
12300120
00
1⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（4）3
00001300
0001100002000112⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
－
解：（1）不变因子是：123d d d i λλλ+＝1,＝1,＝(-1)(-i)()
初等因子是：i λλλ+(-1),(-i),()
Jordan 标准形是：1000000i i ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
（2）不变因子是：123d d d λ3
＝1,＝1,＝(-3)
初等因子是：λ3
(-3)
Jordan 标准形是：310031003⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（3）不变因子是：1234d d d d λ4
＝1,＝1,＝1,＝(-1)
初等因子是：λ4
(-1)
Jordan 标准形是：11000
11000110001⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
（4）不变因子是：12345d d d d d λλλλλ＝1,＝1,＝1,＝(-2)（-3），＝(-1)(-2)（-3）
初等因子是：λλλλλ(-2)，（-3），(-1)，(-2)，（-3）
Jordan 标准形是：1
0000020000
020*******
0003⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
3． 设（1）110A 0012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－＝22（2）33A 613⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－－1＝－7－11－（3）01
0A 111011⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
＝－－ 求可逆矩阵P ，使得P －
1AP 是Jordan 标准形
解：（1）A 的特征值为1231λλλ＝
，＝＝2 对应的特征向量是：121,ααT T
＝(，0,-1)＝(0,0,1)
二级根向量是：(2)2αT
＝(-1,1,0)
(2)
122101(,,0110002102P P AP ααα--⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
1)＝0-1100
（2）A 的特征值为123λλλ＝＝＝2 对应的特征向量是：11αT
＝(，2,1)
二级根向量和三级根向量是：(2)(3)11,ααT T
＝(1,3,3)＝(0,2,2)
(2)(3)111110(,,3232102102P P AP ααα-⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
1)＝21200
（3）此题数据不便于求解特征值，A 的特征多项式是：
3210()|A|11121011f I λλλλλλλλ-⎡⎤⎢⎥=---=-⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
＝－＋
4． 试求第2题 最小多项式。

解：（1）最小多项式是：A m ()i λλλλ=+(-1)(-i)() （2）最小多项式是：A m ()λλ=3
(-3) （3）最小多项式是：A m ()λλ=4(-1)
（4）最小多项式是：A m ()λλλλ=(-1)(-2)(-3）
5． 设10A 10⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
2＝0101，计算方阵多项式8542
()34g A A A A A I -++-＝2
解：因为：
854253232
()34
(245914)(21)(243710)
g λλλλλλλλλλλλλ-++-=+-+--++-+＝2
而3
()(21)f λλλ=-+是A 的特征多项式 ，所以f （A ）＝0
故有2
34826()437100
956106134g A A A I --⎛⎫
⎪-+=- ⎪ ⎪-⎝⎭
＝2
6． 设A 是可逆方阵，证明A －
1可表示为A 的方阵多项式。

证明：设A 是n 阶方阵，其特征多项式是：
1011()...n n n n f a a a a λλλλ--=++++
因A 可逆，所以0n a ≠（为什么？自己证明）
由1
011()...0n n n n f A a A a A a A a I --=++++= 得
112011(...)/n n n n A a A a A a I a ----=+++
所以A －1
可表示为A 的多项式。

7． 设0A ≠，0(2)k
A k =≥，证明A 不能与对角矩阵相似。

证明：由题设知，A 的最小多项式是：2
()A m λλ=，有重根，所以不能相似对角化。

8． 已知()p
A I p =为正整数，证明A 与对角矩阵相似。

证明：由题设知， ()1p
g λλ=-是A 的零化多项式，而多项式()1p
g λλ=-没有重根（为什么？自己证！！），所以A 的最小多项式没有重根，故与对角矩阵相似
9． 设2A A =，试证A 的Jordan 标准形是diag{1,1,...,1,0, 0
证明：因为2
()g λλλ=-是A 的零化多项式，且是最小多项式，所以A 的特征值只能是0和1，且可对角化，所以A 的Jordan 标准形是diag{1,1,…,1,0,…,0} 10．
设方阵A 的特征多项式()f λ和最小多项式()m λ分别为：
（1）4
2
2
2
()(2)(3),()(2)(3)f m λλλλλλ=--=-- （2）3
3
2
()(3)(5),()(3)(5)f m λλλλλλ=--=-- 试确定A 的所有可能的Jordan 标准形 解：（1）A 的可能Jordan 标准形为
