三角函数章节复习检测
高一数学三角函数章节测试卷(含详解)
高一三角函数章节测试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分）1. 将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是( ) A. π3B. −π3C. π6D. −π62. 《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为π4米，整个肩宽约为π8米.“弓”所在圆的半径约为1.25米.则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：√2≈1.414;√3≈1.732) ( )A. 1.612米B. 1.768米C. 1.868米D. 2.045米3. 已知θ是第四象限角，M (1,m )为其终边上一点，且sinθ=√55m ，则2sinθ−cosθsinθ+cosθ的值( ) A. 0B. 45C. 43D. 54. sin15∘cos75∘−cos15∘sin105∘=( ) A. −12B. 12C. −√32D. √325. 终边为一、三象限角平分线的角的集合是( ) A. {α|α=2kπ+π4,k ∈Z} B. {α|α=kπ+π2,k ∈Z} C. {α|α=2kπ+π2,k ∈Z}D. {α|α=kπ+π4,k ∈Z}6. 已知4sin α−2cos α5cos α+3sin α=57，则sinα⋅cosα的值为( ) A. −103B. 103C. −310D. 3107. 设a =cos π12,b =sin 41π6,c =cos 7π4，则( )A. a >c >bB. c >b >aC. c >a >bD. b >c >a8. 为了得到函数y =4sinxcosx ，x ∈R 的图象，只要把函数y =√3sin2x +cos2x ，x ∈R 图象上所有的点( )A. 向左平移π12个单位长度 B. 向右平移π12个单位长度 C. 向左平移π6个单位长度D. 向右平移π6个单位长度二、多选题（本大题共4小题，共20分）9. 下列化简结果正确的是( ) A. cos22∘sin52∘−sin22∘cos52∘=12B. sin15∘sin30∘sin75∘=14C. cos15∘−sin15∘=√22D. tan24∘+tan36∘1−tan24∘tan36∘=√310. 对于函数f (x )=sinx +cosx ，下列说法正确的有( ) A. 2π是一个周期B. 关于(π2,0)对称 C. 在[0,π2]上的值域为[1,√2]D. 在[π4,π]上递增11. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的说法正确的是( )A. g(x)的最小正周期为2π3 B. g(x)在区间[π9,π3]上单调递增 C. g(x)的图象关于直线x =4π9对称 D. g(x)的图象关于点(π9,0)成中心对称12. 绍兴市柯桥区棠棣村是浙江省美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景．假设水轮半径为4米(如图所示)，水轮中心O 距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P 从水中浮现时(图中P 0)开始计时，则( )A. 点P 第一次达到最高点，需要20秒B. 当水轮转动155秒时，点P 距离水面2米C. 在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P 距水面超过2米D. 点P 距离水面的高度ℎ(米)与t(秒)的函数解析式为ℎ=4sin (π30t −π6)+2三、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 函数f (x )=tan (πx −π4)的定义域为______．14. 要得到函数y =cos (x 2−π4)的图象，只需将y =sin x2的图象向左平移 个单位；15.1sin10∘−√3sin80∘的值为16. 已知cosα=13，且−π2<α<0，则cos (−α−π)sin (2π+α)tan (2π−α)sin (3π2−α)cos (π2+α)= ．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17. (本小题10分)已知sin x 2−2cos x2=0．(1)求tanx 的值；(2)求cos2xcos(5π4+x)sin(π+x)的值．18. (本小题12分)已知函数f(x)=sin (π4+x)sin (π4−x)+√3sin xcos x ．(1)求f(π6)的值；(2)在△ABC 中，若f(A2)=1，求sinB +sinC 的最大值．19. (本小题12分)设函数f(x)=√32cos x +12sin x +1．(1)求函数f(x)的值域和单调递增区间;(2)当f(α)=95，且π6<α<2π3时，求sin(2α+2π3)的值．20. (本小题12分)已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<2π)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若ℎ(x)=f(x)⋅f(x −π6)，x ∈[0,π4]，求ℎ(x)的取值范围．21. (本小题12分)已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x.(1)求函数y=f(x)周期及其单调递增区间;(2)当x∈[0,π2]时，求y=f(x)的最大值和最小值．22. (本小题12分)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆交点为P(−45,35 )．(1)求cos(α+π4)和sin2α的值；(2)求的值．答案和解析1.解：将时钟拨快10分钟，则分针顺时针转过60°，∴将时钟拨快10分钟，分针转过的弧度数是−π3．故选B ．2.解：由题得：弓所在的弧长为：l =π4+π4+π8=5π8；所以其所对的圆心角α=5π854=π2；∴两手之间的距离d =2Rsin π4=√2×1.25≈1.768．故选B ．3.解：∵θ是第四象限角，M(1,m)为其终边上一点，则有m <0，∴|OM|=√1+m 2，则sin θ=√1+m2=√55m ，即m =−2，∴tanθ=−2，则2sinθ−cosθsinθ+cosθ=2tanθ−1tanθ+1=−4−1−1=5．故选D ． 4.解：sin15∘cos75∘−cos15∘sin105∘=sin15°cos75°−cos15°sin75°=sin (15°−75°)=−sin60°=−√32．故选C ．5.解：设角的终边在第一象限和第三象限角的平分线上的角为α，当角的终边在第一象限角的平分线上时，则α=2kπ+π4，k ∈Z ，当角的终边在第三象限角的平分线上时，则α=2kπ+5π4，k ∈Z ，综上，α=2kπ+π4，k ∈Z 或α=2kπ+5π4，k ∈Z ，即α=kπ+π4，k ∈Z ，终边在一、三象限角平分线的角的集合是：{α|α=kπ+π4,k ∈Z }．故选D ．6.解：由4sinα−2cosα5cosα+3sinα=57，得4tanα−25+3tanα=57，解得tanα=3，∴sinα⋅cosα=sinα⋅cosαsin 2α+cos 2α=tanα1+tan 2α=31+32=310．故选D ．7.解：b =sin41π6=sin(6π+5π6)=sin5π6=sinπ6=cosπ3,c =cos7π4=cosπ4，因为 π 2> π 3> π 4> π 12>0，且y =cos x 在(0,π2)是减函数，所以cosπ12>cosπ4>cosπ3，即a >c >b ．故选A ．8.因为y =4sinxcosx =2sin2x ，y =√3sin2x +cos2x =2sin (2x +π6)=2sin2(x +π12)，所以为了得到函数y =4sinxcosx ，x ∈R 的图象，只要把函数y =√3sin2x +cos2x ，x ∈R 图象上所有的点向右平移π12个单位长度即可，故选：B9.解：A 中，cos 22∘sin 52∘−sin 22∘cos 52∘=sin30°=12，则A 正确，B 中，sin15°sin30°sin75°=sin15°sin30°sin (90°−15°)=sin15°cos15°sin30°=12sin30°sin30°=18，则B 错误，C 中，cos 15∘−sin 15∘=√2cos(45°+15°)=√22，则C 正确；D 中，tan 24∘+tan 36∘1−tan 24∘tan 36∘=tan60°=√3，则D 正确．故选ACD ．10.解：因为函数f (x )=sinx +cosx =√2sin (x +π4)，故它的一个周期为2π，故A 正确；令x =π2，得f (x )=√2sin (π2+π4)=√2sin 3π4=1，所以函数f (x )不关于(π2,0)对称，故B 不正确；当0≤x ≤π2时，π4≤x +π4≤3π4，所以√2×√22≤√2sin (x +π4)≤√2×1，即f (x )的值域为[1,√2]，故C 正确；当π4≤x ≤π时，π2≤x +π4≤5π4，所以函数f (x )在[π4,π]上单调递减，故D 不正确．11.解：根据函数的图象：周期12T =5π12−(−π12)=π2，解得T =π，故ω=2．由图可得A =2，当x =5π12时，f(5π12)=2sin(5π6+φ)=−2，即5π6+φ=3π2+2kπ，k ∈Z ，由于|φ|<π，所以φ=2π3，所以f(x)=2sin(2x +2π3)，函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，得到函数y =2sin(3x +2π3)的图象，再将所得函数图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)=2sin(3x +π6)的图象， 故对于A ：函数g(x)的最小正周期为T =2π3，故A 正确；对于B ：由于x ∈[π9,π3]，所以3x +π6∈[π2,7π6]， 故函数g(x)在区间[π9,π3]上单调递减，故B 错误；对于C ：当x =4π9时，g(4π9)=2sin(4π3+π6)=−2， 故函数g(x)的图象关于直线x =4π9对称，故C 正确；对于D ：当x =π9时，g(π9)=2，故D 错误． 故选：AC ．12.解：设点P 距离水面的高度为ℎ(米)和t(秒)的函数解析式为ℎ=Asin(ωt +φ)+B(A >0,ω>0,|φ|<π2)，由题意，ℎmax =6，ℎmin =−2，∴{A +B =6−A +B =−2，解得{A =4B =2，∵T =2πω=60，∴ω=2πT =π30，则ℎ=4sin(π30t +φ)+2．当t =0时，ℎ=0，∴4sinφ+2=0，则sinφ=−12，又∵|φ|<π2，∴φ=−π6．ℎ=4sin(π30t −π6)+2，故D 正确；令ℎ=4sin(π30t −π6)+2=6，0⩽t ⩽60，∴sin(π30t −π6)=1，得t =20秒，故A 正确； 当t =155秒时，ℎ=4sin(π30×155−π6)+2=4sin5π+2=2，故B 正确； 4sin(π30×t −π6)+2>2，令0<π30×t −π6<π，解得5<t <35，故有30秒的时间，点P 距水面超过2米，故C 错误．故选：ABD ．13.解：由πx −π4≠π2+kπ，k ∈Z ，可得x ≠k +34,k ∈Z ，即定义域为{x|x ≠k +34,k ∈Z}．故答案为{x|x ≠k +34,k ∈Z}．14.解：将函数y =sin x 2的图象上所有点向左平移π2个单位纵坐标不变，可得函数y =sin 12(x +π2)=sin(x 2+π4)=cos(π4−x 2)=cos(x 2−π4)的图象．故答案为： π2．15.解：原式=1sin10∘−√3cos10∘=cos10∘−√3sin10∘sin10∘cos10∘=4(12cos10∘−√32sin10∘)2sin10∘cos10∘=4cos(60∘+10∘)sin20∘=4cos70∘sin20∘=4sin20∘sin20∘=4，故答案为4．16.解：cos(−α−π)sin(2π+α)tan(2π−α)sin(3π2−α)cos(π2+α)=(−cosα)sinα(−tanα)(−cosα)(−sinα)=tanα，∵cosα=13，且−π2<α<0，∴sinα=−2√23，则原式=tanα=sinαcosα=−2√2．故答案为−2√2． 17.解：(1)∵f(x)=sin (π 4+x)sin (π 4−x)+√3sin xcos x=sin (π4+x)sin [π2−(π4+x)]+√3sinxcosx =sin (π4+x)cos (π4+x)+√3sinxcosx =12cos2x +√32sin2x =sin (2x +π6)，∴f (π6)=sin (2×π6+π6)=1． (2)由f (A2)=sin (A +π6)=1，而0<A <π，可得A +π6=π2，即A =π3， ∴sinB +sinC =sinB +sin (2π3−B)=32sinB +√32cosB =√3sin (B +π6)， ∵0<B <2π3，∴π6<B +π6<5π6，12<sin (B +π6)≤1，则√32<√3sin (B +π6)≤√3，故当B =π3时，sinB +sinC 取最大值，最大值为√3． 19.【答案】解：(1)由图象有A =√3，最小正周期T =43(7π12+π6)=π，所以ω=2πT=2，所以f(x)=√3sin(2x +φ)．由f (7π12)=−√3，得2·7π12+φ=3π2+2kπ，k ∈Z ，所以φ=π3+2kπ，k ∈Z ．又因为0<φ<2π，所以φ=π3.所以 f(x)=√3sin(2x +π3) ．(2)由(1)可知f(x)=√3sin (2x +π3)，ℎ(x)=f(x)⋅f(x −π6)=√3sin (2x +π3)×√3sin2x =3sin2x(12sin2x +√32cos2x)=32sin 22x +3√32sin2xcos2x =32·1−cos4x 2+3√34sin4x =32sin(4x −π6)+34．因为x ∈[0,π4]，所以4x −π6∈[−π6,5π6]，所以sin(4x −π6)∈[−12,1]，所以ℎ(x)的取值范围为[0,94]. 20.解：(1)因为f(x)=(sinx +cosx)2+2cos 2x =2+sin2x +cos2x =√2sin(2x +π4)+2所以f(x)=√2sin(2x +π4)+2；所以f(x)的最小正周期为2π2=π；令−π2+2kπ≤2x +π4≤π2+2kπ，k ∈Z ，所以−3π8+kπ≤x ≤π8+kπ，k ∈Z 所以f(x)的单调递增区间为[−3π8+kπ,π8+kπ]k ∈Z;(2)因为x ∈[0,π2]，所以2x +π4∈[π4,5π4]，所以sin(2x +π4)∈[−√22,1]所以f(x)∈[1,2+√2]，所以f(x)的最大值为2+√2，最小值为1．21.解：(1)由sin x 2−2cos x2=0，知cosx2≠0，∴tanx 2=2，∴tanx =2tan x21−tan 2x2=2×21−4=−43． (2)由(1)，知tanx =−43，∴cos2x cos(5π4+x)sin(π+x)=cos2x −cos(π4+x)(−sinx)=22(√22cos x−√22sin x)sin x=√22(cos x−sin x)sin x=√2×cos x+sin x sin x=√2×1+tan xtan x =√24． 22.解：(1)由题意，|OP|=1，则sinα=35，cosα=−45，∴cos(α+π4)=cosαcos π4−sinαsin π4=−45×√22−35×√22=−7√210，sin2α=2sinαcosα=2×35×(−45)=−2425．(2)由(1)知，tanα=sinαcosα=−34，则3sin (π−α)−2cos (−α)5cos (2π−α)+3sin α=3sinα−2cosα5cosα+3sinα=3tanα−25+3tanα=3×(−34)−25+3×(−34)=−1711．。
三角函数章末检测卷(一)(含答案解析)
三角函数章末检测卷（一）(时间：100分钟，满分100分)一、选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由tan α＜0，cos α＜0， ∴角α的终边在第二象限．2．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 15°的值为( ) A ．－32B ．32 C ．－12D ．12解析：选D sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 15°＝sin 45°cos 15°＋cos(180°＋45°)sin 15°＝sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.3．已知角A 为△ABC 的内角，cos A ＝－45，则sin 2A ＝( )A ．－2425B ．－1225C ．1225D ．2425解析：选A ∵角A 为△ABC 的内角，∴0＜A ＜π， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝35， ∴sin 2A ＝2sin A cos A ＝2×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－2425. 4．方程log 2x ＋log 2(x －1)＝1的解集为M ，方程22x ＋1－9·2x ＋4＝0的解集为N ，那么M 与N 的关系是( )A ．M ＝NB ．MNC ．NMD ．M ∩N ＝∅解析：选B 因为log 2x ＋log 2(x －1)＝1，即log 2[x (x －1)]＝log 22，所以x (x －1)＝2，解得x ＝2或x ＝－1.又x ＞1，所以x ＝2，即M ＝{2}.22x ＋1－9·2x ＋4＝0，即2·(2x )2－9·2x ＋4＝0，解得2x ＝4或2x ＝12，所以x ＝2或x ＝－1，即N ＝{－1，2}．所以MN ，故选B.5．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )解析：选D 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A 、B ；当x ＝π时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1πcos π＝1π－π<0，排除选项C ，故选D. 6．如果指数函数f (x )＝(a －1)x 是R 上的单调减函数，那么a 的取值范围是( ) A ．a ＜2 B ．a ＞2 C ．1＜a ＜2D ．0＜a ＜1解析：选C 由题意知0＜a －1＜1，即1＜a ＜2. 7．函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是减函数的区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤2k π＋π，2k π＋3π2(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤2k π＋3π2，2k π＋2π(k ∈Z )解析：选A 由y ＝sin x 是减函数得2k π＋π2≤x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，由y ＝cos x 是减函数得2k π≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，所以2k π＋π2≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，故选A.8．如果角θ的终边经过点⎝⎛⎭⎫－35，45，那么sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＋cos(π－θ)＋tan(2π－θ)＝( ) A ．－43B ．43C ．34D ．－34解析：选B 易知sin θ ＝45，cos θ＝－35，tan θ＝－43.原式＝cos θ－cos θ－tan θ＝43. 9．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |＋1的值域是( )A ．(0，＋∞)B ．⎝⎛⎦⎤0，12 C ．(－∞，2]D ．⎣⎡⎦⎤12，2解析：选B |x |＋1≥1，又y ＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |＋1的值域为⎝⎛⎦⎤0，12. 10．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2(3π＋α)＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )A.22B.33C. 2D. 3解析：选D ∵sin 2(3π＋α)＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋(cos 2α－sin 2α)＝14，即cos 2α＝14.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝12，则α＝π3，∴tan α＝tan π3＝ 3.11．