吉林省吉林市第一中学校高中数学 第一章第4节《正弦、余弦的诱导公式(1)》教案 新人教A版必修4

吉林省吉林市第一中学校高一数学必修四第一章第4节《正弦、余弦
的诱导公式（1）》教案 新人教A 版
四．教学过程：
（一）复习：
1．利用单位圆表示任意角α的正弦值和余弦值；
2．诱导公式一及其用途：
sin(360)sin ,cos(360)cos ,tan(360)tan ,k k k k Z αααααα⋅+=⋅+=⋅+=∈．
问：由公式一把任意角α转化为)0,360⎡⎣内的角后，如何进一步求出它的三角函数值？
我们对)0,90⎡⎣范围内的角的三角函数值是熟悉的，那么若能把)90,360⎡⎣内的角β的三角函数值转化为求锐角α的三角函数值，则问题将得到解决，这就是数学化归思想。

（二）新课讲解：
1．引入：对于任何一个)0,360⎡⎣内的角β，
以下四种情况有且只有一种成立（其中α为锐角）：
所以，我们只需研究180,180,360αααα-+-与的同名三角函数的关系即研究了βα与的关系了。

2．诱导公式二：
提问：（1）锐角α的终边与180α+的终边位置关系如何？
（2）写出α的终边与180α+的终边与单位圆交点,'P P 的坐标。

（3）任意角α与180α+呢？
通过图演示，可以得到：任意α与180α+的终边都是关于原点中心对称的。

则有(,),'(,)P x y P x y --，由正弦函数、余弦函数的定义可知： sin y α=， cos x α=；
sin(180)y α+=-， cos(180)x α+=-．
从而，我们得到诱导公式二： sin(180)α+=sin α-； cos(180)α+=-cos α．
))))
,0,90180,90,180180,180,270360,270,360αβαββαβαβ⎧⎡∈⎣⎪⎪⎡-∈⎣⎪=⎨⎡+∈⎪⎣⎪⎡-∈⎪⎣⎩当当当当
说明：①公式二中的α指任意角；
②若α是弧度制，即有sin()πα+=sin α-，cos()πα+=-cos α；
③公式特点：函数名不变，符号看象限； ④可以导出正切：sin(180)sin tan(180)tan cos(180)cos αααααα
+-+===-+-． （此公式要使等式两边同时有意义）
3．诱导公式三：
提问：（1）360α-的终边与α-的终边位置关系如何？从而得出应先研究α-；
（2）任何角α与α-的终边位置关系如何？
对照诱导公式二的推导过程，由学生自己完成诱导公式三的推导，
即得：诱导公式三：
sin()sin αα-=-；
cos()cos αα-=．
说明：①公式二中的α指任意角；
②在角度制和弧度制下，公式都成立； ③公式特点：函数名不变，符号看象限（交代清楚在什么情况下“名不变”，以及符号确定的具体方法）；
④可以导出正切：tan()tan αα-=-．
4．例题分析：
例1．求下列三角函数值：（1）sin 960； （2）43cos()6
π-． 分析：先将不是)0,360⎡⎣范围内角的三角函数，转化为)0,360⎡⎣范围内的角的三角函数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到0,90⎡⎤⎣⎦范围内角的三角函数的值。

解：（1）sin 960sin(960720)sin 240=-=（诱导公式一）
sin(18060)sin 60=+=-（诱导公式二）
2
=-
． （2）4343cos()cos 66
ππ-=（诱导公式三） 77cos(6)cos 66πππ=+=（诱导公式一） cos()cos 66
ππ
π=+=-（诱导公式二）
=．
方法小结：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：
①化负角的三角函数为正角的三角函数；
②化为)0,360⎡⎣内的三角函数；
③化为锐角的三角函数。

可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）。

例2．化简23cot cos()sin (3)tan cos ()
απαπααπα⋅+⋅+⋅--． 解：原式23cot (cos )sin ()tan cos ()
ααπααπα⋅-⋅+=⋅+ 2
3
cot (cos )(sin )tan (cos )ααααα⋅-⋅-=⋅- 23cot (cos )sin tan (cos )
ααααα⋅-⋅=⋅- 2222cos sin 1sin cos αααα
=⋅=． 五．课堂练习：课本第30页 练习1，2，3．
六．小结：1．简述数学的化归思想；
2．两个诱导公式的推导和记忆；
3．公式二可以将()180,270范围内的角的三角函数转化为锐角的三角函数；
4．公式三可以将负角的三角函数转化为正角的三角函数。

七．作业：课本第30页 练习4．
第33页 习题4.5 第1（1）（3）（5）题．
补充：1
2cos101sin 100--； 2．求值23456tan tan tan tan tan tan tan 777777
ππππ++++++．。