22212313⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 或212212313⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣
⎦
（2）A 的可能Jordan 标准形为
2212555⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣
⎦
《高等工程数学》――科学出版社版习题答案（第三章） P50
1． 自己验证范数的三个条件
2． 自己验证范数的三个条件
3． （1）
122
2
2
221
21
1
1
121()||||(||)||||||||||||||||(||1),||||||(11)||n n n
n
n
k k i j k k k i j
k n
k k T n
x x x x C x x x x x x x Cauchy Schwartz x x x I I x x I R x ==≠===∈==+•≥=-=•=<>≤•==∈∑∑∑∑∑设，，...，，则有
－－(*)
另由不等式，有
－－(**)
其中，，...，1所以由(*)和(**)式有：
212
||||||||x x ≤≤(
（2）
12111121111
1()||||max ||||||||()||max ||
||||||max ||||||||||||||||n n n
k k k n
k n i k k n
n
i k k n
i x x x x C x x x x x x x x x x x x n x n x x x n x ∞≤≤=≤≤∞≤≤=∞∞
=∈==≤=≤=≤=≤≤∑∑设，，...，，则有－－(*)
另外对，，...，的任一分量有 所以有：
－－(**)
所以由(*)和(**)式有：
（3）
12211212
21()||||max ||||||()||max ||
||||max |||||
|||n n k k n
n i k k n
k k n
x x x x C x x x x x x x x x x n x x x ∞≤≤≤≤∞≤≤=∈==
≤
==≤=
≤=
设，，...
，，则有－－(*) 因对
，，...，的任一分量有
所以有：－－(**)所以由(*)和(**)式有： 2||||||||x x ∞∞
≤≤
4． 已知1321i A i -⎡⎤
=⎢
⎥+⎣⎦
试求第12|||| ||||||||A A A A ρ∞，，，（） 解：12222||||max{2||||max{312136
5531215511655||176650(16)(1)5511
||||413
||(1)1624
21(H H A A i i i A A i i
i i
I A
A i A i
I A i
λλλλλλλλλλλλλρ∞====+-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
----==-+-=---+-=-+--=
=-+-=-----因所以)1A =
=+
5． 证明：(1)
2
11
H U U U I I U
=因是酉矩阵，所以＝而单位矩阵的特征值为，所以
(2) 22
2
2
2
2
)))))H H
H H H H H H H H H H H H H H H H H
H H H H H H U U U I
UA UA A U UA A A
UA A
AU AU U A AU U A A U
A A AU AU AU
A
U AU U AU U A UU AU U A A U
A A U AU U AU U AU
A
=========因是酉矩阵，所以＝（）（所以（）（（）即矩阵与（）（相似，所以有相同的特征值
即（）（（）即矩阵与（）（相似，所以有相同的特征值
即
6．
||||=1
||||=1
111-1
||||=max||||=max||||=1
1||||=||||||||||||||||||||e e I Ie e I A A A A A A ---=≤∴≥
7． (1)
证明：假设I －A 不可逆，则|I-A|=0，即1是A 的特征值，所以
()1
()()1
A A A A A A ρρρ≥≤<又因为对的任一范数，都有所以由题设知 矛盾，所以I －A 可逆 (2)
由||||||||
||||||||1||||||||
||||||||||||1
1
||||1||||1||||
I A I A I I A I A A I I A I I A A I A I I A A I I A A I A A I A I A A A I A A --⇒--⇒-+-∴-=+-≤+-≤+-∴---≤<-≤
--1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1()()=()-()=()=()()()()()()()由得() 得
证明： 1||||0.9 ()<1lim k k A A A O
ρ→∞
=∴∴=
（2）
2||(2)() ()=2||
1
|lim 2
k k c c
I B c c c c B c c c c B O
λ
λλλλρλ
→∞---=--=-+∴--∴<=当|时，
9．
(1) 解：
21
3
34(4)(1)
22
()41A A λλλλλλρ--=--=-+--∴=>故发散
(2) 因为收敛半径为：R=5，所以收敛
10．
解：
1210.10.80.60.30.90.534140.9
0771300.511773
4901
11425
3717733
1131170283537
7k k A A A A λλ∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
==-⎡⎤
⎢⎥-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥-
⎢⎥⎣
⎦
⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥-⎣⎦⎢
