广东省云浮市广东省罗定泷州中学2021年高三数学理联考试题含解析

广东省云浮市广东省罗定泷州中学2021年高三数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设集合，，则A∩B=（）
A. (0,1]
B. [0,1]
C. (－∞,1]
D. (－∞,0)∪(0,1]
参考答案：
A
【分析】
先求出集合的等价条件，根据交集定义求出结果.
【详解】解：因为，
解得，
因为当时，
恒成立，
当时，
恒成立，
所以，
故，
故选A.
2. 已知则
A.a> b> c
B.b> a> c
C.a> c> b
D.c>a> b
参考答案：
C 略
3. 已知三棱锥P﹣A BC四个顶点都在半径为2的球面上，PA⊥面ABC，PA=2，底面ABC是正三角形，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是（）
A．B．2πC．D．3π
参考答案：
C
【考点】LG：球的体积和表面积．
【分析】设正△ABC的中心为O1，连结O1A．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，而经过点E的球O的截面，当截面与OE垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．
【解答】解：设正△ABC的中心为O1，连结O1A，∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，
∴O1O⊥平面ABC，∵PA⊥面ABC，PA=2，∴球心O到平面ABC的距离为O1O==1，
∴Rt△O1OA中，O1A=，∴又∵E为AB的中点，△ABC是等边三角形，
∴AE=AO1cos30°=．
∵过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，
∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．
此时截面圆的半径r=，可得截面面积为S=πr2=，
故选：C．
4. 已知ABCD是矩形，边长AB=3，BC=4，正方形ACEF边长为5，
平面ACEF⊥平面ABCD，则多面体ABCDEF的外接球的表面积 ( )
A. B. C. D.
参考答案：
B
5. 已知复数(i为虚数单位)，则的虚部为()
A．－1 B．0 C．1 D．i
参考答案：
C
6. 已知i是虚数单位，若复数z满足（1+i）z=2i，则z的虚部是（）
A．1 B．﹣1 C．﹣i D．i
参考答案：
A
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】由（1+i）z=2i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1+i）z=2i，
得=，
则z的虚部是：1．
故选：A．
7. （5分）下列结论正确的是（）
．
当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B
当x ＞0
时，+≥2
．
当x≥2时，x+的最小值为2D
当0＜x≤2时，x﹣无最大值
参考答案：
B
A中，当0＜x＜1时，lgx＜0，lgx+≥2不成立；由基本不等式B正确；C中“=”取不到；D中x﹣在0＜x≤2时单调递增，当x=2时取最大值．故选B
8. 设集合，集合，若A∩B={2}，则A∪B=（）
A. {1,2}
B. {1,5}
C. {2,5}
D. {1,2,5}
参考答案：
D
试题分析：由题意得，，则，解得，所以，故选D. 考点：集合的运算.
9. 已知函数f(x)=sin(2x－φ) －cos(2x－φ)（）的图象关于y轴对称，则f(x)在区间
上的最大值为（）
A. 1
B.
C.
D. 2
参考答案：
A
点睛：判定三角函数的奇偶性时，往往与诱导公式进行结合，如：
若为奇函数，则；
若为偶函数，则；
若为偶函数，则；
若为奇函数，则.
10. 若，则的值使得过可以做两条直线与圆相切的概率等于( )
A．B．C．D．
参考答案：
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在区间[-2，3]上随机选取一个数x ,则x 的概率为
参考答案：
12. 已知函数f （x ）=．若存在x 1，x 2，当1≤x 1＜
x 2＜3时，f （x 1）=f （x 2），则
的取值范围是 ．
参考答案：
（，]
【考点】分段函数的应用．
【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．
【分析】作函数f （x ）的图象，结合图象可得+≤x 1
＜
；化简
=
=1+
；从而求取值范围．
【解答】解：作函数f （x ）=
的图象如下，
f （）=+1=1+；
故令x+
=1+
得，x=
+
；
故+≤x 1＜；
又∵
=
=1+
；
＜≤=﹣1；
＜1+
≤
；
故答案为：（，]．
【点评】本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用，属于中档题．
13. 现有一根n 节的竹竿,自上而下每节的长度依次构成等差数列,最上面一节长为10cm,最下面的三节长度之和为114cm,第6节的长度是首节与末节长度的等比中项,则n=_____.
参考答案：
16 略
14. 设、满足约束条件：，则的最大值是。

参考答案：
答案：3
9.若cosxcosy+sinxsiny=，则cos(2x-2y)= .
