上海市鲁迅中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题

上海市鲁迅中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合{}{}2,3,1,2,A B a ==，若A B ⊆，则实数a =____
2．已知1()f x -是函数2()log (1)=+f x x 的反函数，则1(2)f -=________
3．已知{}n a 是等比数列，它的前n 项和为n S ，且34a =，48a =-，则5S =________ 4．已知(0,)απ∈，3
cos 5α=-，则tan()4
πα+=________． 5．二项式4
1()2x x
-
的展开式中的常数项为___ 6．已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n ∈N ，{}n a 的前n 项和为n S ，则
lim
n
n n
S n a →∞=⋅_________.
7．已知向量a 、b 的夹角为60，1a =，2b =，若(2)()a b xa b +⊥-，则实数x 的值为___________.
8．若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为__________．
9．某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为________
10．函数()f x 的定义域为实数集R ，,
01()11,102x x x f x x ≤≤⎧⎪
=⎨⎛⎫--≤< ⎪⎪⎝⎭
⎩，对于任意的
x ∈R 都有(1)(1)f x f x +=-.若在区间[]1,3-上函数()()g x f x mx m =--恰有四
个不同的零点，则实数m 的取值范围是_________________. 11．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，120A ∠=︒，1
2
AB AC ⋅=-，则线段AM 长的最小值为___________
12．已知函数2
()57f x x x =-+，若对于任意的正整数n ，在区间5[1,]n n
+上存在1
m +个实数0a 、1a 、2a 、⋅⋅⋅、m a ，使得012()()()()m f a f a f a f a >++⋅⋅⋅+成立，则m 的最大值为________
二、单选题
13．在空间中，“直线m ⊥平面α”是“直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直 ”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件
D ．非充分非必要条件
14．下列函数中，周期为π，且在[,]42
ππ
上为减函数的是（ ）
A ．sin()2y x π
=+ B ．cos()2y x π=+ C ．cos(2)2
y x π
=+
D ．sin(22
)y x π
=+
15．将函数1
y x
=-
的图象按向量(1,0)a =平移，得到的函数图象与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图象的所有交点的横坐标之和等于（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
16．给出下列三个命题:
命题1：存在奇函数()f x 1()x D ∈和偶函数()g x 2()x D ∈,使得函数()()
f x
g x 12()x D D ∈是偶函数；
命题2：存在函数()f x 、()g x 及区间D ，使得()f x 、()g x 在D 上均是增函数, 但
()()f x g x 在D 上是减函数；
命题3：存在函数()f x 、()g x （定义域均为D ），使得()f x 、()g x 在0x x =0()x D ∈处均取到最大值，但()()f x g x 在0x x =处取到最小值. 那么真命题的个数是 ( )． A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
三、解答题
17．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E F 、分别是所在棱A B AB 11、的中点，点1O 是面1111D C B A 的中心．如图所示．
(1)求三棱锥1O FBC -的体积1O FBC V -；
(2)求异面直线1A F 与CE 所成角的大小．(结果用反三角函数值表示) 18．已知函数()2f x x a a =-+．
（1）若不等式()6f x <的解集为()1,3-，求a 的值；
（2）在（1）的条件下，若存在0x R ∈，使()()00f x t f x ≤--，求t 的取值范围． 19．如题所示:扇形ABC 是一块半径为2千米，圆心角为60°的风景区，P 点在弧BC 上，现欲在风景区中规划三条三条商业街道PQ 、QR 、RP ，要求街道PQ 与AB 垂直，街道PR 与AC 垂直，直线PQ 表示第三条街道．
(1)如果P 位于弧BC 的中点，求三条街道的总长度；
(2)由于环境的原因，三条街道PQ 、PR 、QR 每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问:这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？(精确到1万元)