⎥-⎣
⎦⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
∑设的特征值为，，所以
(1) 222sin 2cos(2)sin 2sin()sin cos()sin cos 2sin(2)cos 2cos()cos sin()cos t t
t
At t t t e te e e e te
e t t t t At t t t t t t t t At t t t t ⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥
⎣⎦
(2)
222sin 2cos(2)sin 2sin()sin cos()sin cos 2sin(2)cos 2cos()cos sin()cos t t t
At t t
t e te e e e te e t t t t At t t t t t t t t At t t t t ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
⎡⎤
⎢⎥
⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥
⎣
⎦⎡⎤⎢⎥
-⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦
12． 解： A 的特征值为：－1，1，2
2221166
110
22
1102211sin 2(2sin 2sin )(sin 22sin )33
sin()0
0sin 0sin 0
21cos 2(cos 2cos )(co 33cos()t t t t t t t At t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e e e e e t t t t t At t t t t t At ------⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
=+-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
-+⎢⎥⎣⎦
⎡
⎤--⎢⎥⎢
⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
-=（4-3-）（2-3+）（）（）（）（）s 2cos )0cos 000cos t t t t ⎡⎤
-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
13．
解： A 的特征值为：1，1，4
2ln 1110
240.5 1.50.50.50.5 2.5A -⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥--⎣⎦
-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥
⎢⎥--⎣⎦
-ln4-2ln4+6ln4-1-ln4+33
《高等工程数学》――科学出版社版习题答案（第三章）
P100 1．
1
524052402121212115554250412215
010270
521⎡⎤
-⎡⎤
⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥
⎢
⎥=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥--⎢
⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
(1)
2
11042016
3211
1001
1100110041
2014201316126321222
1
101
1121224⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥
⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
00010100(2) 00101000 2．
121242120012201
100121031
100
2
2
⎡⎤⎡
⎤⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎦⎢⎢
-⎢⎣⎢⎣
3． （1）
2212214611212 212403312212220H Hx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
( 4．
430
0411115
51111000520323
4001055A ⎡
⎤
-⎢⎥
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣
⎦
解：
5．
120
15001
34000000211012015220013431A Hermite H A FG ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎡⎤
⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
的标准形是：1所以极大线性无关组是：2，3满秩分解是
6．
1511111000
11011111B -⎡⎤
⎢⎥-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥----⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
解：（）见第题
（2）
7． 参见第三章第5题（2）的答案 8． (1)
12
12
10
10121
01
01112
11
,
(,)
01
00
T
T
T
A A
A A
V
U
A
U AV
αα
αα
⎡⎤
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥
==