参考答案：
16. 已知点A 1（a1，1），A2（a2，2），…，A n（a n，n）（n∈N*）在函数y=log x的图象上，则数列
{a n}的通项公式为；设O为坐标原点，点M n（a n，0）（n∈N*），则△OA1M1，△OA2M2，…，△OA n M n
中，面积的最大值是．
参考答案：
a n=（）n,
【考点】对数函数的图象与性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由对数函数可得通项公式，又可得△OA n M n的面积S n的表达式，由函数的单调性可得．
【解答】解：由题意可得n=log a n，∴a n=（）n，
又可得△OA n M n的面积S n=×a n×n=n（）n，
构造函数y=x（）x，可判函数单调递减，
∴当n=1时，S n取最大值
故答案为：a n=（）n；
【点评】本题考查对数函数的性质，涉及函数的单调性，属基础题．
17. 已知的展开式中，含有项的系数是54，则．
参考答案：
4
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，0＜φ＜π），曲线C2与曲线C1关于原
点对称，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为ρ=2（0＜θ＜
π），过极点O的直线l分别与曲线C1，C2，C3相交于点A，B，C．
（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；
（Ⅱ）求|AC|?|BC|的取值范围．
参考答案：
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（I）利用同角三角函数的关系消元得到C1的普通方程，在将普通方程转化为极坐标方程；
（II）求出三条曲线的普通方程，设直线方程为y=kx（k＞0），求出A，B，C的坐标，利用三点的位
置关系得出|AC|?|BC|=（|OC|﹣|OA|）?（|OA|+|OC|）=|OC|2﹣|OA|2．将|AC|?|BC|转化为关于k的
函数．
【解答】解：（I）曲线C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0（0＜y≤1）．
∴曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ（0＜θ＜π）．
（II）曲线C2的普通方程为（x+1）2+y2=1（﹣1≤y＜0），
曲线C3的普通方程为x2+y2=4（0＜y≤2）．
设直线l的方程为y=kx（k＞0）．
则A（，），B（﹣，﹣），C（，）．
∵A，B关于原点对称，∴|BC|=|OB|+|OC|=|OA|+|OC|，
∴|AC|?|BC|=（|OC|﹣|OA|）?（|OA|+|OC|）=|OC|2﹣|OA|2
=﹣=4﹣．
设f（k）=4﹣，则f（k）在（0，+∞）上单调递增，
∵f（0）=0，，
∴0＜f（k）＜4．
即|AC|?|BC|的取值范围时（0，4）．
19. 设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆上的两点，已知向量=（，
），=（，），若=0且椭圆的离心率e=，短轴长为2，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
参考答案：
【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】计算题．
【分析】（1）依题意可求得b，进而根据离心率求得a，则椭圆方程可得．
（2）先看当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=y2，根据=0代入求得x12﹣=0把点A代入椭圆方程，求得A点横坐标和纵坐标的绝对值，进而求得△AOB的面积的值；当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b与椭圆方程联立消去y，根据伟大定理求得x1+x2和x1x2的表达式代入=0中整理可求得2b2﹣k2=4代入三角形面积公式中求得求得△AOB的面积的值为定值．最后综合可得答案．
【解答】解：（1）依题意知2b=2，∴b=1，e===∴a=2，c==
∴椭圆的方程为
（2）①当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=﹣y2，
∵=0
∴x12﹣=0
∴y12=4x12
又A（x1，y1）在椭圆上，所以x12+=1
∴|x1|=，|y1|=
s=|x1||y1﹣y2|=1
所以三角形的面积为定值．
②当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b
消去y得（k2+4）x2+2kbx+b2﹣4=0
∴x1+x2=，x1x2=，△=（2kb）2﹣4（k2+4）（b2﹣4）＞0而=0，
∴x1x2+=0
即x1x2+=0代入整理得
2b2﹣k2=4
S=|AB|===1
综上三角形的面积为定值1．
【点评】本题主要考查了椭圆的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．
20. 已知函数f（x）=alnx++1．
（Ⅰ）当a=﹣时，求f（x）在区间[，e]上的最值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．
参考答案：
【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（Ⅰ）求导f（x）的定义域，求导函数，利用函数的最值在极值处与端点处取得，即可求得
f（x）在区间[，e]上的最值；
（Ⅱ）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可确定函数的单调性；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f（x）min=f（），即原不等式等价于f（）＞
1+ln（﹣a），由此可求a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣时，，∴．
∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f′（x）=0得x=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴f（x）在区间[，e]上的最值只可能在f（1），f（），f（e）取到，
而f（1）=，f（）=，f（e）=，∴f（x）max=f（e）=，f（x）min=f（1）=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ），x∈（0，+∞）．
①当a+1≤0，即a≤﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
②当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
③当﹣1＜a＜0时，由f′（x）＞0得，∴或（舍去）
∴f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当﹣1＜a＜0时，f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；当a≤﹣1时，f （x）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f（x）min=f（）
即原不等式等价于f（）＞1+ln（﹣a）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
即aln+﹣+1＞1+ln（﹣a）
整理得ln（a+1）＞﹣1
∴a＞﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
又∵﹣1＜a＜0，∴a的取值范围为（﹣1，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
21. （Ⅰ）
；
（Ⅱ）.
参考答案：
略
22. 已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，，过点F1的直线与椭圆C交于A、B两点，延长BF2交椭圆C于点M，的周长为8.
（1）求C的离心率及方程；
（2）试问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求；若不存在，请说明理由. 参考答案：
（1）,；（2）存在点，且.
【分析】
（1）由已知条件得，，即可计算出离心率和椭圆方程
（2）假设存在点，分别求出直线的斜率不存在、直线的斜率存在的表达式，令其相等，求出结果【详解】（1）由题意可知，，则，
又的周长为8，所以，即，
则，.
故C的方程为.
（2）假设存在点，使得为定值.
若直线的斜率不存在，直线的方程为，，，
则.
若直线的斜率存在，设的方程为，
设点，，联立，得，
根据韦达定理可得：，，
由于，，
则
因为为定值，所以，
解得，故存在点，且.
【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及定值问题，在解答定值问题时先假设存在，分别求出斜率不存在和斜率存在情况下的表达式，令其相等求出结果，此类题型的解法需要掌握。