20．已知函数()22x x f x -=+． （1）求证：函数()f x 是偶函数； （2）设a ∈R ，求关于x 的函数22222()x
x y af x -=+-在[0,)x ∈+∞时的值域()
g a 的表达式；
（3）若关于x 的不等式()21x
mf x m -≤+-在(0,)x ∈+∞时恒成立，求实数m 的取
值范围．
21．若数列{}n a 同时满足条件：①存在互异的*
,N p q ∈使得p q a a c ==（c 为常数）；
②当n p ≠且n q ≠时，对任意*N n ∈都有n a c >，则称数列{}n a 为双底数列. （1）判断以下数列{}n a 是否为双底数列（只需写出结论不必证明）；
①6n a n n
=+
； ②sin 2n n a π=； ③()()35n a n n =--
（2）设50
1012,150
2
,50n n n n a m n --≤≤⎧=⎨
+>⎩，若数列{}n a 是双底数列，求实数m 的值以及数列{}n a 的前n 项和n S ；
（3）设()9310n
n a kn ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，是否存在整数k ，使得数列{}n a 为双底数列？若存在，求出所有的k 的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．3 【解析】
因为A B ⊆，所以3a =． 2．3 【解析】
因为()()2log 1f x x =+， 所以12log (1)2(2)3x f -+=⇒=. 3．11 【解析】
因为34a =，48a =-，所以4
3
2,a q a ==- 因此512481611S =-+-+=. 4．17
-
【解析】
4tan 3α=-，所以tan 11tan 41tan 7πααα+⎛
⎫+=
=- ⎪-⎝
⎭． 5．
3
2
【解析】
44214411()()420,222r r
r r r r r T C x C x r r x --+=-
=-∴-== 常数项为2
2413()22
C -=
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数. 6．
12
【解析】
【详解】
由数列的通项公式可得数列{}n a 为等差数列，且1314a =+=， 则其前n 项和()2[431]
352
2
n n n n n
S +++=
=
，故()2225
335352
231626n n S n n n n n n a n n n n n
+
++===
⋅+++， 则1
lim 2n n n
S n a →∞=⋅.
7．3 【解析】 【详解】
由题意可得：12cos601a b ⋅=⨯⨯=，且2
2
1,4a b ==， 则：()()
()2
2
2212a b xa b xa x a b b +⋅-=+-⋅-，
据此有：(21)80x x +--=，解得：3x =. 8．16π 【解析】
设球的半径为R ，则24100R ππ=，解得：5R =， 设截面圆的半径为r
，则4r =
==,
则平面α截球所得的圆面面积216S r ππ==. 9．
16
33
【详解】
一工厂生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从这批产品中抽取4个，基本事
件总数n=412C =495，其中恰好有一个二等品的基本事件个数m=31
102240C C =，∴其中恰好有
一个二等品的概率p=240495=16
33
． 故答案为
1633
10．10,4
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
【分析】
先确定2是()f x 的周期，作出函数的图象，利用在区间[]1,3-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同零点，即可求实数m 的取值范围. 【详解】
由题意，(2)[(1)1][(1)1]()f x f x f x f x +=++=+-=所以2是()f x 的周期. 令()h x mx m =+,则函数()h x 恒过点()1,0-, 函数()f x 在区间[]1,3-上的图象如图所示：
则在区间[]1,3-上函数()()g x f x mx m =--,恰有四个不同零点时，实数m 的取值范围是
10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦
. 故答案为: 10,4
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
.
【点睛】
本题主要考查的是指数函数和函数零点的概念,以及函数的周期性，是中档题 11．
12
【分析】
由1()2
AM AB AC =+平方得：2221
(1)4AM AB AC =+-，再由AB AC ⋅可得
||||1AB AC ⋅=，进而利用基本不等式可得最小值.
由1()2
AM AB AC =+平方得：
2222211
(2)(1)44AB A AM AB AC AB AC C =++=+-⋅. 又11
||||cos120||||22
AB AC AB AC AB AC ⋅=⋅=-⋅=-，所以||||1AB AC ⋅=.
所以
2
22221111
(2)(1)(2||||1)4444
AB AC AM AB AC AB AC AB AC ⋅=++=+-≥⋅-=.