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦
⎡
⎢
⎢
==
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
==
⎥
⎥⎦
⎤
⎥
⎥
⎥
=⎥
⎥
⎤
⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
解：
的特征值是3，1
特征向量是
的奇异值分解是
123
123
123
1
11
5
(2)0
00
5,0
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) (,,)
1
2
12
55
21
55
00
000
T
T T T
B B
V
U BV
U
B UBV
λλλ
ααα
ααα
-
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
==
===
=
⎤
==⎥
⎦
-
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎤
=⎥
⎣⎦
∑
00
00
特征值是：＝
特征向量是：
的奇异值分解是：
《高等工程数学》――科学出版社版习题答案（第五章） P113 1．
11100
110210010103050010110101010111()()010305010035201011101500152022T
T
T T T T A A FG F F GG A M P A G GG F F F +--⎡⎤⎢⎥⎡⎤
⎢
⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦
⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(1)的满秩分解是： 的广义逆是：
111210301012121062565105652101()()0161021211432541621438T T
T T T T B B FG F F GG B M P B G GG F F F +---⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦
-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
(2) 的满秩分解是： 的广义逆是：
2．
11111010,,010
0011000101111()000100P A Q PAQ A A Q A P PAQ +
-+-+
-⎡⎤⎡⎤⎡⎤
===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦⎣⎦⎡⎤
===⎢⎥⎣⎦
⎡⎤⎡⎤⎡⎤==≠⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
取则有：
3． （1）自己验证M-P 广义逆的四个条件即可
(2) 因为
rank(A)= rank(AA +A)≤rank(AA +)≤rank(A +)= rank(A +A A +)≤rank(A +A) ≤rank(A) 所以命题成立
4．
（1）因为rank （A|b ）＝rank （A ）所以是相容方程组
1
11
1112110111001211033211()3611362121()212622002111()()2226011211()031H H H H H H
A A FG GG F F A G GG F F F x A b I A A t ----+--++⎡⎤
⎡⎤⎢⎥==⎢
⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
⎡⎤
⎢⎥--⎢⎥==
⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
⎡⎤
⎢⎥
⎢=+-=⎢⎢⎣⎦的满秩分解为：通解为：124123134134222321226223t t t t t t t t t t t t --⎡⎤⎢⎥-++⎢⎥⎥+⎢⎥
⎥+-⎢⎥⎥
--+⎣⎦
（2）
因为rank （A|b ）＝rank （A ）所以是相容方程组
[]111111101201
()551
()551021()()204255211()102525H H H H H H A A FG GG F F A G GG F F F c x A b I A A t c ----+--++⎡
⎤⎢⎥==⎢
⎥⎢⎥⎣
⎦
==
==
⎡⎤
==
⎢⎥⎣⎦
⎡⎤⎡⎤
=+-=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
的满秩分解为：通解为：
（3）因为rank （A|b ）＝rank （A ）所以是相容方程组
11123()()105
456521011016261021211414323
81396311()10
6421414193
21H H H H
A G GG F F F t x A b I A A t t t +--++=⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
--⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
通解为：
5． 自己验证广义逆的四个条件 6．
1111111000(1)
000000000000000000000000(2)000
000000000000H
H H H
H
H
H H H
G V U
AGA U V V U U V U V U V A GAG V U U V V U V -------⎡⎤∑=⎢⎥⎣⎦
∑∑
⎡⎤∑⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
∑∑∑⎡⎤∑⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎣⎦∑⎡⎤⎡⎤∑∑⎡⎤=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣
