旺苍县四中九年级数学上册 第21章 二次函数与反比例函数21.2 二次函数的图象和性质3 二次函数表

*3.二次函数表达式的确定
【知识与技能】
经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识.
【过程与方法】
会用待定系数法求二次函数的表达式.
【情感态度】
逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.
【教学重点】
求二次函数的解析式.
【教学难点】
求二次函数的解析式.
一、情景导入，初步认知
问题1：如何求一次函数的解析式？至少需要几个点的坐标？
问题2：你能求二次函数的解析式吗？如果要求二次函数的解析式需要几个点的坐标？
【教学说明】通过类比的思想猜想求二次函数的解析式需要坐标点的个数.
二、思考探究，获取新知
问题：
1.已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2），求函数的解析式.
【分析】可设函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，根据二次函数的图象经过三个已知点，可得出一个关于a,b,c的三元一次方程组，从而可以求出a,b,c的值。

【归纳结论】这种求二次函数表达式的方法称为一般式.
2.已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1），求函数的解析式.
【分析】根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，再根据抛
物线与y 轴的交点可求出a 的值.
【归纳结论】这种求二次函数表达式的方法称为顶点式.
【归纳结论】求二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的解析式，关键是确定a 、b 、c 的值.由已知条件可列出三个方程，解此方程组，求出三个系数a,b,c. 三、运用新知，深化理解
1.教材P21例3、P22例4、例5.
已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式.
【分析】二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 通过配方可得y ＝a(x ＋h)2
＋k 的形式称为顶点式，(-h ，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为：
y ＝a(x －8)2
＋9
由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a 的值. 解：y=-8
1x 2
+2x+1 2.已知：二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，求抛物线的解析式.
【分析】应用待定系数法求出a,b,c 的值 解：依题意：
抛物线的解析式为y=-x 2
+4x+5
3.已知抛物线的对称轴是直线x ＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式.
【分析】可设二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c ，已知两点的坐标，可列两个方程，再根据对称轴x ＝2列出一个方程，则可求出a,b,c 的值.
解法1：设所求二次函数的解析式是y ＝ax 2
＋bx ＋c ，因为二次函数的图象过点(0，-5)，可求得c ＝-5，又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是直线x ＝2，可以得
解这个方程组，得：
所以所求的二次函数的关系式为y＝-2x2＋8x－5.
解法2：设所求二次函数的关系式为y＝a(x－2)2＋k，由于二次函数的图象经过(3，1)和(0，－5)两点，可以得到
解这个方程组，得：
所以，所求二次函数的关系式为y＝－2(x－2)2＋3，即y＝－2x2＋8x－5.
4.已知抛物线的顶点是(2，-4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式.
【分析】根据顶点坐标公式可列出两个方程.
解法1：设所求的函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得
y＝a(x－2)2－4
因为抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为4，所以抛物线过点(0，4)，于是a(0－2)2－4＝4，解得a＝2.
所以，所求二次函数的关系式为y＝2(x－2)2－4，即y＝2x2－8x＋4.
解法2：设所求二次函数的关系式为y＝ax2＋bx＋c.依题意，得
解这个方程组，得：
所以，所求二次函数关系式为y＝2x2－8x＋4.
【教学说明】凡是能用“顶点式”确定的,一定可用“一般式”确定，进一步明确两种表达式只是形式的不同和没有本质的区别;在做题时,不仅会使用已知条件,同时要养成挖掘和运用隐含条件的习惯.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业:教材“习题21.2”中第9、11、14题.
确定二此函数的关系式的一般方法是“一般式”“顶点式”，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则.
27．1 圆的认识
1．圆的基本元素
1．使学生理解圆、等圆、等弧、圆心角等概念．
2．让学生深刻认识圆中的基本概念．
重点
圆中的基本概念的认识．
难点
对等弧概念的理解．
一、创设情境，引入新课
圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象．
1．观察以上图形，体验圆的和谐与美丽．请大家说说生活中还有哪些圆形？
2．请同学们在草稿纸上用圆规画圆，体验画圆的过程，想想圆是怎样形成的．
二、探究问题，形成概念
探究1：圆是如何形成的？
1．请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的．
2．圆的位置是由什么决定的？而大小又是由什么决定的？
回顾圆的画法，感受圆的形成过程．为本节课的教学作铺垫．
探究2：圆的基本元素
问题：据统计，某个学校的同学上学方式是：有的同学步行上学，有的同学坐公共汽车上学，还有其他方式上学的同学，请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式．我们是用圆规画出一个圆，再将圆划分成一个个扇形，右图就是反映学校学生上学方式的扇形统计图．
如右图，线段OA，OB，OC都是圆的半径，线段AC为直径．这个以点O为圆心的圆叫
作“圆O ”，记为“⊙O ”．线段AB ，BC ，AC 都是圆O 中的弦，曲线BC ，BAC 都是圆中的弧，分别记为BC ︵，BAC ，其中像BC ︵
这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像BAC 这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，称为等弧．∠AOB ，∠AOC ，∠BOC 就是圆心角．半径相等的圆是等圆．结合上面的扇形统计图，同学们进一步阐述圆心角、优弧、劣弧等圆中的基本元素．
三、练习巩固 1．判断：
(1)直径是弦．( ) (2)弦是直径．( )
(3)半圆是弧，但弧不一定是半圆．( ) (4)半径相等的两个半圆是等弧．( ) (5)长度相等的两条弧是等弧．( ) (6)周长相等的圆是等圆．( ) (7)面积相等的圆是等圆．( ) (8)优弧一定比劣弧长．( )
2．如图，在⊙O 中，点A ，O ，D 与点B ，O ，C 分别在同一直线上，图中弦的条数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．如图，半圆的直径AB ＝________.