函数y ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x －34π是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选A 因为y ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x －34π＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －34π＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －32π＝－sin 2x ，所以该函数为奇函数，且其最小正周期为π.12．sin 600°＋tan 240°的值等于( ) A ．－32 B.32C ．－12＋ 3 D.12＋ 3解析：选B sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32， tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝3， 因此sin 600°＋tan 240°＝32. 13．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20解析：选C 将y ＝sin x 的图象向右平移π10个单位长度得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10的图象．14．已知f (x )＝－x 3－x ，x ∈[m ，n ]，且f (m )f (n )＜0，则f (x )在[m ，n ]上( ) A ．有三个零点 B ．至少有两个零点 C ．有两个零点D ．有且只有一个零点解析：选D ∵f (x )在R 上是减函数，且f (m )f (n )＜0，∴f (x )在[m ，n ]上有且只有一个零点．15．已知A ＋B ＝π3，则tan A ＋tan B ＋3tan A tan B －3＝( )A ．－2 3B ．2 3C ．0D ．1－ 3解析：选C ∵tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＝3(1－tan A tan B )，∴tan A ＋tan B ＋3tan A tan B －3＝0.16．函数f (x )＝ax 2－2x ＋3在区间[1，3]上为增函数的充要条件是( ) A ．a ＝0B ．a ＜0C ．0＜a ≤13D ．a ≥1解析：选D 当a ＝0时，f (x )为减函数，不符合题意；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－2x＋3图象的对称轴方程为x ＝1a，要使f (x )在区间[1，3]上为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1a ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1a ≤1，解得a ≥1.故选D.17．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π3＋x ＝f (－x )，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝( )A ．2或0B ．0C ．－2或0D ．－2或2解析：选D 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f (－x )得直线x ＝π3＋02＝π6是f (x )图象的一条对称轴，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2，故选D.18．函数y ＝sin x2的图象沿x 轴向左平移π个单位长度后得到函数的图象的一个对称中心是( )A ．(0，0)B ．(π，0)C ．⎝⎛⎭⎫π2，0D ．⎝⎛⎭⎫－π2，0解析：选B 函数y ＝sin x2的图象沿x 轴向左平移π个单位长度后得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12（x ＋π）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π2＝cos 12x 的图象，它的一个对称中心是(π，0)． 19．若1＋sin αcos α－cos 2αcos 2α＝2，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－2α＝( )A ．－717B ．717 C ．512D ．－512解析：选A 因为1＋sin αcos α－cos 2αcos 2α＝2，所以sin 2α＋sin αcos αcos 2α－sin 2α＝2，即sin αcos α－sin α＝tan α1－tan α＝2，所以tan α＝23，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×231－⎝⎛⎭⎫232＝125， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2α＝tan π4－tan 2α1＋tan π4tan 2α＝1－1251＋125＝－717，故选A.20．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，ω>0的图象在y 轴右侧的第一个最高点为P ⎝⎛⎭⎫π6，1，在原点右侧与x 轴的第一个交点为Q ⎝⎛⎭⎫5π12，0，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值为( ) A ．1 B.22 C.12 D.32 解析：选C 由题意，得T 4＝5π12－π6，所以T ＝π，所以ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1的坐标代入f (x )＝sin(2x ＋φ)，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，所以φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又|φ|<π2，所以φ＝π6，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6(x ∈R )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＝sin 5π6＝12，选C.二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填写在题中的横线上) 21．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan(3π＋2θ)＝________．解析：由同角三角函数的基本关系式，得tan θ＝－32，从而tan(3π＋2θ)＝tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×⎝⎛⎭⎫－321－⎝⎛⎭⎫－322＝125. 答案：12522．方程log 3(1＋2·3x )＝x ＋1的解为________．解析：由方程log 3(1＋2·3x )＝x ＋1可得1＋2·3x ＝3x ＋1，化简可得3x ＝1，故x ＝0.答案：x ＝023．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4，x ∈R 的单调增区间是________． 解析：令－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，解得2k π3－π4≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z.答案：⎣⎡⎦⎤2k π3－π4，π12＋2k π3(k ∈Z )24．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12（－x ），x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________________．解析：由f (a )＞f (－a )得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12（－a ）＞log 2（－a ），即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2（－a ）＞log 2（－a ）.解得a ＞1或－1＜a ＜0. 答案：(－1，0)∪(1，＋∞) 25．已知tan αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－23，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值是________．解析：法一：由tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan αtan α＋11－tan α＝tan α（1－tan α）tan α＋1＝－23，解得tan α＝2或－13. sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22(sin 2α＋cos 2α)＝22(2sin αcos α＋2cos 2α－1) ＝2(sin αcos α＋cos 2α)－22＝2·sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α－22＝2·tan α＋1tan 2α＋1－22， 将tan α＝2和－13分别代入得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝210.法二：∵tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23，∴sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23cos αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4.①又sin π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin α＝22，②由①②，解得sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－25，cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3210.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210.答案：210三、解答题(本大题共3小题，共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)26．(本小题满分8分)已知sin α＝35，且α为第二象限角．(1)求sin 2α的值；(2)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值． 解：(1)因为sin α＝35，且α为第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，故sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－2425. (2)由(1)知tan α＝sin αcos α＝－34，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝1－341＋34＝17.27．(本小题满分8分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π16上的最小值．解：(1)f (x )＝sin(π－ωx )cosωx ＋cos 2ωx ＝sinωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx 2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋12. ∵ω＞0，依题意得2π2ω＝π，∴ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12. 由题意，知g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12. 当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2， ∴22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1，∴1≤g (x )≤1＋22. 故函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1.28．(本小题满分9分)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－（4a ＋1）x －8a ＋4，x ＜1，log ax ，x ≥1.(1)当a ＝12时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝12时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ＜1，log 12x ，x ≥1.当x ＜1时，f (x )＝x 2－3x 是减函数， 所以f (x )＞f (1)＝－2；当x ≥1时，f (x )＝log 12x 是减函数，所以f (x )≤f (1)＝0， 综上，函数f (x )的值域是R .(2)若函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则⎩⎨⎧4a ＋12≥1，0＜a ＜1，12－（4a ＋1）－8a ＋4≥log a1.解得14≤a ≤13，故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤14，13.。
第5章三角函数 基础检测-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册章节复习解析版
第五章三角函数基础检测题一、单选题1．计算5πtan 4的结果是（ ）A ．1-B ．CD ．12．将函数sin y x =的图象向右平移π3个单位，所得图象对应的函数表达式是（） A ．πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．πcos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3．函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ）A ．3πB ．πC ．2πD ．2π 4．设命题p ：函数y ＝sin 2ωx 的最小正周期为2π，是真命题，则 ω的值为（）A ．± 2B ．±1C ．2D ．2- 5．下列函数中最小正周期为π的函数的个数（ ）①|sin |y x =；②cos(2)3y x π=+；③tan 2y x =A ．0B ．1C ．2D ．3 6．已知扇形的半径为2cm ，面积为28cm ，则扇形圆心角的弧度数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 cos 1x x π≤⎧A ．12B ．12-C ．-1D ．1 8．若函数sin y x =的图象与直线y x =-一个交点的坐标为()00,x y ，则220031cos 2x x π⎛⎫-++= ⎪⎝⎭( ) A ．1- B ．1 C ．±1 D ．无法确定 9．满足πsin 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭12≥的x 的集合是（ ） A ．513|22,1212x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭B ．7|22,1212x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C ．5|22,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭D ．5|22(1),6x k x k k Z πππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ 10．使函数()()sin 2f x x ϕ=+为R 上的奇函数的ϕ值可以是（ ） A ．4π B ．2πC ．πD ．32π 11．函数()cos c 1ln os x f x x x ππ+⎛⎫= ⎪-⎝⎭的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ． 12．关于函数()3sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，有下列命题： ①函数()f x 是奇函数；②函数()f x 的图象关于直线38x π=-对称；③函数()f x 可以表示为3cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭； ④函数()f x 的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 其中正确的命题的个数为（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题 13．已知()π,2πα∈，3tan 4α=-，则cos α=______． 14．已知3tan 4α=，则()()2sin 3cos 3cos sin 22πααππαα-+-=⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________. 15．已知(7)P -是角α终边上一点，则sin()πα-=_________.16．设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[)1,1x ∈-时()242,10cos ,01x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则()4f =______．三、解答题17．已知函数()2sin cos 122f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（2）求函数()f x 的单调减区间.18．已知sin cos 1sin cos 3θθθθ-=+， （1）求tan θ的值；（2）求22sin cos cos ()221sin ππθθπθθ⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+； 19．已知函数()()2sin (0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<最小正周期为π，图象过点4π⎛ ⎝. （1）求函数()f x 解析式（2）求函数()f x 的单调递增区间.20．已知函数()2sin()1(0)6f x x πωω=-->的周期是π.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在[0,]2π上的最值及其对应的x 的值.21．已知函数()()sin 0,0,22f x A x A ωϕωϕππ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）求()f x 的解析式．（2）写出()f x 的递增区间．22．已知函数2()sin 2sin 22333f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1. （Ⅰ）求常数a 的值；（Ⅱ）求出()0f x ≥成立的x 的取值集合.参考答案1．D【分析】由诱导公式求解即可.【详解】5πππtan tan tan 1444π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭ 故选：D2．A【分析】由三角函数图象平移的规律即可得解.【详解】若将函数sin y x =的图象向右平移π3个单位， 所得函数图象对应的函数表达式是sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：A.3．B【分析】根据正弦型函数的周期计算公式，即可得出结果.【详解】 因为sin 2sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以最小正周期为22T ππ==. 故选：B .【点睛】 本题主要考查求正弦型函数的周期，属于基础题型.4．A【分析】根据正弦型函数的周期求解．【详解】 由题意222ππω=，解得2ω=±． 故选：A ．5．C【分析】利用三角函数的性质和周期公式逐个求解即可【详解】解：对于①，由正弦函数的图像和性质可知其周期为π； 对于②，其周期为22T ππ==； 对于③，其周期为2T π=，所以共有2个函数的周期为π，故选：C6．D【分析】设扇形圆心角的弧度数为α，则根据扇形面积公式212S r α=，列出方程求解即可. 【详解】设扇形圆心角的弧度数为α，则根据扇形面积公式212S r α=， 代入可得：2182=22αα=⨯，解得=4α， 故选：D.【点睛】 本题主要考查了扇形的面积公式，考查学生的运算，属于基础题.7．D【分析】根据分段函数的解析式对应求解即可.