随州市第一中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析

随州市第一中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 已知命题:()(0x p f x a a =>且1)a ≠是单调增函数；命题5:(,)44
q x ππ
∀∈，sin cos x x >.
则下列命题为真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．p q ∨⌝ C. p q ⌝∧⌝ D ．p q ⌝∧ 2． 若()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，[)()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，有()()
2121
0f x f x x x -<-，则
（ ）
A ．()()()213f f f -<<
B ．()()()123f f f <-<
C ．()()()312f f f <<
D ．()()()321f f f <-<
3． 复数2
(2)i z i
-=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ）
A ．43i -+
B ．43i +
C ．34i +
D ．34i -
【命题意图】本题考查复数的运算和复数的概念等基础知识，意在考查基本运算能力．
4． 函数2
1()ln 2
f x x x ax =+
+存在与直线03=-y x 平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A. ),0(+∞ B. )2,(-∞ C. ),2(+∞ D. ]1,(-∞
【命题意图】本题考查导数的几何意义、基本不等式等基础知识，意在考查转化与化归的思想和基本运算能力． 5． 在下面程序框图中，输入44N =，则输出的S 的值是（ ）
A ．251
B ．253
C ．255
D ．260
【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是把正整数除以4后按余数分类.
6． 已知直线l
的参数方程为1cos sin x t y t α
α
=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，α为直线l 的倾斜角），以原点O 为极点，x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin()3
π
ρθ=+
，直线l 与圆C 的两个交点为,A B ，当||AB 最小时，α的值为（ ）
A ．4
π
α=
B ．3
π
α=
C ．34
πα=
D ．23
π
α=
7． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A ． 2 B ．4 C ．
34 D ．3
8
【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等.
8． 已知向量=（1，2），=（x ，﹣4），若∥，则x=（ ） A ． 4 B ． ﹣4 C ． 2 D ． ﹣2
9． 如果对定义在R 上的函数)(x f ，对任意n m ≠，均有0)()()()(>--+m nf n mf n nf m mf 成立，则称 函数)(x f 为“H 函数”.给出下列函数： ①
()ln25x f x =-；②34)(3++-=x x x f ；③)cos (sin 222)(x x x x f --=；④
⎩
⎨
⎧=≠=0,00
|,|ln )(x x x x f ．其中函数是“H 函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ． 4
【命题意图】本题考查学生的知识迁移能力，对函数的单调性定义能从不同角度来刻画，对于较复杂函数也要有利用导数研究函数单调性的能力，由于是给定信息题，因此本题灵活性强，难度大． 10．棱长为2的正方体的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．π4 B ．π6 C ．π8 D ．π10
11．已知2->a ，若圆1O ：01582222=---++a ay x y x ，圆2O ：0
44222
22=--+-++a a ay ax y x 恒有公共点，则a 的取值范围为（ ）.
A ．),3[]1,2(+∞--
B ．),3()1,35(+∞--
C ．),3[]1,3
5
[+∞-- D ．),3()1,2(+∞--
12．下列给出的几个关系中：①{}{},a b ∅⊆；②(){}{},,a b a b =；③{}{},,a b b a ⊆；
④{}0∅⊆,正确的有（ ）个
A.个
B.个
C.个
D.个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．设α为锐角， =（cos α，sin α），=（1，﹣1）且•=
，则sin （α+
）= ．
14．在平面直角坐标系中，(1,1)=-a ，(1,2)=b ，记{}
(,)|M O M λμλμΩ==+
a b ，其中O 为坐标原点，
给出结论如下：
①若(1,4)(,)λμ-∈Ω，则1λμ==；
②对平面任意一点M ，都存在,λμ使得(,)M λμ∈Ω； ③若1λ=，则(,)λμΩ表示一条直线； ④{}(1,)(,2)(1,5)μλΩΩ= ；
⑤若0λ≥，0μ≥，且2λμ+=，则(,)λμΩ表示的一条线段且长度为 其中所有正确结论的序号是 ．
15．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为2cm 和4cm ,侧棱长为2cm ,
则其
表面积为__________2cm .
16．在ABC ∆中，已知角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且B c C b a sin cos +=，则角B 为 .