⎦∑⎡⎤⎡∑∑⎡⎤=⎢⎥⎢
⎥⎣⎦⎣⎦⎣记1111110000000(3)000000000()000000(4)000000000()00000H H
H H H
r H H
H H
H r H
H U V U G AG U V V U U U I U U AG GA V U U V V V I V V GA A V ------+
⎤⎡⎤∑==⎢⎥⎢⎥⎦⎣⎦
∑
∑⎡⎤⎡⎤∑∑⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤==⎢⎥⎣
⎦∑∑⎡⎤⎡⎤∑∑⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎣⎦⎡⎤==⎢⎥
⎣⎦⎡∑=⎣所以H
U
⎤⎢⎥⎦
《高等工程数学》――科学出版社版习题答案（第六章）
P138 1．
26.352
~(52,)~(0,1)
36 6.3/6
50.8525253.852
{50.853.8}{}
6.3/6 6.3/6 6.3/653.85250.852()()(1.724)( 1.143)
6.3/6 6.3/60.95780.2250.7328
X X X N N X P X P -∴---∴<<=<<--=Φ-Φ=Φ-Φ-=-=解：设是样本均值。

2．
33~(20,)~(20,)1015
~(0,1)
{||0.3}{|
2(12(1(0.4243))0.33520.67X Y X N Y N X Y
N X Y P X Y P ∴->=>=-Φ=-Φ=⨯=解：设是第一个样本均值，是第二个样本均值。

3．
121010
221
1010
221
1
20.95,,...,~(0,4)/4
(10)
{}{/4/4}0.05
/4(10)18.30773.228
i
i i i i i X
X X N X P X C P X C C C χχ===∴∴>=>===⇒=∑∑∑解：即
4．
222~(,4/)~(0,4/)1{||}4/0.140(2){||}{||}{(||)}4/(4/)0.19(3)(||1)0.95
1.9616
X N n X N n E X n n D X E X E X n n n X P X P n μμμμμμμ--=≤⇒≥-=---=-≤⇒≥-≤=≤=⇒=⇒=因为 所以 （） 5．
11122
2
112
211
()
11()1
()
1111()(()())111()Y X
i i n n
n i i i i i i n n i i i i n i i Y X a b n
Y X a X a
b
b b Y X a b S Y Y X a X a n n b b X X S b n b
=======-∴=-=-∴=-=-=---=-=∑∑∑∑∑∑ 6．
2222
221
()() ()() ()()1
(1) ()() = ()()/ ()()11()()
(2) ()() = ()() ()()21212
11
(3) ()() =10 ()()10(1) ()E X E X D X D X E S D X n
E X E X D X D X n E S D X n
b a b a b a E X E X D X D X E S D X n n E X E X p D X D X p p E S n n λλλ
==
======+--=====
===-()10(1)
D X p p ==- 7．
2
221
12
2
2
2
2
21
1
2
2
1
1[()](1)[()](1)1()
()
~(1)[()]{}2(1)
n
n
i i i i n
n
i
i
n
i i i i E X X n E X X n n X
X X
X n D X X D n σχσσσσ=====-=--=-----∴-==-∑∑∑∑∑
8．
112211
(1),,2
23
2
(2),(2,1)3
c d n c F d ====
9． Easy 10．
22222122
11111(1)
~(,/), (1)/~(1)
1
~(0,(1)) ~(0,1)
~(1)1)/(1)
~(1)
1 (2)1113n n n i i X N n n S n X X X N N n X n t n S n X X T t n S
n X X X X X X n n n μσσχσσ++=---+---=-+--=-=-∑即见上
（）2
11222
2112222222222
2221111()()()
1101111()
()()()
1111
1()()(1)(1)n
i
i n n i i i i n i n n i i i i n i n n E X X E X E X n n n n n n n n n D X X D X D X n n n n n n n n n n n n n
μμσσσσσ=======---=--=--=---=+--=+=+-=-∑∑∑∑∑∑∑ 11．
~(0,1)/{||0.25}{|0.951.968
X N n
X P X P n μ
σμσ-∴-<=<≥⇒≥⇒≥
12．
11
221
() ()(1)
(())(1)()(1)(1)
n
n
i i i i n
i i E X np D X np p E X X n E S n p p =====--=-=--∑∑∑
13．
2
222
2
2221
1
2122
221
222221/122
2
~(0.1) ()~(1)
1
(
)()~()
1
0()2()
20
()()(())()(/)
12()
2
i i n
n i i
i i n x n n i i n
i i n y x n
X X N X X
n x
e x n
f x x X F x P X x P x P x y
e n σμ
μ
χσσ
μ
χ
μχσσ
χμμσχχσ==--==----∴-∴=
->⎧=Γ⎨⎩
≤-=-≤=≤=≤=Γ∑∑∑∑的概率密度为：所以的分布函数为
221
1222/
22()1
(/)0()()2()
20
n
i
i x n
n dy
X