【详解】 因为441cos 332f π⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4131cos 13332f f π⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以443113322f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：D.【点睛】 本题考查根据分段函数的解析式求函数值，考查三角函数求值问题，属于基础题. 8．B【分析】由已知可得00sin x x =-，代入220031cos 2x x π⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，利用诱导公式化简求值． 【详解】解：由题意，00sin x x =-，2222000031cos 1sin sin 12x x x x π⎛⎫∴-++=-+= ⎪⎝⎭． 故选：B ．【点睛】 本题考查诱导公式的应用，是基础题．9．A【分析】 由πsin 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭12≥，得522,646k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，从而可求出x 的范围 【详解】 解：由πsin 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭12≥，得522,646k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得51322,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 故选：A【点睛】此题考查正弦三角函数不等式的解法，属于基础题 10．C根据奇函数在R 上有定义有(0)0f =，即可求ϕ值.【详解】由()()sin 2f x x ϕ=+为R 上的奇函数知：(0)0f =，∴sin 0ϕ=，即k ϕπ=，k Z ∈；故选：C【点睛】本题考查了奇函数的性质，属于简单题.11．A【分析】根据奇偶性排除C ，D ；根据当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，排除B. 【详解】因为()cos c 1ln os x f x x x ππ+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，0x ≠，()()()()cos 11cos ln ln cos cos x x f x f x x x x x ππππ⎡⎤+-+⎛⎫-===-⎢⎥ ⎪-----⎝⎭⎣⎦， 所以()f x 为奇函数，排除C ，D ； 当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos ln ln10cos x x ππ+⎛⎫>= ⎪-⎝⎭，10x >，所以()0f x >，排除B. 故选：A ．本题考查了奇偶函数图象的对称性，考查了诱导公式、对数函数的单调性，属于基础题. 12．B【分析】 根据函数()3sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的性质，对各个选项逐个分析判断即可得解. 【详解】对①，(0)3sin()042f π==≠，函数()f x 不是奇函数，故①错误； 对②，由()=3sin()3238f ππ--=-，所以函数图象关于直线38x π=-对称，故②正确； 对③，()3sin 2=3sin 23cos 244224f x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故③正确； 对④，由函数=3sin(0)08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以函数的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故④正确， 共有3个正确，故选：B.【点睛】本题考查了三角函数的性质，主要考查了三角函数的对称性，判断过程中主要用了代入验算法，属于简单题.13．45. 【分析】根据同角三角函数的关系，直接计算即可.由()π,2πα∈，且3tan 4α=-， 可知α在第四象限，可取在终边上一点为(4,3)-，由任意角三角函数公式4cos 5x r α==， 故答案为：45. 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系以及计算，在计算正余弦和正切函数互化时，可以利用任意角三角函数终边上的点进行计算，属于简单题.14．1813【分析】根据诱导公式化简后,再根据同角公式弦化切即可得到答案.【详解】 原式2sin 3cos 3sin cos αααα+=+2sin 3cos 3sin 1cos αααα+=+ 2tan 33tan 1αα+=+ 32343314⨯+=⨯+ 1813=. 故答案为:1813【点睛】本题考查了诱导公式,考查了同角公式,属于基础题.15【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得sin 4α=，进而利用诱导公式求出sin()πα-的值． 【详解】∵(P -是角α终边上一点，则3,4x y r =-===sin 4α=sin()πα-=sin α=． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，涉及到诱导公式，属于基础题．16．1【分析】根据周期性将所求转化为[)1,0-内的数的函数值，然后根据已知解析式计算即可.【详解】 ()f x 的周期为2，()()40f f ∴=,又01x ≤<时()f x cosx =,()001f cos ∴==,()41f ∴=，故答案为1.【点睛】本题考查函数的周期性和分段函数的求值，涉及余弦函数，关键是根据周期性将所求转化. 17．（1）π，最大值为2；（2）3,()44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）先化简得()sin 21f x x =+，即得函数的最小正周期和最大值；（2）解不等式3222()22k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即得解. 【详解】（1）()2sin()cos()12cos sin 12sin cos 122f x x x x x x x ππ=+-+=+=+ sin 21x =+ 所以函数的最小正周期为22T ππ==，当sin 21x =时最大值为2； （2）令3222()22k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以3()44k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ()f x ∴单调递减区间是3[,]()44k k k Z ππππ++∈. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．（1）2；（2）19. 【分析】 （1）由已知sin cos 1sin cos 3θθθθ-=+，化简整理可得sin 2cos θθ=，即可得解； （2）化简222sin cos cos ()tan 1221sin 2tan 1ππθθπθθθθ⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=++，根据（1）的结果代入即可得解．【详解】（1）由已知sin cos 1sin cos 3θθθθ-=+， 化简得3sin 3cos sin cos θθθθ-=+，整理得sin 2cos θθ=故tan 2θ=（2）2222sin cos cos ()cos sin cos 221sin 1sin ππθθπθθθθθθ⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==++ 22222cos sin cos tan 11sin cos sin 2tan 19θθθθθθθθ--==+++． 【点睛】本题考查了三角函数的运算，考查了知弦求切和知切求弦，主要利用了诱导公式，属于简单题.19．（1）()2sin(2)4f x x π=+；（2）()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）利用周期公式可得ω,将点4π⎛ ⎝代入即得解析式;（2）由()222242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈计算即可求得单调递增区间.【详解】（1）由已知得2ππ=ω，解得2ω=.将点4π⎛ ⎝2sin 24πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，可知cos 2ϕ=， 由0ϕπ<<可知4πϕ=，于是()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2）令()222242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈ 解得()388k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 于是函数()f x 的单调递增区间为()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查正弦函数的图像和性质,基础题.20．（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）当0x =时，()min 2f x =-；当3x π=时，()max 1f x =.【分析】（1）先由周期为π求出2ω=,再根据222262k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈进行求解即可；（2）先求出52666x πππ-≤-≤,可得12sin 226x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭,进而求解即可 【详解】（1）解：∵2T ππω==,∴2ω=,又∵0>ω,∴2ω=,∴()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, ∵222262k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈, ∴222233k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈, ∴63k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈,∴()f x 的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）解：∵02x π≤≤,∴02x ≤≤π,∴52666x πππ-≤-≤, ∴1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭, ∴12sin 226x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭, ∴22sin 2116x π⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝⎭, 当0x =时,()min 2f x =-, 当226x ππ-=,即3x π=时,()max 1f x =【点睛】本题考查求正弦型函数的单调区间,考查正弦型函数的最值问题,属于基础题21．（1）()84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）[]166,162k k -+，k Z ∈． 【分析】（1）由图可知A =216T πω==，再将点()2,0-代入得sin 04πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，可得4k πϕπ=+，k Z ∈，从而可求出答案；（2）解出222842k x k ππππππ-+≤+≤+，k Z ∈即可得答案．【详解】解：（1）易知A =()42216T =⨯--=⎡⎤⎣⎦， ∴28T ππω==，∴()8f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 将点()2,0-代入得sin 04πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 4k πϕπ-+=，k Z ∈， ∴4k πϕπ=+，k Z ∈， ∵22ππϕ-<<， ∴4πϕ=，∴()84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； （2）由222842k x k ππππππ-+≤+≤+，k Z ∈，解得166162k x k -≤≤+，k Z ∈，∴()f x 的递增区间为[]166,162k k -+，k Z ∈．【点睛】本题主要考查根据三角函数的图象确定解析式，考查三角函数的图象与性质，属于基础题．22．（Ⅰ）1；（Ⅱ）|,124x k x k k ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z . 【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换以及降幂公式、辅助角公式化简函数解析式，再根据三角函数的最大值即可求出答案； （Ⅱ）由题意得1sin 232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，利用三角函数的图象可得5222636k x k πππππ+≤+≤+，解出即可． 【详解】解：（Ⅰ）()2sin 2cos 1)3f x x x a π=+++sin 2x x a =+++2sin 23x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由()f x 的最大值为1可知，21a +=，∴1a =-；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()2sin 213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 由2sin 2103x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，得1sin 232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， ∴5222636k x k πππππ+≤+≤+， 即124k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ， 故解集为|,124x k x k k ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ． 【点睛】本题主要考查简单的三角恒等变换，考查三角函数的性质，属于基础题．。
第五章 三角函数【章节复习专项训练】(解析版)
第五章三角函数【章节复习专项训练】【考点1】：任意角和弧度制例题1．下列说法中，错误的是（）A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1的角是周角的1360，1rad 的角是周角的12πC ．1rad 的角比1的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关【答案】D 【分析】根据角度和弧度的定义可判断各选项的正误.【详解】对于A 选项，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，A 选项正确；对于B 选项，1的角是周角的1360，1rad 的角是周角的12π，B 选项正确；对于C 选项，11180π=<，C 选项正确；对于D 选项，用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关，D 选项错误.故选：D.【点睛】本题考查角度制与弧度制相关概念的判断，属于基础题.【变式1】5弧度的角的终边所在的象限为（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【分析】利用轴间角的弧度数判断．【详解】因为3522ππ<<，所以5弧度的角的终边在第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查象限角的概念，判断象限角，一般可把角化为2k πα+（k Z ∈，02απ≤<）形式，然后由α的象限得结论．注意轴间角的弧度数．【变式2】下列各角中，与2019°终边相同的角为（）A ．41°B ．129°C ．219°D ．﹣231°【答案】C 【分析】根据20195360219=⨯+可得答案.【详解】因为20195360219=⨯+，所以219与2019°终边相同.故选：C.【点睛】本题考查了求终边相同的角，属于基础题.【变式3】下列命题中正确的是（）．A ．第一象限角一定不是负角B ．小于90°的角一定是锐角C ．钝角一定是第二象限角D ．终边和始边都相同的角一定相等【答案】C 【分析】根据角的定义判断各选项．【详解】300︒-为第一象限角且为负角，故A 错误；5090-︒<︒，但50︒-不是锐角，故B 错误；终边与始边均相同的角不一定相等，它们可以相差360,k k Z ︒⋅∈，故D 错误．钝角一定是第二象限角，C 正确．故选：C ．【点睛】本题考查角的定义，考查象限角、正角、负角等概念，属于基础题．【变式4】将300o 化为弧度为（）A ．43πB ．53πC ．76πD ．74π【答案】B 【分析】由180π︒=弧度进行转化．【详解】53003001803ππ︒=⨯=．故选：B ．【点睛】本题考查角度与弧度的转化，解题关键是掌握弧度的定义，掌握转化公式：1180π︒=弧度．1弧度180π︒⎛⎫= ⎪⎝⎭．【考点2】：三角函数的概念例题1．若角α的终边经过点(5,12)P -，则sin tan αα+的值为A ．125-B ．513C ．9665-D ．1213-【答案】C 【分析】利用三角函数的定义求出sin α、tan α即可求解.【详解】由角α的终边经过点(5,12)P -，则12sin 13α==，1212tan 55α==--，所以121296sin tan 13565αα+=-=-.故选：C 【点睛】本题考查了三角函数的定义，掌握三角函数的定义是解题的关键，考查了基本运算能力，属于基础题.【变式1】若角α的终边经过点(,3)P m -，且4cos 5α=-，则m 的值为（）．A ．114-B ．114C ．4-D ．4【答案】C 【分析】利用余弦函数的定义列式求解即可.【详解】因为角α的终边经过点(,3)P m -，所以4cos 5α==-，所以0m <，解得4m =-，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角函数的基本定义，属于基础题.【变式2】已知角α的终边经过点()1,P m ，且sin α=cos α=（）A ．10±B ．10-C ．10D ．13【答案】C 【分析】根据三角函数定义列方程，解得m ，再根据三角函数定义求结果.【详解】由三角函数定义得sin 0,3m m α==<=-由三角函数定义得cos 10α==故选：C 【点睛】本题考查三角函数定义，考查基本分析求解能力，属基础题.【变式3】已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α在第几象限（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【分析】由P 所在的象限有tan 0,cos 0αα<<，即可判断α所在的象限.【详解】∵点(tan ,cos )P αα在第三象限，∴tan 0,cos 0αα<<，则角α在第二象限故选：B【变式4】．已知A 是三角形的一个内角，且7sin cos 13A A +=，则这个三角形的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定【答案】C 【分析】由已知等式，两边平方得4912sin cos 169A A +=，进而确定sin cos A A 的符号，结合三角形内角的性质判断sin ,cos A A 的符号，即可判断三角形的形状.【详解】将7sin cos 13A A +=平方，可得4912sin cos 169A A +=，∴sin cos 0A A <，由A 是三角形的一个内角，∴sin 0,cos 0A A ><，A 是钝角．故选：C.【考点3】：诱导公式例题1．sin 1665°的值为（）A BC ．－2D ．2【答案】A 【分析】先用诱导公式化简再求值.【详解】()()sin1665sin 4360225sin 225sin 18045sin 45︒=⨯︒+︒=︒=+︒=-︒=故选:A【变式1】已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ()2πβ+＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝（）A ．5B ．377C ．D ．13【答案】C 【分析】根据诱导公式化简可得3sin 2tan 50tan 6sin 10βααβ-+=⎧⎨--=⎩，消去sin β可得tan α＝3，结合sin 2α＋cos 2α＝1，以及α为锐角，可得结果.