北师大版高中数学必修5练习-三角形中的几何计算

[练案14]
A 级 基础巩固
一、选择题
1．在△ABC 中，若a <b <c ，且c 2<a 2＋b 2，则△ABC 为( B )
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．不存在
[解析] ∵a <b <c ，且c 2<a 2＋b 2，∴∠C 为锐角．
又∵∠C 为最大角．故选B ．
2．已知三角形ABC 的面积为3，且b ＝2，c ＝2，则角A 等于( D )
A ．30°
B ．30°或150°
C ．60°
D ．60°或120°
[解析] ∵S △ABC ＝3，∴12
bc sin A ＝ 3. 即12×2×2×sin A ＝3，∴sin A ＝32
. ∴A ＝60°或120°.
3．在△ABC 中，A ＝π3，AB ＝2，S △ABC ＝32
，则BC 的长为( C ) A ．7
B ．7
C ．3
D ．3 [解析] ∵S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×2×AC ×32＝32
，∴AC ＝1. 则BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝22＋12－2×2×1×12
＝3， ∴BC ＝3，故选C ．
4．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为
( A )
A ．2
B ．－2
C ．4
D ．－4
[解析] 由题意，得S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝12
×4×1×sin A ＝3， ∴sin A ＝32，又∵A ∈(0，π2
)， ∴cos A ＝12
. ∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝4×1×12
＝2.
5．在△ABC 中，lg a －lg b ＝lgsin B ＝－lg 2，∠B 为锐角，则∠A 的值是( A ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
[解析] 由题意得a b ＝sin B ＝22
，又∵∠B 为锐角， ∴B ＝45°，又a b ＝sin A sin B ＝22，sin A ＝sin B ×22＝12
， ∴∠A ＝30°.
6．在△ABC 中，周长为7.5 cm ，且sin A ﹕sin B ﹕sin C ＝4﹕5﹕6，下列结论： ①a ﹕b ﹕c ＝4﹕5﹕6
②a ﹕b ﹕c ＝2﹕5﹕ 6
③a ＝2 cm ，b ＝2.5 cm ，c ＝3 cm
④A ﹕B ﹕C ＝4﹕5﹕6
其中成立的个数是( C )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
[解析] 由正弦定理知a ﹕b ﹕c ＝4﹕5﹕6，故①对，②错，④错；结合a ＋b ＋c ＝7.5，知a ＝2，b ＝2.5，c ＝3，∴③对，∴选C ．
二、填空题
7．有一三角形的两边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角α的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是6cm 2.
[解析] 解方程 5x 2－7x －6＝0，得x ＝2或x ＝－35
， ∵|cos α|≤1，∴cos α＝－35，sin α＝45
. 故S △＝12×3×5×45
＝6(cm 2)． 8．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于 2.
[解析] 在△ABC 中，由余弦定理得：
cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22·AC ·BC ＝4＋12－42×2×23＝32
， ∴∠C ＝30°.
在△ADC 中由正弦定理，得：AD sin C ＝AC sin ∠ADC
， ∴AD 12＝222
.故AD ＝ 2. 三、解答题
9．四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3, CD ＝DA ＝2.
(1)求C 和BD ；
(2)求四边形ABCD 的面积．
[解析] (1)由题设及余弦定理得
BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C
＝13－12cos C ． ①
BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A
＝5＋4cos C ． ②
由①，②得cos C ＝12
，故C ＝60°，BD ＝7. (2)四边形ABCD 的面积
S ＝12AB ·DA sin A ＋12
BC ·CD sin C ＝(12×1×2＋12×3×2)sin60°＝2 3. 10．已知a 、b 、c 分别为△ABC 内角A 、B 、C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C ．
(1)若a ＝b ，求cos B ；
(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．
[解析] (1)由题设及正弦定理，得b 2＝2ac .
又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c .
由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14
. (2)由(1)知b 2＝2ac .
因为B ＝90°，由勾股定理，得a 2＋c 2＝b 2.
故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝ 2.