当且仅当||||1AB AC ==时，AM 取最小值1
2
. 故答案为：12
. 【点睛】
本题主要考查了中线的向量表示及数量积的运算，考查了利用基本不等式求最小值，属于中档题. 12．6 【解析】 因为min 5
9()2n n
+=
，∴在区间9[1,]2上最大值为919()24f =，最小值为53
()24
f =， 1931
6444
÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，即m 的最大值为6. 13．A 【解析】
若“直线m ⊥平面α”则“直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直 ”，正确；反之，若“直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直 ”则“直线m ⊥平面α”是错误的，故直线
m ⊥平面α”是“直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直 ”的充分非必要条件.
故选A. 14．D 【详解】
由题意得，函数的周期为π，只有C,D 满足题意， 对于函数cos(2)sin 22y x x π
=+=-在[,]42
ππ
上为增函数， 函数sin(2)cos 22y x x π
=+=在[,]42
ππ
上为减函数，故选D. 15．D
函数1y x =-
按向量()1,0a =平移后为1
1
y x =-
-，()2sin 24y x x π=-≤≤的图像有公共的对称中心()1,0，画出函数1
1
y x =--与()2sin 24y x x π=-≤≤的图像如下：
交点分别为,,,,,,,A B C D E F G H ，根据对称性可知
,A H 、,B G 、,C F 、,D E 都关于点()1,0对称，故
=2A H B G C F D E x x x x x x x x ++=+=+=，所以所求的横坐标之和为8.
点睛：本题考查的函数的对称性，在解决此类问题时，结合函数图像能带来方便．平移后的函数1
1
y x =-
-是关于点()1,0对称，而且()2sin 24y x x π=-≤≤也是关于点()1,0对称，那么两个函数的交点也是关于点()1,0对称，所以可以求出横坐标之和． 16．D 【解析】
对于命题1，取()()0f x g x ==，x ∈R ，满足题意； 对于命题2，取()()f x g x x ==，(,0)x ∈-∞，满足题意； 对于命题3，取2()()f x g x x ==-，x ∈R ，满足题意； 即题中所给的三个命题均为真命题，真命题的个数是3. 本题选择D 选项.
17．（1）23
；（2.
【分析】
(1)求出底面面积和对应的高，即可得到所求的体积.
(2)找出异面直线1A F 与CE 所成角，在直角BCE ∆求出即可. 【详解】
(1) 联结111,,,FC O B O C O F ，依据题意可知，三棱锥1O FBC -的高与1AA 的长相等. 因为2BC =，F 是棱AB 的中点，故1BF =. 所以，11112323
O rac V BC BF AA -=
⋅⋅⋅⋅=.
(2) 联结EB ，又E 是棱11A B 的中点，11A E BF ==且1∥A E BF ， 所以四边形1A EBF 为平行四边形，故1//BE A F .
于是，BEC ∠就是异面直线1A F 与CE 所成的角(或补角)，
由正方体1111ABCD A B C D -可得BC BE ⊥,则BCE ∆为直角三角形，
可求得
BE =
=tan 5BEC ∠=
=.
所以，异面直线1A F 与CE 所成的角的大小是arctan 5
. 【点睛】
本题主要考查的是棱锥的体积及异面直线所成角，解题的关键是找出体的高以及异面直线所成的角.是基础题.