x e x n f x F x x σ
μσσ=--->⎧==Γ⎨⎩
≤⎰
∑的概率密度为
14．
2
10.95212121
~(24,19) (24,19) 2.11
(
2.11)0.05S F F S S
P S
=>=因为又因为所以
15．
1
20
2
2111
1
1
2
(1)()2ˆ()2ln ln()()202ˆn
i
i
i x n
n x x n
i i i i n
n
i i
i i n
i i E X x xe dx X L x e
x e
l n x x l n x X
λλλλλ
λλλλλλλλλλλλλ
=∞
--
-=======
∴=∑==+-∂=-=∂=⎰∏∏∑∏∑的矩估计量是：似然函数（）=对数似然函数（）所以的极大似然估计量是：
1
(2)/2
(2)/(2)/11
21
1
(2)()2
ˆ21
ln (2)/()(2)/0ˆ2n
i i i x n
x x n
i n
i i n
i i E X x
e dx X L e
e
l n x l n x X ββ
β
ββ
βββββ
βββββββββ
=∞
---
----=====+∴=-∑==---∂-=+-=∂=-⎰∏
∑∑的矩估计量是：似然函数（）=对数似然函数（）所以的极大似然估计量是：
(1)()()(1)()(1)()(1)(3)()ˆ0.50.50.5,0.500
0.50.50
[0.5,0.5][0.5,0.5]i n n n n E X X
x x x L x x x x L x x θ
θθθθθθθθθθθ=∴=-≤≤+-≤≤+⎧⎧=⎨⎨
⎩⎩-≤≤+⎧=⎨
⎩∈-+-+的矩估计量是：11似然函数（）=其他其他1其他所以当时，似然函数（）有最大值1所以区间内任一点都是的极大似然估计
16．
1
1
12()
1
1
1
1
1
1
1,,...,(,)ˆ()/(1)
()(1)ln()()ln ()ln(1)
()1()()n
n
i
i i
i
i
i i i i n n
n
x m x x x m x x m
m
i i n
n
n
x m
i i i i i n n i i i i X X X B m p E X mp p p X m L p C p p C p
p l p C x p m x p l p x m x p p ==--========∴=∑
∑-=-=++--∂=--∂∏∏∑∑∏∑∑设是总体的样本的矩估计量是：似然函数（）=对数似然函数（）1
ˆ0/1p p
X m p ==-所以的极大似然估计量是：
17．
22222222ˆˆˆˆˆˆ() ()0()()[()][()]ˆˆE D E D E E θ
θθθθθθθθθθθ=>∴=+>=≠证明：且即，故不是的无偏估计
18．
22
11111211
1
211
1
11(2)
()()[()]()()2()(1)22
()(1)2i i i i i i i i i n i i i n i i i k k X X n E X X D X X E X X D X D X C E X X C n C C X X n σσσσ++++-+=-+==-=+=+=∴=-=-∑∑∑n
22i=1
2
2
2（）时，(-)是的无偏估计
----故当时，-是的无偏估计
19．
11231123212321233123212
ˆ()()()()5554149ˆ()()()()()0.36()
25252525111
ˆ()()()()6321117ˆ()()()()()0.389()369418139
ˆ()()()()71414ˆ(E E X E X E X D D X D X D X D X D X E E X E X E X D D X D X D X D X D X E E X E X E X D μ
μμμ
μμμ
μ=++==++===++==++===++=31231231198147)()()()()0.48()
4919619698ˆˆˆˆD X D X D X D X D X μμμμμμ=++==所以，，都是的无偏估计，且更有效
20．
1
1
122
21
1
(2)
21
(2)
211
1
,,...,()()(1)(1)[(1)](1)()ln[(1)]ln ln(1)ln[(1)]2ln (2)ln(1)
()i n
i i n
i i n n
n
x i i i i i n
x n
i i n
x n i i n
n
i i i i x x x L P X x x x l x x n x l θθθθθθθθθθθ==-==-=-=====--∑=--∑=-++-=-++--∂∂∏∏∏∏∑∏设是样本观察值，则似然函数是＝对数似然函数是：
1
(2)
20
12ˆn
i
i x n
X
θθ
θ
θθ=-=-=-=
∑所以的极大似然估计是
21．
22
22222222ln (,)
(){}ln (,)ln[(1)]ln ln ()ln(1)
ln (,)ln (,) 1(1)ln (,){}(1)(1)
1(1)
()ˆx x N x x
N N f x p I p E p
f x p C p p C x p N x p f x p x N x f x p x N x
p p p p p p f x p Np N Np N E p p p p p p p p C R nI p nN p -∂=-∂=-=++--∂-∂-=+=--
∂-∂-∂-=--=
∂----=
所以的下界是：的无偏估计是1
21/1(1)1ˆ()()()ˆ/n
i
i p X N X Nn p p D p D X N n nN nI p p
X N p ===-===
=∑其方差是所以是的最小方差无偏估计
22．
自己按公式计算 23．
121221/21212()X u n u n u u L n L n αα
αα
σμασσσ
-----±
<⇒>的置信度为的置信区间为()置信区间长度为：2
由2
其余题目自己按公式计算！！
9、证明比较简单：按照F分布定义即可证明。

正交试验设计的目的是如何科学、合理地安排试验，使之能在很多的试验条件中选出代表性强的少数几个试验条件，并通过较少次数的试验就能取得最好的结果。