所以△ABC 的面积为12
×2×2＝1. B 级 素养提升
一、选择题
1．已知锐角三角形的边长分别为1,3，a ，则a 的取值范围是( B )
A ．(8,10)
B ．(22，10)
C ．(22，10)
D ．(10，8)
[解析] 若a 是最大边，则⎩
⎪⎨⎪⎧ 1＋3>a 12＋32>a 2，∴3≤a <10. 若3是最大边，则⎩⎪⎨⎪⎧
1＋a >312＋a 2>32， ∴3>a >22，∴22<a <10.
2．在△ABC 中，若sin A ﹕sin B ﹕sin C ＝k ﹕(k ＋1)﹕2k ，则k 的取值范围是( D )
A ．(2，＋∞)
B ．(－∞，0)
C ．(－12，0)
D ．(12
，＋∞) [解析] 由正弦定理知a ﹕b ﹕c ＝sin A ﹕sin B ﹕sin C ＝k ﹕(k ＋1)﹕2k ，又因为三角形两边之和大于第三边，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋(k ＋1)>2k (k ＋1)＋2k >k
k ＋2k >k ＋1，所以k >12
，故选D ． 3．在△ABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，△ABC 的面积为3，则a sin A
为( B ) A ．8381
B ．2393
C ．2633
D ．27
[解析] 由12
bc sin A ＝3得c ＝4. 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，故a ＝13.
所以a sin A ＝1332
＝2393，选B ． 4．在△ABC 中，已知a ＝x ，b ＝2，B ＝60°，如果△ABC 有两解，则x 的取值范围是( C )
A ．x >2
B ．x <2
C ．2<x <433
D ．2<x ≤433 [解析] 欲使△ABC 有两解，须a sin60°<b <a .
即32x <2<x ，∴2<x <433
. 二、填空题
5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC 边上的高为32a ，则c b
＋b c 取得最大值时，内角A 的值为π6. [解析] 在△ABC 中，由题意得： 12×32a ×a ＝12×bc sin A ⇒32
a 2＝bc sin A ． 由余弦定理得：
a 2＝
23bc sin A ＝b 2＋c 2－2bc cos A ． 所以23
sin A ＋2cos A ＝b c ＋c b ， 即b c ＋c b ＝23(sin A ＋3cos A )＝43
sin(A ＋π3)， 所以当A ＝π6时，c b ＋b c
取得最大值． 故答案为π6
. 6．(2018·全国卷Ⅰ文，16)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为
233
. [解析] 根据正弦定理有：
sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C ，
所以2sin B sin C ＝4sin A sin B sin C ，
因为B ，C ∈(0，π)，
所以sin B ≠0，sin C ≠0，
所以sin A ＝12
.因为b 2＋c 2－a 2＝8， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4bc ＝32
， 所以bc ＝833，所以S ＝12bc sin A ＝233
. 三、解答题
7．如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.
(1)求cos ∠CAD 的值；
(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216
，求BC 的长． [解析] (1)由△DAC 关于∠CAD 的余弦定理可得
cos ∠CAD ＝AD 2＋AC 2－DC 22AD ·AC ＝1＋7－42×1×7
＝277， 所以cos ∠CAD ＝277
. (2)因为∠BAD 为四边形内角，所以sin ∠BAD >0且sin ∠CAD >0，则由正余弦的关系可得
sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝
18914且sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝217
， 再有正弦的和差角公式可得
sin ∠BAC ＝sin(∠BAD －∠CAD )
＝sin ∠BAD cos ∠CAD －sin ∠CAD cos ∠BAD
＝18914×277－217×(－714)＝337＋314＝32， 再由△ABC 的正弦定理可得
AC sin ∠CBA ＝BC sin ∠BAC ⇒BC ＝7(216
)×32＝3. 8．在△ABC 中，C －A ＝π2，sin B ＝13
. (1)求sin A 的值；
(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．
[解析] (1)由C －A ＝π2
和A ＋B ＋C ＝π， 得2A ＝π2－B,0<A <π4
.∴cos2A ＝sin B ， 即1－2sin 2A ＝13，∴sin A ＝33
. (2)由(1)得cos A ＝63.又由正弦定理，得BC sin A ＝AC sin B ， ∴BC ＝AC sin A sin B ＝6×
3313＝3 2. ∵C －A ＝π2，∴C ＝π2
＋A ， ∴sin C ＝sin(π2＋A )＝cos A ＝63
，
∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12×6×32×63＝3 2.。