【详解】由已知得3sin 2tan 50tan 6sin 10βααβ-+=⎧⎨--=⎩，消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝910，则sin α＝10(α为锐角).故选：C.【点睛】本题考查了诱导公式，考查了商数关系式，考查了平方关系式，属于基础题.【变式2】设α∈R ，则下列结论中错误的是（）A ．sin()sin παα+=-B ．cos()cos ααπ-=-C ．cos()sin 2παα+=-D ．tan()tan απα--=【答案】D 【分析】根据诱导公式，二：πα+，三：α-，四：πα-，六：2πα+与角α的相关三角函数间的等量关系，即可知各选项的正误【详解】根据诱导公式公式二，有sin()sin παα+=-公式四，有cos()cos ααπ-=-公式六，有cos()sin 2παα+=-公式二、三，有tan()tan()tan αππαα--=-+=-故选：D 【点睛】本题考查了诱导公式，根据诱导公式判断相关三角函数的等式是否成立【变式3】若1sin()2A π+=-，则3cos 2A π⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A ．12-B ．12C ．D ．32【答案】A 【分析】运用诱导公式化简已知等式，再利用诱导公式进行求解即可.【详解】∵1sin()sin 2A A π+=-=-，∴1sin 2A =，∴31cos cos cos sin 2222A A A A ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：A.【变式4】已知3sin()5πα+=，且α是第四象限角，则cos(2)απ-的值为（）A ．45-B ．45C ．45±D ．35【答案】B 【分析】由诱导公式知sin()sin παα+=-、cos(2)cos απα-=，结合同角三角函数的平方关系以及α是第四象限角，即可求cos(2)απ-.【详解】由3sin()sin 5παα+=-=，即3sin 5α=-又cos(2)cos(2)cos αππαα-=-=，α是第四象限角，∴4cos 5α=.故选：B【考点4】：三角函数的图像与性质例题1．函数12tan(23y x π=-++的单调递增区间是（）A ．5(2,2)33k k ππππ-+，k Z ∈B ．5(2,2)33k k ππππ-+，k Z ∈C ．5(,)33k k ππππ-+，k Z ∈D ．5(,)33k k ππππ-+，k Z ∈【答案】A 【分析】根据正切函数的图象与性质，令1,2232k x k k Z πππππ-+<+<+∈，即可求得函数的递增区间，得到答案.【详解】由题意，令1,2232k x k k Z πππππ-+<+<+∈，解得522,33k x k k Z ππππ-<<+∈，所以函数12tan()23y x π=-++的单调递增区间为5(2,2),33k k k Z ππππ-+∈.故选：A.【变式1】在[0,2π]上，满足1sin 2x 的x 的取值范围是（）A ．π[0,6B ．π5π[,]66C ．π2π[,]63D ．5π[,π]6【答案】B 【分析】根据y sinx =的函数图象结合特殊角的三角函数值，即可容易求得结果.【详解】根据sin y x =的图象可知：当1sin 2x =时，π6x =或5π6，数形结合可知：当1sin 2x ，得π5π66x ．故选：B .【点睛】本题考查利用三角函数的图象解不等式，属简单题.【变式2】在(0，2π)内，使tan x ＞1成立的x 的取值范围为（）A ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．53,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭53,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭∪53,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【分析】由正切函数的图像和性质可知，当tan x ＞1时，,24k x k k z ππππ+>>+∈，再结合x ∈(0，2π)，可求得答案【详解】由tan x >1，可得,24k x k k z ππππ+>>+∈.再根据x ∈(0，2π)，求得x ∈,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭∪53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故选：D.【点睛】此题考查正切函数的性质，利用其性质解不等式，属于基础题.【变式3】函数()()sin 0,0,y A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图像如图所示，则该函数的解析式为（）A ．22sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．2sin 23x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】A 【分析】根据图象求出,,A ωϕ即可得到函数解析式.【详解】显然2A =，因为5212122T πππ=+=，所以T π=，所以222T ππωπ===，由(212f π-=得2sin[2(]212πϕ⨯-+=，所以2,62k ππϕπ-+=+k Z ∈，即223k πϕπ=+，k Z ∈，因为0||ϕπ<<，所以23ϕπ=，所以2()2sin(2)3f x x π=+.故选：A 【点睛】本题考查了根据图象求函数解析式，利用周期求ω，代入最高点的坐标求ϕ是解题关键，属于基础题.【变式4】函数()tan 23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】直接利用函数()tan y x ωϕ=+的周期公式T πω=求解.【详解】函数()tan 23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是22T ππ==，故选：B ．【点睛】本题主要考查正切函数的周期性，还考查了运算求解的能力，属于基础题．【考点5】：三角恒等变换例题1．cos104sin 80sin10-=AB．CD．3-【答案】B 【详解】试题分析：原式cos104cos10sin10︒=︒-︒2sin 20cos10sin10︒-︒=︒()2sin 3010cos10sin10︒-︒-︒=︒=考点：三角恒等变换.【变式1】已知π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π1tan 47α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，那么sin cos αα+的值为（）．A ．15-B ．75C ．75-D ．34【答案】A 【解析】∵πtan 11tan 41tan 7ααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，∴3tan 4α=-，又∵π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴4cos 5α=-，3sin 5α=，∴1sin cos 5αα+=-．故选A ．点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．一般sin cos sin cos αααα+-，，sin *cos αα，这三者我们成为三姐妹，结合22sin cos 1αα+=，可以知一求三.【变式2】cos 45cos15sin 45sin15︒︒︒︒-的值为（）A 32B ．12C ．1D ．0【答案】B 【分析】利用两角和的余弦可得正确的选项.【详解】由两角和余弦公式可得1cos 45cos15sin 45sin15cos 602-︒︒=︒=︒︒，故选：B【变式3】函数22cos sin y x x =-的最小值是（）A ．0B ．1C ．12D ．1-【答案】D 【分析】利用二倍角的余弦公式以及三角函数的性质即可求解.【详解】22cos sin cos 2y x x x =-=，所以22cos sin y x x =-的最小值为-1故选：D【变式4】如果()2tan 5αβ+=，π1tan 44β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么1tan 1tan αα+-的值为（）A ．1316B ．322C ．1322D ．316【答案】B 【分析】化简1tan 1tan αα+-()πtan 4αββ⎡⎤⎛⎫=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再利用差角的正切公式化简得解.【详解】1tan πtan 1tan 4ααα+⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭()πtan 4αββ⎡⎤⎛⎫=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()πtan tan 4π1tan tan 4αββαββ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=⎛⎫++- ⎪⎝⎭322=.故选：B 【点睛】本题主要考查和角差角的正切，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.【考点6】：函数)sin(ϕω+=x A y例题1．将函数2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上的点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，则所得函数图象的解析式为（）A ．22sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．2sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．2sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】D 【分析】根据三角函数的伸缩变换原则，可直接得出结果.【详解】函数2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上的点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，所得函数图像的解析式为2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：D ．【点睛】本题主要考查求三角函数图像变换后的解析式，属于基础题型.【变式1】将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移(02)ϕϕπ<<个单位后得到的图象关于直线12x π=对称，则ϕ的最大值为（）A ．116πB ．53πC ．2312πD ．43π【答案】A 【分析】平移后所得三角函数为()2sin 223f x x πϕϕ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，又因为关于平移后图像关于12x π=对称，所以()32k k Z ππϕ=+∈，再根据ϕ的取值范围，即可得解.【详解】∵()2sin 223f x x πϕϕ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，∴22()1232k k Z πππϕπ⨯-+=+∈，∴()32k k Z ππϕ=+∈，∵02ϕπ<<，∴max 116πϕ=．故选：A.【点睛】本题考查了三角函数的平移变换，考查了三角函数的最值问题，有一定的计算量，属于基础题.【变式2】将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后得到的图象解析式为（）A ．sin 2y x=B ．cos 2y x=C ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】B 【分析】根据三角函数图象平移变换特点，即可得解.【详解】将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，可得sin 2sin 2cos 2662y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B.【点睛】本题考查了三角函数图象平移变换，属于基础题.【变式3】要得到函数sin 3y x =的图象，只需将函数()sin 33y x =-的图象上的所有点沿x 轴A ．向右平移1个单位长度B ．向左平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度【答案】C 【解析】分析:将函数()sin 33y x =-的解析式化简和函数sin3y x =的解析式比较，即得解.详解: sin3y x =因为=sin[3(x+1)-3]，所以要得到函数sin3y x =的图象，只需将函数()sin 33y x =-的图象上的所有点沿x 轴向左平移1个单位长度.点睛：（1）本题主要考查三角函数图像的变换，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)函数图像的平移变换：左加右减，把函数()y f x =向左平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=+的图像，把函数()y f x =向右平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=-的图像.【变式4】要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【答案】B【详解】试题分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解：由于函数y=sin（2x+）=sin2（x+），∴将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y=sin（2x+）的图象，故选B考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．。
第五章三角函数单元测试卷及参考答案
第五章 三角函数单元测试卷一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分） 1．已知角α的终边经过点(,3)P x -，且3tan 4α=-，则cos α=（ ） A ．35±B ．45±C ．45-D ．452．已知3cos 4x =，则cos2x =( ) A ．14-B ．14C ．18-D ．183．如果函数y ＝3cos （2x +φ）的图象关于点（43π，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π4．已知函数()sin 3f x x x =，则在下列区间使函数()f x 单调递减的是（ ）A ．3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭C ．5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．若,αβ为锐角，45sin ,cos()513ααβ=+=，则sin β等于（ ） A ．1665B ．5665C ．865D ．47656．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）A ．()f x 的最小正周期是2πB ．()f x 在1931,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 在175,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．直线1712x π=-是曲线()y f x =的一条对称轴7．已知7sin 6πα⎛⎫+=⎪⎝⎭2cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=（ ） A ．23-B ．13-C ．23D ．138．将函数()2sin 2cos 2cos sin sin 22f x x x ππθθθθ⎛⎫=+--<< ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x ，()g x 的图象都经过点P ⎛ ⎝⎭，则ϕ的值可以是（ ） A ．53πB ．56π C ．2π D ．6π 二、多选题（每题有多个选项为正确答案，每题5分，共20分） 9．设函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，给出下列命题，不正确的是（ ）． A ．()f x 的图象关于直线3x π=对称B ．()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．把()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到一个偶函数的图象D ．()f x 的最小正周期为π，且在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数10．设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x ( ) A ．是偶函数 B ．在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．最大值为2 D ．其图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 11．如图是函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点（ ）．A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标仲长到原来的12，纵坐标不变C ．把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变12．函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将函数()f x 的图像向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图像，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 的最小正周期为πC ．函数()g x 的图像的对称轴为直线()6x k k ππ=+∈ZD ．函数()g x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z三、填空题（每题5分，共20分）13．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 14．函数()f x =sin 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭cos x 的最小值为_________．15．已知1sin 34πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．16．已知函数()tan(),(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的相邻两个对称中心距离为32π，且()f π=，将其上所有点的再向右平移3π个单位，纵坐标不变，横坐标变为原来的13，得()g x 的图像，则()g x 的表达式为_______四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分） 17．已知1tan 42πα⎛⎫+=⎪⎝⎭． （Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求()()22sin 22sin 21cos 2sin παπαπαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭--+的值．18.已知函数()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭．（1）求函数()f x 的最小值和最大值及相应自变量x 的集合； （2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）画出函数()y f x =区间[]0,π内的图象．19.已知()2sin cos cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若关于x 的函数()()()22sin 2g x f x k x =-+在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点，求实数k 的取值范围．20．一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间. （1）以水轮所在平面与水面的交线为x 轴，以过点O 且与水面垂直的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P 距离水面的高度h （单位：米）表示为时间t （单位：秒）的函数；（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P 距水面的高度超过2米？