四、小结与作业 小结
1．这节课你学习了哪些知识？学习了哪些数学思想方法？ 2．你运用怎样的方法来获得这些知识的？ 3．通过今天的学习你有什么收获？ 作业
1．布置作业：教材P37“练习”． 2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课的概念较多，从学生掌握的情况来看，有的概念弄混淆了．所以应在这方面多讲解、练习．
一、选择题
1．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于（）
A．10°B．20°C．40°D．80°
2．如图，已知点C，D是半圆上的三等分点，连接AC，BC，CD，OD，BC和OD相交于点E．则下列结论：
①∠CBA=30°，②OD⊥BC，③OE=AC，④四边形AODC是菱形．
正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（）
A．156°B．78°C．39°D．12°
4．如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（）
A．60°B．70°C．120°D．140°
5．如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（）
A．36°B．46°C．27°D．63°
6．如图，A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC的度数是（）
A．35°B．140°C．70°D．70°或140°
7．下列四个图中，∠x是圆周角的是（）
A．B．C． D．
8．如图，A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，则弦AB的长为（）
A． B．2 C．2D．4
9．如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（）
A．135°B．122.5°C．115.5°D．112.5°
10．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD 等于（）
A．116°B．32°C．58°D．64°
11．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（）
A．AD=AB B．∠BOC=2∠D C．∠D+∠BOC=90°D．∠D=∠B
12．如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是（）
A．75°B．60°C．45°D．30°
13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数是（）
A．40°B．50°C．60°D．100°
14．如图，AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，∠BOC=70°，则∠ABD=（）
A．20°B．46°C．55°D．70°
15．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为（）
A．40°B．50°C．80°D．100°
16．如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是（）
A．BD⊥AC B．AC2=2AB•AE
C．△ADE是等腰三角形D．BC=2AD
二、填空题17．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，若∠BOC=100°，则∠BAC=______．
18．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P在线段OA上运动．设∠BCP=α，则α的最大值是______．
19．如图，P是⊙O外一点，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=60°，PA、PB分别交于M、N两点，则∠APB的范围是______．
20．如图所示⊙O中，已知∠BAC=∠CDA=20°，则∠ABO的度数为______．
21．已知点O是△ABC外接圆的圆心，若∠BOC=110°，则∠A的度数是______．
22．如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，则∠BOC=______ 度．
23．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC=90°，AD=3，CD=2，则⊙O的直径的长是______．24．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是______．
25．如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB=______．
26．如图，AD、AC分别是直径和弦，∠CAD=30°，B是AC上一点，BO⊥AD，垂足为O，BO=5cm，则CD等于______cm．
27．如图，在⊙O中直径CD垂直弦AB，垂足为E，若∠AOD=52°，则∠DCB=______．
三、解答题
28．（1）甲市共有三个郊县，各郊县的人数及人均耕地面积如表所示：
郊县人数/万人均耕地面积/公顷
A 20 0.15
B 5 0.20
C 10 0.18
求甲市郊县所有人口的人均耕地面积（精确到0.01公顷）；
（2）先化简下式，再求值：，其中，；
（3）如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE 是等腰三角形．
29．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．
30．如图．点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于F，求证：
（1）△AEB∽△OFC；
（2）AD=2FO．
答案
一、选择题
1．C；2．D；3．C；4．D；5．A；6．B；7．C；8．C；9．D；10．B；11．B；12．B；13．B；14．C；15．D；16．D；
二、填空题
17．50°；18．90°；19．0°＜∠APB＜30°；20．50°；21．55°或125°；22．52；23．；24．；25．30°；26．5；27．26°；
三、解答题
28．
29．
30．。