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．（本题满分14分）已知两点)1,0(-P 与)1,0(Q 是直角坐标平面内两定点，过曲线C 上一点),(y x M 作y 轴的垂线，垂足为N ，点E 满足MN ME 3
2
=，且0=⋅. （1）求曲线C 的方程；
（2）设直线l 与曲线C 交于B A ,两点，坐标原点O 到直线l 的距离为
2
3
，求AOB ∆面积的最大值. 【命题意图】本题考查向量的基本运算、轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系，本题知识交汇性强，最值的求解有一定技巧性，同时还要注意特殊情形时三角形的面积．总之该题综合性强，难度大．
18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且990S =，15240S =． （1）求{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S ；
（2）设(){}
1n
n n b a --是等比数列，且257,71b b ==，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的通项与前n 项和、数列求和等基础知识，意在考查逻辑思维能力、
运算求解能力、代数变形能力，以及分类讨论思想、方程思想、分组求和法的应用．
19．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，n S 为数列{}n a 的前项和，111a b ==，且3336b S =，
228b S =（*n N ∈）．
（1）求n a 和n b ； （2）若1n n a a +<，求数列11n n a a +⎧
⎫
⎨⎬⎩⎭
的前项和n T ．
20．（本小题满分16分）
已知函数()133x x a
f x b
+-+=+．
（1） 当1a b ==时，求满足()3x f x =的的取值； （2） 若函数()f x 是定义在R 上的奇函数
①存在R t ∈，不等式(
)()2222f t t f t k -<-有解，求的取值范围；111]
②若函数()g x 满足()()()1
2333x
x
f x
g x -⋅+=-⎡⎤⎣⎦，若对任意x R ∈,不等式
(2)()11g x m g x ⋅-≥恒成立，求实数m 的最大值.
21．（本小题满分12分）
某超市销售一种蔬菜，根据以往情况，得到每天销售量的频率分布直方图如下：
（Ⅰ）求频率分布直方图中的a 的值，并估计每天销售量的中位数；
（Ⅱ）这种蔬菜每天进货当天必须销售，否则只能作为垃圾处理．每售出1千克蔬菜获利4元，未售出的蔬菜，每千克亏损2元．假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，估计当超市每天的进货量为75千克时获利的平均值．
22．如图，在四边形ABCD 中
,,,3,2,45AD DC AD BC AD CD AB DAB ⊥===∠= , 四 边形绕着直线AD 旋转一周
.
（1）求所成的封闭几何体的表面积； （2）求所成的封闭几何体的体积.
0.005
0.02
频率组距
O
千克
随州市第一中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析（参考答案）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 【答案】D
【解析】
考点：1、指数函数与三角函数的性质；2、真值表的应用. 2． 【答案】D 3． 【答案】A
【解析】根据复数的运算可知43)2()2(22
--=--=-=i i i i
i z ，可知z 的共轭复数为43z i =-+，故选A.
4． 【答案】D 【解析】因为1
()f x x a x
'=++，直线的03=-y x 的斜率为3，由题意知方程13x a x ++=（0x >）有解，
因为1
2x x
+
?，所以1a £，故选D ． 5． 【答案】B
6． 【答案】A
【解析】解析：本题考查直线的参数方程、圆的极坐标方程及其直线与圆的位置关系．在直角坐标系中，圆C 的方程为22(3)(1)4x y +-=，直线l 的普通方程为3tan (1)y x α=-，直线l 过定点3)M ，∵
||2MC <，∴点M 在圆C 的内部．当||AB 最小时，直线l ⊥直线MC ，1MC k =-，∴直线l 的斜率为1，∴
4
π
α=，选A ．
7． 【答案】B
8．【答案】D
【解析】：解：∵∥，
∴﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2．
故选：D．
9．【答案】B
第10．【答案】B
【解析】
考
点：球与几何体 11．【答案】C
【解析】由已知，圆1O 的标准方程为2
2
2
(1)()(4)x y a a ++-=+，圆2O 的标准方程为
222
()()(2)x a y a a ++-=+，∵
2->a ，要使两圆恒有公共点，则122||26O O a ≤≤+，即 62|1|2+≤-≤a a ，解得3≥a 或1
35
-≤≤-a ，故答案选C
12．【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，根据集合之间的关系可知：{}{},,a b b a ⊆和{}0∅⊆是正确的，故选C. 考点：集合间的关系.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．【答案】：．
【解析】解：∵•=cos α﹣sin α=，
∴1﹣sin2α=，得sin2α=， ∵α为锐角，cos α﹣sin α=⇒α∈（0，），从而cos2α取正值， ∴cos2α=
=
，
∵α为锐角，sin （α+）＞0，
∴sin （α+
）
=
===
．
故答案为：．
14．【答案】②③④
【解析】解析：本题考查平面向量基本定理、坐标运算以及综合应用知识解决问题的能力． 由(1,4)λμ+=-a b 得1
24
λμλμ-+=-⎧⎨
+=⎩，∴21λμ=⎧⎨=⎩，①错误；
a 与
b 不共线，由平面向量基本定理可得，②正确；
记OA = a ，由OM μ=+ a b 得AM μ=
b ，∴点M 在过A 点与b 平行的直线上，③正确；
由2μλ+=+a b a b 得，(1)(2)λμ-+-=0a b ，∵a 与b 不共线，∴1
2λμ=⎧⎨=⎩
，∴2(1,5)μλ+=+=a b a b ，
∴④正确；
设(,)M x y ，则有2x y λμλμ=-+⎧⎨=+⎩，∴2133
1133x y x y λμ⎧
=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，∴200x y x y -≤⎧⎨+≥⎩且260x y -+=，∴(,)λμΩ表示的一
条线段且线段的两个端点分别为(2,4)、(2,2)-
，其长度为
15．
【答案】20 【解析】
考
点：棱台的表面积的求解. 16．【答案】4
π 【
解
析
】
考
点：正弦定理．
【方法点晴】本题考查正余弦定理,根据正弦定理，将所给的含有边和角的等式化为只含有角的等式，再利用三角形的三角和是︒180，消去多余的变量，从而解出B 角.三角函数题目在高考中的难度逐渐增加，以考查三角函数的图象和性质，以及三角形中的正余弦定理为主，在2016年全国卷（ ）中以选择题的压轴题出现.