21.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()02x ,和()0,2x +π-.若将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到的图象关于原点对称. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()10y f kx k =+>的周期为23π，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()1f kx m +=恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围.22．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭的图象如图所示.（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作()y g x =. （i ）求函数()()2x h x f g x ⎛⎫=⎪⎝⎭的最大值； （ii ）若函数()2()()2F x g x mg x m R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭在()()0,n n N π+∈内恰有2015个零点，求m 、n 的值.参考答案： 一、单选题 1．【答案】D【解析】角α的终边经过点(),3P x -，由3tan 4α=-，可得334x -=-，所以4x =. 所以4cos 5α==.故选D.2．【答案】D【解析】由3cos 4x =得2231cos 22cos 12148x x ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，故选D ．. 3．【答案】A【解析】∵函数y ＝3cos （2x +φ）的图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称. ∴4232k ππϕπ⋅+=+∴13()6πϕπ=-∈k k Z 当2k =时，有min ||6πϕ=.故选：A. 4．【答案】C【解析】依题意，函数()2sin(3)3f x x π=-，令3232,232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得52211,183318k k x k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数 在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 上先增后减，在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递增，在5,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 在,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 上先增后减.故选C . 5．【答案】A【解析】由角的关系可知根据同角三角函数关系式，可得()312cos ,sin 513ααβ=+= ()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦ ()()sin cos cos sin αβααβα=+-+ 12354135135=⨯-⨯ 1665=所以选A 6．【答案】C【解析】由图可知，2A =，该三角函数的最小正周期7233T πππ=-=，故A 项正确； 所以21Tπω==，则()2sin()f x x ϕ=+. 因为563f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎝ ⎝⎭⎭⎪，所以该函数的一条对称轴为5736212x πππ+==， 将7,212π⎛⎫⎪⎝⎭代入2sin()y x ϕ=+，则72()122k k ππϕπ+=+∈Z ，解得2()12k k πϕπ=-+∈Z ，故()2sin 22sin 1212f x x k x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令22()2122k x k k πππππ--+∈Z ，得5722()1212k x k k ππππ-≤≤+∈Z ， 令1k =，则1931,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故函数()f x 在1931,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.故B 项正确； 令322()2122k x k k πππππ+≤-≤+∈Z ， 得71922()1212k x k k ππππ+≤≤+∈Z ， 令1k =-，175,1212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦ 故函数()f x 在175,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减.故C 项错误； 令()122x k k πππ-=+∈Z ，得7()12x k k ππ=+∈Z ，令2k =-，1712x π=-故直线1712x π=-是()f x 的一条对称轴.故D 项正确.故选C. 7．【答案】B【解析】由题意7sin sin sin 666πππαπαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以sin 63πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， 所以2cos 2cos 2cos 2cos 23336ππππαπααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 2212sin 121633πα⎛⎛⎫=+-=⨯--=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭． 故选B ． 8．【答案】B 【解析】易得()()2sin 2cos 2cos sin sin sin 2cos cos2sin sin 2f x x x x x x θθθθθθ=+-=+=+.因为函数()f x 的图象过点P ⎛ ⎝⎭,22ππθ-<<,所以代入函数解析式得3πθ=. 所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.根据题意,得()()sin 23g x x πϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦,又因为()g x 的图象也经过点P ⎛ ⎝⎭,所以代入得sin 23πϕ⎛⎫-=⎪⎝⎭将53πϕ=、56π、2π或6π代入sin 23πϕ⎛⎫-=⎪⎝⎭只有56π成立. 故选B. 二、多选题 9．【答案】ABD【解析】因为sin 03f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以A 不正确； 因为sin 1122f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，所以B 不正确；因为函数()f x 的最小正周期为π，但sin 112226f f πππ⎛⎫⎛⎫==>=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 不正确；把函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到函数sin 2sin 2cos21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，函数cos 2y x =为偶函数，所以C 正确． 故选：ABD. 10．【答案】AD【解析】()sin 2cos 2224444f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .选项A ：()2))()f x x x f x -=-== ，它是偶函数，正确；选项B ：0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,x π∈，因此()f x 是单调递减，错误；选项C ：()2f x x =，错误；选项D ：函数的对称中心为(,0)24k ππ+ ，k Z ∈，当0k =，图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称， 错误. 故选：AD 11．【答案】AC【解析】由图象知，A=1,T=π，所以ω=2，y=sin （2x+ϕ），将（6π-，0）代入得：sin(ϕ3π-)=0，所以ϕ3π-=kπ，k z ∈，取ϕ=3π，得y=sin （2x+3π），sin y x =向左平移3π，得sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．然后各点的横坐标缩短到原来的12，得sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故A 正确．sin y x =各点的横坐标缩短到原来的12，得sin 2y x =．然后向左平移6π个单位，得sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故C 正确．故选：AC 12．【答案】BD 【解析】由图象可知3A =，33253441234ππππω⎛⎫=⋅=--= ⎪⎝⎭T ， ∴2ω=，则()3sin(2)f x x ϕ=+.将点5,312π⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入()3sin(2)f x x ϕ=+中，整理得5sin 2112πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， ∴522,Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈，即2,Z 3k k πϕπ=-∈.||2ϕπ<，∴3πϕ=-，∴()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. ∵将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象， ∴()3sin 23sin 2,333πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦g x x x x R . ∴()g x 既不是奇函数也不是偶函数，故A 错误； ∴()g x 的最小正周期22T ππ==，故B 正确. 令2,32x k k πππ+=+∈Z ，解得,122k x k ππ=+∈Z .则函数()g x 图像的对称轴为直线,122k x k ππ=+∈Z .故C 错误； 由222,232k x k k πππππ-++∈Z ，可得5,1212k x k k ππππ-+∈Z ，∴函数()g x 的单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.故D 正确. 故选：BD.三、填空题 13．【答案】二【解析】因为点P （tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0， 则角α的终边在第二象限，故答案为二． 14．【答案】34-【解析】由函数()211sin()cos (sin cos )cos cos cos 62222f x x x x x x x x x π=-=-=-1112(1cos 2)sin(2)44264x x x π=-+=--， 当sin(2)16x π-=-时，即,6x k k Z ππ=-+∈时，函数取得最小值34-. 15．【答案】14【解析】因为1sin()34πα+=，则1cos()sin(())sin()62634ππππααα-=--=+=． 16．【答案】2()tan()9g x x π=+. 【解析】由题意，函数()tan()f x x ωϕ=+的相邻两个对称中心距离为1322w ππ⋅=，解得13w =，且()f π=，即tan()3πϕ+=，因为02πϕ<<，解得3πϕ=，所以1()tan()33f x x π=+，将()f x 图象上的点向右平移3π个单位，可得112()tan[()]tan()33339f x x x πππ=-+=+， 再把所得图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的13，可得2()tan()9f x x π=+的图象， 即函数()g x 的解析式为2()tan()9f x x π=+. 故答案为：2()tan()9f x x π=+. 四、解答题17．【答案】（Ⅰ）1tan =-3α；（Ⅱ）15-19.【解析】解：（Ⅰ）tantan 1tan 14tan()41tan 21tantan 4παπααπαα+++===--，解得；（Ⅱ）22sin(22)sin ()21cos(2)sin παπαπαα+----+=22sin 2cos 1cos 2sin αααα-++ 2222sin cos cos 2cos sin ααααα-=+22tan 1152tan 19αα-==-+． 18.【答案】（1，取得最大值时相应x 的集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭； 最小值为，取得最小值时相应x 的集合为,8x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭； （2）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（3）图象见解析． 【解析】（1）()f x ，当2242x k πππ-=+，即38x k ππ=+时，等号成立， ∴()f x 取得最大值时相应x 的集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭()f x 的最小值为，当2242x k πππ-=-+，即8x k ππ=-+时，等号成立，∴()f x 取得最大值时相应x 的集合为,8x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭（2）由222242k x k πππππ-+≤-≤+求得388k x k ππππ-+≤≤+， ∴()f x 的单调递增区间是3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（3）列表：()f x 图像如图所示：19．【答案】（1）()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）14k k ⎧⎪<≤⎨⎪⎩或12k ⎫=-⎬⎭． 【解析】（1）()2sin cos cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 222sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令3222232k x k πππππ+++，k Z ∈，解得71212k xk ππππ++，k Z ∈， ∴()f x 的单调递减区间()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知，函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭()g x 在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有零点等价于()()2sin 2f x k x =+在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有唯一根，∴可得2sin 2sin 23k x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1sin 22cos 226x x x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭设()cos 26h x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 根据函数()h x 在,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象， ∵2y k =与()y h x =有唯一交点，∴实数k 应满足1222k -<≤或21k =- ∴144k -<≤或12k =-．故实数k 的取值范围1{|4k k<或1}2k =-．20．【答案】（1）()22sin 1036t h t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭；（2）有1s 时间点P 距水面的高度超过2米. 【解析】（1）设水轮上圆心O 正右侧点为A ，y 轴与水面交点为B ，如图所示：设()sin h a t b ωϕ=++，由1OB =，2OP =，可得03BOP π∠=，所以06AOP π∠=.2a ∴=，1b =，6πϕ=-，由题意可知，函数2sin 16h t πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期为3T =，223T ππω∴==， 所以点P 距离水面的高度h 关于时间t 的函数为()22sin 1036t h t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭；（2）由22sin 1236t h ππ⎛⎫=-+>⎪⎝⎭，得21sin 362t ππ⎛⎫->⎪⎝⎭， 令[]0,3t ∈，则211,3666t ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 由256366t ππππ<-<，解得1322<<t ，又31122-=， 所以在水轮转动的任意一圈内，有1s 时间点P 距水面的高度超过2米. 21．【答案】（1）()2sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）)1,3 【解析】（1）由题意可知函数()f x 的周期2T π=，且2A =，所以21Tπω==，故()()2sin f x x ϕ=+.将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为2sin 3y x ϕπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为函数2sin 3y x ϕπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象关于原点对称，所以()3k k ϕπ+=π∈Z ，即()3k k ϕπ=π-∈Z . 又2πϕ<，所以3πϕ=-，故()2sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）由（1）得函数()12sin 13y f kx kx π⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，其周期为23π， 又0k >，所以2323k π==π.令33t x π=-，因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 若sin t s =在2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上有两个不同的解，则s ⎫∈⎪⎪⎣⎭，所以当)1,3m ∈时，方程()1f kx m +=在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恰有两个不同的解，即实数m的取值范围是)1,3.22．【答案】（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）（i ）34；（ii ）1m =-，1343n =. 【解析】（1）由图象可得1A =，最小正周期721212T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，则22T πω==，由77sin 211212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以523k πϕπ=-+，k Z ∈，又2πϕ≤，则易求得3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由222232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈， 所以单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（2）（i ）由题意得()sin g x x =，()()sin sin 23x h x f g x x x π⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112cos 2444x x =-+ 11sin 2264x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以()()2x h x f g x ⎛⎫=⎪⎝⎭的最大值为34； （ii ）令()0F x =，可得22sin sin 10x m x --=，令[]sin 1,1t x =∈-， 得2210t mt --=，易知>0∆，方程必有两个不同的实数根1t 、2t ， 由1212t t =-，则1t 、2t 异号， ①当11t >且210t -<<或者101t <<且21t <-时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()0,n π均有偶数个根，不合题意，舍去；②当101t <<且0201t <<时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()0,n π均有偶数个根，不合题意，舍去； ③当11t =且212t =-，当()0,2x π∈时，1sin x t =，只有一根，2sin x t =有两根， 所以，关于x 的方程22sin sin 1x m x --在()0,2x π∈上有三个根，由于201536712=⨯+，则方程22sin sin 10x m x --=在()0,1342π上有2013个根，由于方程1sin x t =在区间()1342,1343ππ上只有一个根，方程2sin x t =在区间()1343,1344ππ上两个根，因此，不合题意，舍去；④当11t =-时，则212t =，当()0,2x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根， 所以，关于x 的方程22sin sin 10x m x --=在()0,2x π∈上有三个根，由于201536712=⨯+，则方程22sin sin 10x m x --=在()0,1342π上有2013个根，由于方程2sin x t =在区间()1342,1343ππ上有两个根，方程1sin x t =在区间()1343,1344ππ上有一个根，此时，满足题意；因此，1343n =，21121022m ⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 得1m =-，综上，1m =-，1343n =.。