18．（1）2；（2）[)8,+∞. 【分析】
（1）求得不等式f （x ）＜6的解集为a ﹣3≤x ≤3，再根据不等式f （x ）＜6的解集为（﹣1，3），可得a ﹣3＝﹣1，由此求得a 的范围；
（2）令g （x ）＝f （x ）+f （﹣x ）＝|2x ﹣2|+|2x +2|+4，求出g （x ）的最小值，可得t 的范围． 【详解】
（1）∵函数f （x ）＝|2x ﹣a |+a ， 不等式f （x ）＜6的解集为（﹣1，3），
∴|2x ﹣a |＜6﹣a 的解集为（﹣1，3），
由|2x ﹣a |＜6﹣a ，可得a ﹣6＜2x +a ＜6﹣a ，求得a ﹣3≤x ≤3， 故有a ﹣3＝﹣1，a ＝2．
（2）在（1）的条件下，f （x ）＝|2x ﹣2|+2，
令g （x ）＝f （x ）+f （﹣x ）＝|2x ﹣2|+|2x +2|+4＝44,1
8,
1144,1x x x x x --⎧⎪
-<<⎨⎪+⎩
故g （x ）的最小值为8，
故使f （x ）≤t ﹣f （﹣x ）有解的实数t 的范围为[8，+∞）． 【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法，分段函数的应用，求函数的最小值，函数的能成立问题，属于中档题．
19．（1
）2+；（2）1222万元 【分析】
（1）由P 为于BAC ∠的角平分线上，利用几何关系，分别表示||PQ ，||PR ，||RQ ，即可 求得三条街道的总长度；（2）设PAB θ∠=，060θ<<︒，根据三角函数关系及余弦定理，即可求得||PQ ，||PR ，||RQ ，则总效益||300||200||400W PQ PR RQ =⨯+⨯+⨯，利用辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得答案． 【详解】
（1）由P 位于弧BC 的中点，在P 位于BAC ∠的角平分线上， 则1
||||||sin 2sin30212
PQ PR PA PAB ==∠=⨯︒=⨯
=，
||||cos 2AQ PA PAB =∠==， 由60BAC ∠=︒，且||||AQ AR =， QAB ∴∆为等边三角形，
则||||RQ AQ ==
三条街道的总长度||||||112l PQ PR RQ =++=++= （2）设PAB θ∠=，060θ<<︒，
则||||sin 2sin PQ AP θθ==，||||sin(60)2sin(60)sin PR AP θθθθ=︒-=︒-=-，
||||cos 2cos AQ AP θθ==，||||cos(60)2cos(60)cos AR AP θθθθ=︒-=︒-=+
由余弦定理可知：222||||||2||||cos60RQ AQ AR AQ AR =+-︒，
22(2cos )(cos )22cos (cos )cos60θθθθθθ=+-⨯+︒，
3=，
则||RQ =
三条街道每年能产生的经济总效益W ，||300||200||400W PQ PR RQ =⨯+⨯+⨯
3002sin sin )200400sin θθθθθ=⨯+-⨯+=++，
200(2sin )θθ=+
)θϕ=++tan ϕ=
当sin()1θϕ+=时，W 取最大值，最大值为1222， 三条街道每年能产生的经济总效益最高约为1222万元． 【点睛】
本题考查三角函数的综合应用，考查余弦定理，正弦函数图象及性质，辅助角公式，考查计算能力，属于中档题． 20．（1）见解析（2）2[24,),2,()[2,), 2.
a a g a a a -+∞≤⎧=⎨--+∞>⎩（3）1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． 【解析】
试题分析：（1）判断定义域是否关于原点对称，计算()f x -判断其与()f x 的关系； （2）令22x x t -+=，故2t ≥，换元得()2
22222y t at t a a =--=---，转化为二次函数，分类讨论求其最值即可；（3））由()2
1x
mf x m -≤+-，得()121x
m f x -⎡⎤-≤-⎣⎦
，即()22121121221212x x x
x x x x
m f x ------≤==-+-+-恒成立，求其最值即可.