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．【答案】
【解析】（1）依题意知),0(y N ，∵)0,32()0,(3232x x MN ME -=-==
，∴),3
1
(y x E 则)1,(-=y x QM ，)1,3
1
(+=y x …………2分
∵0=⋅PE QM ，∴0)1)(1(31=+-+⋅y y x x ，即
1322
=+y x ∴曲线C 的方程为13
22
=+y x …………4分
18．【答案】
【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则由990S =，15240S =，得1193690
15105240
a d a d +=⎧⎨
+=⎩，解得12a d ==，……………3分
所以2(n 1)22n a n =+-⨯=，即2n a n =，
(1)
22(1)2
n n n S n n n -=+
⨯=+，即1n S n n =+（）．……………5分
19．【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=或1(52)3n a n =-，16n n b -=；（2）21
n n +. 【解析】
试题解析：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为，
由题意得2(33)36,(2)8,
q d q d ⎧+=⎨+=⎩解得2,2,d q =⎧⎨=⎩或2,
36.d q ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩
∴21n a n =-，12n n b -=或1
(52)3
n a n =-，16n n b -=．
（2）若+1n n a a <，由（1）知21n a n =-，
∴111111()(21)(21)22121
n n a a n n n n +==--+-+， ∴111111(1)2335212121
n n
T n n n =-+-++-=-++…．
考点：1、等差数列与等比数列的通项公式及前项和公式；2、裂项相消法求和的应用. 20．【答案】（1） 1x =- （2） ①()1,-+∞，②6 【解析】
试题分析：（1）根据+1333x x =⋅ ，可将方程()3x
f x =转化为一元二次方程：()2
332310x x ⋅+⋅-=，再根据指
数函数范围可得1
33
x
=
，解得1x =- （2） ①先根据函数奇偶性确定a b ，值：1,3a b ==，再利用单调性定义确定其单调性：在R 上递减．最后根据单调性转化不等式()()22
22f t t f t k -<-为2222t t t k ->-
即
（2） 因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x -+=，所以1
133033x x x x a a
b b
-++-+-++=++ 化简并变形得：()()333260x x
a b ab --++-=
要使上式对任意的成立，则30260a b ab -=-=且
解得：1133a a b b ⎧==-⎧⎪
⎨⎨==-⎪⎩⎩
或，因为()f x 的定义域是R ，所以13a b =-⎧⎨=-⎩舍去
所以1,3a b ==， 所以()1
31
33
x x f x +-+=+ ………………………………………6分
①()131********x x x f x +-+⎛⎫
==-+ ⎪++⎝⎭
1111]
对任意1212,,x x R x x ∈<有： ()()()()21
12
12121222333331313131x x x x x x f x f x ⎛⎫-⎛⎫
⎪-=-=
⎪ ⎪++++⎝⎭
⎝⎭
因为12x x <，所以21330x x ->，所以()()12f x f x >，
因此()f x 在R 上递减． ………………………………………8分
因为()()
22
22f t t f t k -<-，所以2222t t t k ->-，
即220t t k +-<在R t ∈时有解 所以440t ∆=+>，解得：1t >-，
所以的取值范围为()1,-+∞ ………………………………………10分 ②因为()()()12333x x
f x
g x -⋅+=-⎡⎤⎣⎦，所以()()3323x x g x f x --=-
即()33x x g x -=+ ………………………………………12分
令()9h t t t =+，()291h t t
=-′，
()2,3t ∈时，()0h t <′，所以()h t 在()2,3上单调递减
()3,t ∈+∞时，()0h t >′，所以()h t 在()3,+∞上单调递增
所以()()min 36h t h ==，所以6m ≤
所以，实数m 的最大值为6 ………………………………………16分 考点：利用函数性质解不等式，不等式恒成立问题
【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为
函数的最值问题。

21．【答案】（本小题满分12分）
解：本题考查频率分布直方图，以及根据频率分布直方图估计中位数与平均数． （Ⅰ）由(0.0050.0150.020.025)101a ++++⨯=得0.035a = （3分）
每天销售量的中位数为0.15
701074.30.35
+
⨯=千克 （6分） （Ⅱ）若当天的销售量为[50,60)，则超市获利554202180⨯-⨯=元；
若当天的销售量为[60,70)，则超市获利654102240⨯-⨯=元； 若当天的销售量为[70,100)，则超市获利754300⨯=元， （10分） ∴获利的平均值为0.151800.22400.65300270⨯+⨯+⨯=元. （12分）
22．【答案】（1）(8π+；（2）20
3
π． 【解析】
考
点：旋转体的概念；旋转体的表面积、体积.。