高中数学 三角函数章节测试题及答案
三角函数章节测试题一、选择题1． 已知sinθ＝53，sin2θ＜0，则tanθ等于 （ ）A ．－43B ．43C ．－43或43D ．542． 若20π<<x ，则2x 与3sinx 的大小关系是 （ ）A ．x x sin 32>B ．x x sin 32<C ．x x sin 32=D ．与x 的取值有关3． 已知α、β均为锐角，若P ：sinα<sin(α＋β)，q ：α＋β<2π，则P 是q 的（）A ．充分而不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4． 函数y ＝sinx·｜cotx ｜(0<x<π)的大致图象是 （ ）C D5． 若f(sinx)＝3－cos2x ，则f(cosx)＝ （ ）A ．3－cos2xB ．3－sin2xC ．3＋cos2xD ．3＋sin2x6． 设a>0，对于函数)0(sin sin )(π<<+=x x ax x f ，下列结论正确的是 （ ）A ．有最大值而无最小值x xx xB ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值7． 函数f(x)＝x x cos 2cos 1- （ ） A ．在[0，2π]、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ,2上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,ππ、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ2,23上递减 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤ ⎝⎛23ππ，上递增，在⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ,2、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ223，上递减 C ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ，2、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ223，上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤ ⎝⎛23ππ， 上递减 D ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,ππ、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ2,23上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ,2上递减 8． y ＝sin(x －12π)·cos(x －12π)，正确的是 （ ） A ．T ＝2π，对称中心为(12π，0) B ．T ＝π，对称中心为(12π，0) C ．T ＝2π，对称中心为(6π，0) D ．T ＝π，对称中心为(6π，0) 9． 把曲线y cosx ＋2y －1＝0先沿x 轴向右平移2π，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程为 （ ）A ．(1－y)sinx ＋2y －3＝0B ．(y －1)sinx ＋2y －3＝0C ．(y ＋1)sinx ＋2y ＋1＝0D ．－(y ＋1)sinx ＋2y ＋1＝010．已知，函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0＜θ＜π) 其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若| x 1－x 2|的最小值为π，则 （ ）A ．ω＝2，θ＝2π B ．ω＝21，θ＝2π C ．ω＝21，θ＝4π D ．ω＝2，θ＝4π 二、填空题11．f (x)＝A sin (ωx ＋ϕ)(A>0, ω>0)的部分如图，则f (1) ＋f (2)＋…＋f (11)＝ .12．已sin(4π－x)＝53，则sin2x 的值为 。
《三角函数》全章复习题
任意角的三角函数及其有关概念【基础训练】⒈与240°角终边相同的角的集合是 ,它们是第___象限角。
⒉在0°～360°之间，与'95512-︒终边相同的角是___________。
⒊15-︒=_____弧度，112rad =______度。
⒋已知角α的终边过点(3,4)-，则sin α=___，cos α=_____，tan α=_____。
5.sincostan666πππ++=_________，6.．已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【达标检测】⒈196π是第______象限角。
⒉若α是第四象限角，则πα-是第_____象限角。
⒊已知sin tan 0αθ<，则θ是第_______象限角。
⒋已知α终边过点(5,12)，则sin cos αα⋅=___________。
5.已知α的终边过点(4,3),0P t t t ->, 则αsin = （ ） A ．54B ． 53-C ．54- D ．536.设角α的终边过(6,8)(0)P a a a --≠，则sin cos αα-的值是（ ） A ：15B ：15-或15C ：15-或75- D ：15-【真题回顾】1、tan 765︒=2、设α终边经过点(3,4)p -，则cos2α=（ ）A ：2425-B ：725-C ：35-D ：453、已知P （-3，m ）是角α终边上一点，若54sin -=α，则m =（ ） A ： -4 B ： -3 C ： 3 D ： 4 4、sin150︒= ．5、已知角α的终边过点),3(m P -，且54sin =α，则=αcos 。
同角三角函数的基本关系式【基础训练】1.设a =(1- cos α,3)，b =( sin α,3)，且//a b ，则锐角α为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．12π 2.已知4sin 5α=，且α是第二象限角，求α的余弦值和正切值。
《第五章三角函数》章节复习及单元检测试卷
《第五章 三角函数》章节复习及单元检测试卷《第五章 三角函数》知识梳理1. 知识系统整合2. 规律方法收藏1．在任意角和弧度制的学习中，要区分开角的各种定义，如：锐角一定是第一象限角，而第一象限角不全是锐角，概念要搞清；角度制和弧度制表示角不能混用，如：α＝2k π＋30°，k ∈Z ，这种表示法不正确．2．任意角的三角函数，首先要考虑定义域，其次要深刻认识三角函数符号的含义，sin α＝ry≠sin×α；诱导公式的记忆要结合三角函数的定义去记忆．3．同角三角函数的基本关系式 sin 2α＋cos 2α＝1及ααcos sin ＝tan α，必须牢记这两个基本关系式，并能应用它们进行三角函数的求值、化简、证明，在应用中，注意掌握解题的技巧，能灵活运用公式．在应用平方关系求某个角的另一个三角函数值时，要注意根式前面的符号的确定．4．三角函数的诱导公式诱导公式一至六不仅要正确、熟练地掌握其记忆的诀窍，更要能灵活地运用． (1)－α角的三角函数是把负角转化为正角；(2)2k π＋α(k ∈Z)角的三角函数是化任意角为[0,2π)内的角； (3)2π±α，π±α，23π±α，2π－α角的三角函数是化非锐角为锐角； (4)化负为正→化大为小→化为锐角； (5)记忆规律：奇变偶同，象限定号． 5．正弦函数、余弦函数的图象与性质(1)五点法作图是画三角函数图象的基本方法，要切实掌握，作图时自变量要用弧度制，作出的图象要正规．(2)奇偶性、单调性、最值、周期是三角函数的重要性质，f (x ＋T )＝f (x )应强调的是自变量x 本身加常数才是周期，如f (2x ＋T )＝f (2x )，T 不是f (2x )的周期．解答三角函数的单调性的题目一定要注意复合函数单调性法则，更要注意定义域．6．使用本章公式时，应注意公式的正用、逆用以及变形应用．如两角和与差的正切公式tan(α±β)＝βαβαtan tan 1tan tan ±，其变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)应用广泛；公式cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α的变形公式：1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α，cos 2α＝22cos 1α+，sin 2α＝22cos 1α-常用来升幂或降幂． 7．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)主要掌握由函数y ＝sin x 的图象到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的平移、伸缩等变换．注意各种变换对图象的影响，注意各物理量的意义，A，ω，φ与各种变换的关系．8．三角函数的应用(1)根据图象建立解析式；(2)根据解析式作出图象；(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型；(4)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数模拟．在建立三角函数模型的时候，要注意从数据的周而复始的特点以及数据变化趋势两个方面来考虑．3 学科思想培优一、三角函数变形的常见方法在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．在本章所涉及的变形中，常用的变形方法有切化弦、弦化切和“1”的代换．1．切化弦当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形．【典例1】求证：sinα（1+tanα）+cosα（1+1tanα）=1sinα+1cosα．【解析】证明：右边＝sinα（1+tanα）+cosα（1+1tanα）＝sinα+sin 2αcosα+cosα+cos2αsinα＝sinα+1−cos 2αcosα+cosα+1−sin2αsinα=1sinα+1cosα=左边，得证．2．弦化切已知tanα的值，求关于sinα，cosα的齐次分式(sinα，cosα的次数相同)的值，可将求值式变为关于tanα的代数式，此方法亦称为“弦化切”．【典例2】已知tan 2α=，求下列代数式的值．（1）4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+；（2）22111sin sin cos cos 432αααα++．【解析】（1）4sin 2cos 4tan 242265cos 3sin 3tan 532511αααααα--⨯-===++⨯+．（2）22111sin sin cos cos 432αααα++2222111sin sin cos cos 432sin cos αααααα++=+ 22111tan tan 432tan 1ααα++=+ 222111224321⨯+⨯+=+1330= 【典例3】已知2cos 2α+3cos αsin α﹣3sin 2α＝1，α∈（−3π2，﹣π），求：（1）tan α； （2）2sinα−3cosα4sinα−9cosα．【解析】∵2cos 2α+3cos αsin α﹣3sin 2α＝1，α∈（−3π2，﹣π），∴cos 2α+3cos αsin α﹣4sin 2α＝0，∴1+3tan α﹣4tan 2α＝0， 解得tan α＝1（舍）或tan α=−14．∴tan α=−14． （2）2sinα−3cosα4sinα−9cosα=2tanα−34tanα−9 =2×(−14)−34×(−14)−9=−7203．“1”的代换在三角函数中，有时会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式，常见的代换方法：1＝sin 2α＋cos 2α等．【典例4】已知tan 2α＝2tan 2β+1，求证：sin 2β＝2sin 2α﹣1． 【解答】∴tan 2α＝2tan 2β+1， tan 2α+1＝2（tan 2β+1）即sin 2α+cos 2αcos 2α=2sin 2β+cos 2βcos 2β，可得：1cos 2α=2cos 2β 可得：cos 2β＝2cos 2α ∴1﹣sin 2β＝2（1﹣sin 2α） 即sin 2β＝2sin 2α﹣1，得证． 二、求三角函数值域与最值的常见类型求三角函数的值域或最值主要依据是利用三角函数的图象或三角函数的有界性，这就要求我们必须掌握好三角函数的图象和性质．1．形如y ＝a sin x ＋b (a ≠0)型的函数求解形如y ＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b )的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sin x ，cos x ≤1)求解，注意对a 正、负的讨论．【典例5】已知y ＝a sin x +b 的最大值为3，最小值为﹣1，求a ，b 的值． 【解答】解：∵y ＝αsin x +b 的最大值为3，最小值为﹣1， ∴当a ＞0时，{a +b =3−a +b =−1，解得a ＝2，b ＝1；当a ＜0时，{−a +b =3a +b =−1，解得a ＝﹣2，b ＝1．∴a ＝±2，b ＝1．【典例6】已知函数y ＝3﹣4cos （2x +π3），x ∈[−π3，π6]，求该函数的最大值，最小值及相应的x 值．【解析】函数y ＝3﹣4cos （2x +π3），由于x ∈[−π3，π6]， 所以：−π≤2x +π3≤2π3当x ＝0时，函数y min ＝﹣1当x ＝﹣π时，函数y max＝72．形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)型的函数求解形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (或y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c )，x ∈D 的函数的值域或最值时，通过换元，令t ＝sin x (或cos x )，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t ＝sin x (或cos x )的有界性．【典例7】求函数y ＝sin 2x +2cos x (π3≤x ≤2π3)的最大值和最小值．【解析】函数的解析式：y ＝sin 2x +2cos x ＝﹣cos 2x +2cos x +1， ∵π3≤x ≤2π3，∴−12≤cosx ≤12， 结合复合型二次函数的性质可得： 二次函数开口向下，对称轴为cos x ＝1，则函数的最小值为：−(−12)2+2×(−12)+1=−14； 则函数的最大值为：−(12)2+2×12+1=74． 三、三角函数的化简在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简．最后结果应为：(1)能求值尽量求值；(2)三角函数名称尽量少；(3)项数尽量少；(4)次数尽量低；(5)分母、根号下尽量不含三角函数．【典例8】化简求值： （1）sin 7sin8cos15cos7sin8sin15︒+︒︒︒-︒︒；（2）4cos70tan 20︒+︒.【解析】（1）sin 7sin8cos15cos7sin8sin15︒+︒︒︒-︒︒()()sin 158sin8cos15cos 158sin8sin15︒︒-︒+︒︒=-︒-︒︒sin15cos8cos15cos8︒︒︒=︒()tan 4530=︒-︒tan 45tan 301tan 45tan 30︒-︒=+︒︒1=2=（2）4cos70tan 20︒+︒4cos70cos 20sin 20cos 20︒︒︒+=︒4sin 20cos 20sin 20cos 20︒︒+=︒︒2sin 40sin 20cos 20︒︒+=︒()2cos50sin 5030cos 20︒+︒-︒=︒350cos5022cos 20︒+︒=︒()5060cos 20+︒︒=︒=四、三角函数求值三角函数求值主要有三种类型，即：(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围．(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．【典例9】已知cos α()312513cos ，αβ=-=，且0＜β＜α2π＜，（1）求tan2α的值； （2）求cos β．【解析】（1）∵cos α()312513cos ，αβ=-=，且0＜β＜α2π＜，∴sin α45==，tan α43sin cos αα==，∴tan2α222417tan tan αα==-．（2）∵cos （α﹣β）1213=，0＜β＜α2π＜，∴sin （α﹣β）513==，cos β＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cos αcos （α﹣β）+sin αsin （α﹣β）312455651351365=⨯+⨯=． 五、三角恒等证明三角恒等式的证明，就是应用三角公式，通过适当的恒等变换，消除三角恒等式两端结构上的差异，这些差异有以下几方面：①角的差异；②三角函数名称的差异；③三角函数式结构形式上的差异．针对上面的差异，选择合适的方法进行等价转化．【典例10】求证：tan sin tan sin tan sin tan sin αααααααα+=-.【解析】 ∵右边＝()()22222tan sin tan tan cos tan sin tan sin tan sin tan sin ααααααααααααα--=--()()22tan 1cos tan sin tan sin αααααα-=-()22tan sin tan sin tan sin αααααα=-tan sin tan sin αααα=-＝左边，∴原等式成立. 六、三角函数的图象三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．【典例11】如图，是函数y ＝A sin （ωx +φ）+k （A ＞0，ω＞0）的一段图象．（1）求此函数解析式；（2）分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？【解答】解：（1）由图象知A =−12−（﹣1）=12，k =−12+(−32)2=−1，T ＝2×（2π3−π6）＝π，∴ω=2πT=2，∴y =12sin （2x +φ）﹣1．再由五点法作图可得 当x =π6时，2×π6+φ=π2， ∴φ=π6，∴所求函数解析式为y =12sin （2x +π6）﹣1． （2）把y ＝sin x 向左平移π6个单位，得到y ＝sin （x +π6）；然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin （2x +π6）； 再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 12得到y =12sin （2x +π6）；最后把函数y =12sin （2x +π6）的图象向下平移1个单位，得到y =12sin （2x +π6）﹣1的图象．七、三角函数的性质1．