试题解析：
（1）函数()f x 的定义域为R ，对任意x R ∈，()()2
2x
x f x f x --=+=，
所以，函数()f x 是偶函数．
（2）()(
)
()
2
2222222222222x x x x x x
x x y a a ----=+-+=+-+-，
令22x x t -+=，因为0x ≥，所以21x ≥，故2t ≥， 原函数可化为222y t at =--，[
)2,t ∈+∞，
()2
22222y t at t a a =--=---图像的对称轴为直线t a =，
当2a ≤时，函数222y t at =--在[)2,t ∈+∞时是增函数，值域为[
)24,a -+∞；
当2a >时，函数2
22y t at =--在[
]2,t a ∈时是减函数，在[
),t a ∈+∞时是增函数，值
域为)
2
2,a ⎡--+∞⎣．
综上，()[))
2
24,,2,2,, 2.
a a g a a a ⎧-+∞≤⎪=⎨⎡--+∞>⎪⎣⎩ （3）由()2
1x
mf x m -≤+-，得()121x
m f x -⎡⎤-≤-⎣⎦，
当0x >时，21x >，所以()22
2x
x
f x -=+>，所以()110f x ->>，
所以，()22121121221212x x x x x x x
m f x ------≤==-+-+-恒成立．
令12x t =-，则0t <，()222121
1212111x x x t t t t t t t t
-===
+--+-++-，
由0t <，得12t t +≤-，所以113t t
+-≤-，11
131t t
-≤<+-． 所以，13m ≤-
，即m 的取值范围为1,3⎛
⎤-∞- ⎥⎝
⎦．
点睛：换元法可以简化问题，突出问题本质，注意解题时合理使用.在本题中令22x x t -+=，可以使问题转化为二次函数，突出问题本质，从而顺利解决题目.
21．(1) ①③是双底数列，②不是双底数列(2) 1m =- 249100,150
22548,50n n n n n S n n -⎧-≤≤=⎨-+>⎩
（3）
存在整数1k =-或3k =-，使得数列{}n a 为双底数列
【解析】
试题分析：（1）根据双底数列的定义可判定①③是双底数列，②不是双底数列；（2）由双底数列定义可知5051a a =，解得1m =-， 当150n ≤≤时，数列成等差，
()
29910121002
n n n S n n +-=
=-，当50n >时，
()()
()
22501005050212121n n S -=⨯-+-+-+
+-，从而可得结果；（3）
()119931010n
n n a a k kn +⎛⎫
-=-- ⎪⎝⎭
， 若数列{}n a 是双底数列，
则93k kn -=有解（否则不是双底数列），即 3
9n k
-
=，该方程共有四组解，分别验证是否为双底数列即可得结果. 试题解析：（1）①③是双底数列，②不是双底数列； （2）数列{}n a 当150n ≤≤时递减，当50n >时递增， 由双底数列定义可知5051a a =，解得1m =-， 当150n ≤≤时，数列成等差，()
29910121002
n n n S n n +-=
=-，
当50n >时，()()
()
2
2
501005*********n n S -=⨯-+-+-+
+- 4922548n n -=-+，
综上，249
100,150
22548,50n n n n n S n n -⎧-≤≤=⎨-+>⎩
. （3）()()1
199331010n n
n n a a kn k kn ++⎛⎫⎛⎫
-=++-+ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，
()()93931010n kn k kn ⎛⎫++⎛⎫=-+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()19931010n
k kn ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
， 若数列{}n a 是双底数列，则93k kn -=有解（否则不是双底数列）， 即 3
9n k
-
=， 得16k n =⎧⎨=⎩或38k n =⎧⎨=⎩或112k n =-⎧⎨=⎩或310k n =-⎧⎨=⎩
故当1k =时，()13961010n
n n a a n +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
，
当15n ≤≤时，1n n a a +>；当6n =时，1n n a a +=；当7n ≥时，1n n a a +<； 从而 12345678a a a a a a a a <<<= ，数列{}n a 不是双底数列；
同理可得：
当3k =时，12891011
a a a a a a = ，数列{}n a 不是双底数列；
当1k =-时，1212131415a a a a a a >>>=<<< ，数列{}n a 是双底数列； 当3k =-时，1210111213a a a a a a >>
>=<<<
，数列{}n a 是双底数列；
综上，存在整数1k =-或3k =-，使得数列{}n a 为双底数列.
【方法点睛】本题考查数列的通项公式及求和公式、新定义问题的应用，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义双底数列达到考查数列性质的目的.。