三角函数的性质，重点应掌握函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，在此基础上，掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)及y ＝A tan(ωx ＋φ)的相关性质．2．该热点是三角函数的重中之重，考查的形式也不唯一，主、客观题均有体现，在难度上较前两热点有所增加，主观题以中档题为主，知识间的联系相对加大．【典例12】已知函数f（x）＝log a cos（2x−π3）（其中a＞0，且a≠1）．（1）求它的定义域；（2）求它的单调区间；（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期．【解答】（1）解cos(2x−π3)＞0得，−π2+2kπ＜2x−π3＜π2+2kπ，k∈Z；∴−π12+kπ＜x＜5π12+kπ，k∈Z；∴f（x）的定义域为(−π12+kπ，5π12+kπ)，k∈Z；（2）设t=cos(2x−π3)，g（t）＝log a t；解−π2+2kπ＜2x−π3≤0+2kπ得，−π12+kπ＜x≤π6+kπ，k∈Z；解0+2kπ＜2x−π3＜π2+2kπ得，π6+kπ＜x＜5π12+kπ，k∈Z；∴t=cos(2x−π3)在(−π12+kπ，π6+kπ]上单调递增，在(π6+kπ，5π12+kπ)上单调递减；①若a＞1，则g（t）为增函数；∴f（x）的单调增区间为(−π12+kπ，π6+kπ]，k∈Z，单调减区间为(π6+kπ，5π12+kπ)，k∈Z；②若0＜a＜1，则g（t）为减函数；∴f（x）的单调递增区间为(π6+kπ，5π12+kπ)，k∈Z，单调减区间为(−π12+kπ，π6+kπ]，k∈Z；（3）f（x）的定义域不关于原点对称，∴为非奇非偶函数；（4）y=cos(2x−π3)为周期函数，周期为π；∴f（x）为周期函数，周期为π．《第五章 三角函数》单元检测试卷（一）基础卷(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若1sin 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A ．78B ．78-C ．34 D ．34-【答案】B 【解析】设4βπα=+，则1sin 4β=，4παβ=-，故27sin 2sin 2cos 22sin 148παβββ⎛⎫=-=-=-=- ⎪⎝⎭.故选：B2．若函数2()cos sin f x x a x b =++在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为M ，最小值为m ，则M m -的值（ ）．A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，且与b 无关C ．与a 无关，且与b 有关D ．与a 无关，且与b 无关【答案】B【解析】由题意22()cos sin sin sin 1f x x a x b x a x b =++=-+++，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令sin [0,1]t x =∈，则()()22211[0,1]24a ah t t at b t b t ⎛⎫=-+++=--+++∈ ⎪⎝⎭，则M 、m 分别为()h t 在[0,1]t ∈上的最大值与最小值，由二次函数的性质可得最大值M 与最小值m 的差M m -的值与a 有关，但与b 无关.故选：B ．3．函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωπϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则ω=( )A ．πB ．23π C ．712π D ．3π【答案】B【解析】将()0,1代入函数解析式，可得：12cos ϕ=，又(),0ϕπ∈-，解得：3πϕ=-；将()2,2-代入函数解析式，可得：cos 213πω⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得：()2 3k k Z πωπ=+∈ , 由图可知:22πω>,即ωπ<,当0k =时，23πω=，故选：B. 4．已知θ是第二象限角，且1cos 22θ=-，那么2θ的值是（ ）A ．1B ．1- C．2D．2-【答案】C【解析】θ是第二象限角，即22,2k k k Z ππθππ+<<+∈，422k k πθπππ+<<+，2θ在第一、三象限，又1cos022θ=-<，∴2θ是第三象限角，∴sin22θ==-，2=cos sin22222θθθθ-===故选：C．5．函数()cos26f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间[0,]π上的零点个数为（）A．0 B．3 C．1 D．2【答案】D【解析】令()cos206f x xπ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，解得2()62x k k Zπππ+=+∈，即()62kx k Zππ=+∈.∵[0,]xπ∈，∴0k=，6xπ=；1k=，23xπ=.故选D.6．如果1|cos|5θ=，532πθπ<<，那么sin2θ的值为（）A．BC．D【答案】C【解析】由532πθπ<<可知θ是第二象限角，1cos5θ∴=-，53422πθπ<<，2θ∴为第三象限角，sin2θ∴==.故选：C 7．已知函数()()2sin210()6f x xπωω=-->在区间,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增，则ω的最大值是（）A ．12B ．32C ．23D ．43【答案】D 【解析】令22,2,622x k k k Z πππωππ⎡⎤-∈-++∈⎢⎥⎣⎦，又函数在,124x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单增，故有26626222k k k Z ππππωπωπππ-+⎪⎧-≥⎪⎪∈⎨⎪-≤⎩+，，解得212,443k k Z k ωω≥-+⎧⎪∈⎨≤+⎪⎩，又0>ω，当0k =时ω取到最大值43故选：D8．已知tan 2tan A B =，()1sin 4A B +=，则()sin A B -=（ ）A ．13B ．14C ．112D ．112-【答案】C【解析】因为tan 2tan A B =，即sin sin 2cos cos A BA B=，所以sin cos 2sin cos A B B A =， 因为()1sin sin cos cos sin 4A B A B A B +=+=，即13cos sin 4A B =，解得11cos sin ,sin cos 126A B A B ==，因为()sin A B -=sin cos cos sin A B A B -，所以()111sin 61212A B -=-=.故选：C二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)1．下列结论正确的是（ ）A ．76π-是第三象限角 B ．若圆心角为3π的扇形的弧长为π，则该扇形面积为32πC ．若角α的终边过点()3,4P -，则3cos 5α=-D ．若角α为锐角，则角2α为钝角 【答案】BC 【解析】选项A ：76π-终边与56π相同，为第二象限角，所以A 不正确；选项B ：设扇形的半径为,,33r r r ππ=∴=，扇形面积为13322ππ⨯⨯=，所以B 正确；选项C ：角α的终边过点()3,4P -，根据三角函数定义，3cos 5α=-，所以C正确；选项D ：角α为锐角时，0<<,02πααπ<<，所以D 不正确，故选:BC2．若将函数()cos 212f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．()g x 的最小正周期为πB ．()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．12x π=不是函数()g x 图象的对称轴 D ．()g x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12- 【答案】ACD【解析】()cos 2cos 28123g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．()g x 的最小正周期为π，选项A 正确；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 时，故()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有增有减，选项B 错误；012g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故12x π=不是()g x 图象的一条对称轴，选项C 正确；当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，且当2233x ππ+=，即6x π=时，()g x 取最小值12-，D 正确．故选：ACD3．关于函数()sin cos f x x x =+()x R ∈，如下结论中正确的是（ ）． A ．函数()f x 的周期是2πB ．函数()f x 的值域是⎡⎣C ．函数()f x 的图象关于直线x π=对称D ．函数()f x 在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增【答案】ACD【解析】A ．∵()sin cos f x x x =+， ∴sin cos cos sin cos sin ()222f x x x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴()f x 是周期为2π的周期函数，A 正确，B ．当[0,]2x π∈时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，此时3,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin 42x π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，∴()f x ∈，又()f x 的周期是2π，∴x ∈R 时，()f x 值域是，B 错；C ．∵()()(2)sin 2cos 2sin cos sin cos ()f x x x x x x x f x πππ-=-+-=-+=+=，∴函数()f x 的图象关于直线x π=对称，C 正确；D ．由B 知[0,]2x π∈时，()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当[0,]4x π∈时，[,]442x πππ+∈，()f x 单调递增，而()f x 是周期为2π的周期函数，因此()f x 在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的图象可以看作是在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上的图象向右平移2π单位得到的，因此仍然递增．D 正确．故选：ACD ．4．下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A ．πsin(3x +） B ．πsin(2)3x - C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x - 【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A,当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，故选：BC.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．函数()sin cos f x ax ax =的最小正周期是π，则实数a =________ 【答案】±1【解析】1()sin cos =sin 22f x ax ax ax =，周期22T a ππ==，解得1a =±.故答案为：±114．已知角α的终边与单位圆交于点(3455，-)，则3cos(2)2πα+=__________. 【答案】2425-【解析】因为角α的终边与单位圆交于点(3455，-)，所以43sin ,cos 55αα==-，所以4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，所以324cos(2)sin 2225παα+==-， 故答案为：2425-15．若sin 5cos αα=，则tan α=____________. 【答案】5【解析】由已知得sin tan 5cos ααα==.故答案为：5. 16．已知α为锐角，3cos(),65πα+=则cos()3πα-=_______.【答案】45【解析】∵3cos(),65πα+=且2663πππα<+<，∴)in(4s 65πα+=；∵()()326πππαα-=-+，∴4cos()cos[()]sin()32665ππππααα-=-+=+=.故答案为：45.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．（1）已知sin(2)cos 2()cos tan()2f ππαααπαπα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，求3f π⎛⎫⎪⎝⎭； （2）若tan 2α=，求224sin 3sin cos 5cos αααα--的值；（3）求()sin 501︒︒+的值；（4）已知3cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求2sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭．结合题目的解答过程总结三角函数求值（化简）最应该注意什么问题？【解析】（1）用诱导公式化简等式可得sin (sin )()cos sin tan f αααααα-⨯-==，代入3πα=可得1cos 332f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故答案为12. （2）原式可化为：2222224sin 3sin cos 5cos 4sin 3sin cos 5cos sin cos αααααααααα----=+ 224tan 3tan 5tan 1ααα--=+， 把tan 2α=代入，则原式44325141⨯-⨯-==+.故答案为1．（3）()()sin 1030cos10sin501sin50sin50cos10cos10︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒+++=⋅=⋅cos40sin 40sin801cos102cos102︒︒︒︒︒===故答案为12. （4）令6x πα=-，则6x πα=-22sin sin sin 3632x x ππππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3sin cos 25x x π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭.解题中应注意角与角之间的关系.18．已知函数()sin (0)f x x ωω=>的图象关于直线94x =对称，且()f x 在[0,2]上为单调函数.（1）求ω；（2）当210,8x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求sin cos x x ωω+的取值范围. 【解析】（1）因为函数()sin f x x ω=的图像关于直线94x =对称． 则9()42k k Z πωπ=+∈，所以42()9k k Z ππω+=∈． 又()f x 在[0]2，上为单调函数，所以022πω<⨯，即04πω<，当20,9k πω==满足题意，当1k -或1,k ω不满足题意．故29πω=．（2）设()sin cos g x x x ωω=+，则()4g x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由（1）得2()94g x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为210,8x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则25,9446x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以21sin ,1942x ππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．故()2g x ∈⎣．所以sin cos x x ωω+取值范围是2⎣． 19．已知函数()()(2sin 03)x x f πωω=+>的最小正周期为π，将()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数()g x 的图象.（1）求函数()g x 的解析式；（2）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若24A g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且4b c +=，求ABC 周长l 的取值范围.【解析】（1）周期2T ππω==，2ω=，()2sin(2)3f x x π=+.将()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向上平移1个单位长度得到2sin )]12sin 22)1[3(6x y x ππ++=-=+.所以()2sin 21g x x =+.（2）2sin 22()14A A g =+=，1sin 22A =.因为022A π<<，所以26A π=，3A π=. 22222cos()31633a b c bc b c bc bc π=+-=+-=-.因为2()44b c bc +≤=，所以04bc <≤.所以416316bc ≤-<，即2416a ≤<，24a ≤<. 所以[6,8)l a b c =++∈.20．已知函数cos 2(0)6y a b x b π⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭的最大值为2，最小值为12-. （1）求a ，b 的值；（2）求函数()4sin 3g x a bx π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小值，并求出对应的x 的集合.【解析】（1）由题知cos 2[1,1]6x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∵0b >，∴0b -<.∴max min3,21,2y b a y b a ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=-+=-⎪⎩∴1,21.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ （2）由（1）知()2sin 3g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∵sin [1,1]3x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴()[2,2]g x ∈-.∴()g x 的最小值为2-，此时sin 13x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由ππ2π32x k -=+()k Z ∈，求得对应的x 的集合为52,Z 6x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.21．函数()()sin f x x ωϕ=+(02πϕ<<，0>ω)的部分图像如图所示（1）求ω，ϕ及图中0x 的值;（2）设()()cos g x f x x π=-，求函数()g x 在区间12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值【解析】（1）由题图得()102f =，∴1sin 2ϕ= ∵02πϕ<<，∴6π=ϕ 又77sin 0666f πω⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴766k πωπ-+=，得1677k ωππ=-,k Z ∈又12732,264ππωω⋅<<⋅，得6372πωπ<<， ωπ∴=；又()00sin 16f x x ππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，且0706x -<<，∴062x πππ+=-，得023x =-，综上所述: ωπ=，6π=ϕ，023x =-；（2）()()cos sin cos 6g x f x x x xππππ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭sin coscos sincos 66x x x πππππ=+-1cos sin 26x x x ππππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ∵12,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，∴132663x ππππ-≤-≤-， 所以当362x πππ-=-时，()max 1g x =;当263x πππ-=-，()min g x =.22．已知(),0,αβπ∈，并且()7sin 52παπβ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，()()απβ-=+，求,αβ的值.【解析】()7sin 5sin 2παπβαβ⎛⎫-=+∴= ⎪⎝⎭()()3cos απβαβ-=+=平方相加得2221sin 3cos 2cos ,cos 22αααα+=∴==±因为()0,απ∈，所以3,44ππα=当4πα=时，cos (0,)26πββπβ=∈∴=当34πα=时，5cos (0,)26πββπβ=-∈∴=因此4πα=，6πβ=或34πα=，56πβ=《第五章 三角函数》单元检测试卷（二）能力卷(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．角–2α=弧度，则α所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【解析】角–2α=弧度，2(,)2ππ-∈--，∴α在第三象限，故选:C .2．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为( )A ．135平方米B ．270平方米C ．540平方米D ．1080平方米【答案】B【解析】根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为S 12=lr 12=⨯45242⨯=270（平方米）.故选：B.3．如果角α的终边过点(2sin 30,2cos30)P ︒︒-，那么sin α等于（ ）A ．12-B ．12C ．D ．【答案】C【解析】由题意得(1,P ，它与原点的距离为2，∴sin 2α=-.故选：C.4．设sin1,cos1,tan1a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【解析】以O 为圆心作单位圆，与x 轴正半轴交于点A ，作1POA ∠=交单位圆第一象限于点P ，做PB x ⊥轴，作AT x ⊥轴交OP 的延长线于点T ，如下图所示：由三角函数线的定义知，cos1OB =，sin1BP =，tan1AT =，因为ππ124>>， AT BP OB ∴>>∴tan1sin1cos1>>∴c a b >>故选：C5．定义运算：12142334a a a a a a a a =-，将函数cos2()sin 2x f x x =的图像向左平移m (0)m >个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ）A ．3π B ．23π C ．43π D ．73π 【答案】C【解析】12142334a a a a a a a a =-，将函数3cos2()1sin 2x f x x =化为()3sincos 2sin 2226x x x f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭再向左平移m （0m >）个单位即为:()2sin 26x m f x m π+⎛⎫+=- ⎪⎝⎭又为偶函数,由三角函数图象的性质可得,即0x =时函数值为最大或最小值,即sin 126m π⎛⎫-= ⎪⎝⎭或sin 126m π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以,262m k k Z πππ-=+∈,即42,3m k k Z ππ=+∈,又0m >,所以m 的最小值是.6．已知()4cos 5αβ+=，()1cos 5αβ-=，则tan tan αβ⋅的值为（ ）A ．12B ．35C ．310-D ．35【答案】B【解析】由4cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，1cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=，联立方程组，可得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-，又由sin sin 3tan tan cos()cos cos 5αβαβαβαβ=+==-.故选：B.7．设函数2()3sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭与函数()2cos(3)||3g x x πϕϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴完全相同，则ϕ的值为( )A ．6π-B ．3π C ．6πD ．3π-【答案】C【解析】由题意，求函数()2cos(3)||3g x x πϕϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴，令3x k ϕπ+=，解得()3k x k Z πϕ-=∈函数2()3sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， 令232x m ππωπ+=+，解得6()m x Z ππωω-=∈， 因为函数2()3sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭与函数()2cos(3)||3g x x πϕϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴完全相同，所以3,6πωϕ==，故选：C.8．函数2()3sin cos 444x x x f x m=+，若对于任意的233x ππ-≤≤有()0f x ≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）.A ．m ≥B ．32m ≥-C ．m ≥D ．32m ≥【解析】2()3sin cos 444x x x f x m=+-+3sin 1cos 22222x x m ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭26x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2,333266x x πππππ-≤≤∴-≤-≤，()f x ∴最小值33022m m -+≥∴≥二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（多选题）已知22tan 2tan 10x y --=，则下列式子成立的是（ ） A ．22sin 2sin 1y x =+ B ．22sin 2sin 1y x =-- C ．22sin 2sin 1y x =- D ．22sin 12cos y x =-【答案】CD【解析】∵22tan 2tan 10x y --=，2222sin sin 210cos cos x yx y-⋅-=， 整理得222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，∴()()()22222221cos 1sin sin cos cos sin cos x x y x y y x ---⋅=+，即22222221cos sin sin cos sin cos cos x y y x y x x --+⋅-⋅=， 即222sin 12cos 2sin 1y x x =-=-，∴C 、D 正确.故选：CD 10．（多选）下列命题中，真命题的是（ ） A ．sin y x =的图象与sin y x =的图象关于y 轴对称 B ．()cos y x =-的图象与cos y x =的图象相同 C ．sin y x =的图象与()sin y x =-的图象关于x 轴对称 D ．cos y x =的图象与()cos y x =-的图象相同【解析】对于A ，sin y x =是偶函数，而sin y x =为奇函数，故sin y x =与sin y x =的图象不关于y 轴对称，故A 错误；对于B ，()cos cos ,cos cos y x x y x x =-===，即其图象相同，故B 正确； 对于C ，当0x <时，()sin sin x y x =-=，即两图象相同，故C 错误； 对于D ，()cos cos y x x =-=，故这两个函数图象相同，故D 正确，故选BD. 11．定义：角θ与ϕ都是任意角，若满足2πθϕ+=，则称θ与ϕ“广义互余”.已知1sin()4πα+=-，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的是（ ）A ．sin 4β= B ．1cos()4πβ+= C ．tan β=D ．tan 5β=【答案】AC【解析】∵1sin()sin 4παα+=-=-，∴1sin 4α=，若2παβ+=，则2πβα=-.A 中，sin sin cos 24πβαα⎛⎫=-==± ⎪⎝⎭A 符合条件；B 中，1cos()cos sin 24ππβαα⎛⎫+=--=-=- ⎪⎝⎭，故B 不符合条件；C 中，tan β=sin ββ=，又22sin cos 1ββ+=，所以sin β=，故C 符合条件；D 中，tan β=，即sin ββ=，又22sin cos 1ββ+=，所以sin 4β=±，故D 不符合条件.故选：AC. 12．对于函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x ≤⎧=⎨>⎩，下列四个结论正确的是（ ）A ．()f x 是以π为周期的函数B ．当且仅当()x k k ππ=+∈Z 时，()f x 取得最小值-1C ．()f x 图象的对称轴为直线()4x k k ππ=+∈ZD ．当且仅当22()2k x k k πππ<<+∈Z 时，0()f x <≤【答案】CD【解析】函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x ⎧=⎨>⎩的最小正周期为2π，画出()f x 在一个周期内的图象，可得当52244k x k ππππ++，k Z ∈时，()cos f x x =， 当592244k x k ππππ+<+，k Z ∈时，()sin f x x =， 可得()f x 的对称轴方程为4x k ππ=+，k Z ∈，当2x k ππ=+或322x k ππ=+，k Z ∈时，()f x 取得最小值1-； 当且仅当22()2k x k k Z πππ<<+∈时，()0f x >，()f x 的最大值为()4f π=可得20()2f x <，综上可得，正确的有CD ．故选：CD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数sin |cos ||sin |cos =+x x y x x的值域是_________. 【答案】{2,0,2}-【解析】根据题意知：2k x π≠，k Z ∈， 当x 在第一象限时，sin |cos |sin cos 2|sin |cos sin cos x x x xy x x x x =+=+=； 当x 在第二象限时，sin |cos |sin cos 0|sin |cos sin cos x x x xy x x x x=+=-=； 当x 在第三象限时，sin |cos |sin cos 2|sin |cos sin cos x x x xy x x x x =+=--=-； 当x 在第四象限时，sin |cos |sin cos 0|sin |cos sin cos x x x xy x x x x=+=-+=； 综上所述：值域为{2,0,2}-.14．若函数2sin 4=++y x x 的最小值为1，则实数a =__________. 【答案】5【解析】2sin 4)4y x x x ϕ=++=++，其中tan 2ϕ=，且ϕ终边过点．所以min 41y ==，解得5a =．15．已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0x π≤≤），且()()13f f αβ==（αβ≠），则αβ+=______.【答案】76π【解析】解法一：∵函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0x π≤≤），72,333x πππ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭. ()()11sin 2sin 20,3332f f ππααββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（αβ≠），不妨假设αβ<，则52,36a πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，1322,36ππβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，5,6122πππα⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，13,612ππβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,43ππα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，511,612ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，135,124ππαβ⎛⎫∴+∈⎪⎝⎭. 再根据sin 2sin 233ππαβ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222232cos sin 22παβαβ++-=()2cos sin 03παβαβ⎛⎫=++-= ⎪⎝⎭cos 03παβ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭，32ππαβ∴++=，或332ππαβ++=，则6παβ+=（舍去）或76παβ+=， 解法二：∵函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0x π≤≤），72,333x πππ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭. ()()13f f αβ==（αβ≠）， 则由正弦函数的图象的对称性可得：3222332πππαβ+++=⋅，即76παβ+=， 16．已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图像关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，关于直线4πx =-对称，最小正周期,2T ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则T =______，()f x 的单调递减区间是______.【答案】23π()225,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】由于()f x 的最小正周期,2T ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0>ω，所以2,242πππωω⎛⎫∈⇒<< ⎪⎝⎭. 由于()f x 图像关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，关于直线4πx =-对称，所以11224,,42k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧+=⎪⎪∈⎨⎪-+=+⎪⎩， 两式相加得()1122,,22k k k k Z πϕπ=++∈，由于02πϕ<<，02ϕπ<<，所以224ππϕϕ=⇒=.则11141,44k k k Z ππωπω=⇒=-∈+，结合24ω<<可得3ω=，所以()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期为23T π=. 由3232242k x k πππππ+≤+≤+，解得225312312k k x ππππ+≤≤+，所以()f x 的减区间为()225,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为：（1）23π；（2）()225,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦五、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知1,sin cos 225x x x ππ-<<+=. (1)求2sin cos sin 1tan x x x x⋅++的值(2)求sin cos x x -的值. 【解析】（1）∵1sin cos 5x x +=. ∴112sinxcosx 25+=，即12sinxcosx 25=- ()2sin cos sin 1tan 1sinx cosx sinx x x x sinx x cosx+⋅+=++，()12sinxcosx 25sinxcosx cosx sinx sinx cosx+===-+ （2）由（1）知12sinxcosx 25=-＜0，又22x ππ-<<∴cosx 0sinx 0＞，＜，∴7sin cos 5x x -===-18．函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的一段图象如图所示（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的单调增区间，并指出()f x 的最大值及取到最大值时的集合； （3）把()f x 的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．【解析】（1）由函数的图象可得33234444A T πππω==⨯=-，，解得25ω=．再根据五点法作图可得2254，πϕπ⨯+=∈k k Z ，由2πϕ<，则令0k =2310510，（）．ππϕ⎛⎫∴=-∴=- ⎪⎝⎭f x sin x （2）令222,25102k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，求得3552k x k ππππ-≤≤+，故函数的增区间为[3[5,5],.2k k k Z ππππ-+∈ 函数的最大值为3，此时，225102x k πππ-=+，即352x k k Z ππ=+∈，，即f x （）的最大值为3，及取到最大值时x 的集合为3{|5,}2x x k k Z ππ=+∈. （3）设把()23sin 510f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左至少平移m 个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．则由()2251052ππ+-=+x m x ，求得32π=m ， 把函数()23sin 510f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移32π个单位，可得223sin 3cos 525π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭y x x 的图象．19．已知函数()()2032f x cos xsin x πωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭， ，求()f x 在66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的值域.从①若()()12122f x f x x x -=-，的最小值为2π；②()f x 两条相邻对称轴之间的距离为2π；③若()()12120f x f x x x ==-，的最小值为2π，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.【解析】由于()232f x cos xsin x πωω⎛⎫=-+⎪⎝⎭12cos sin 2x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭[]1sin 22sin 21,123x x x πωωω⎛⎫==-∈- ⎪⎝⎭. 所以①②③都可以得到()f x 的半周期为2π，则1222πππωωω==⇒=. 所以()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于66x ππ-≤≤，22033x ππ-≤-≤， 所以()[]1,0f x ∈-，即()f x 的值域为[]1,0-.20．已知函数()22sin cos cos x x x x x f =-+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若()f α=πcos 43α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【解析】（1）()22sin cos cos x x x x x f =-+cos22x x =-+12sin 2cos 222x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴πT =. （2）∵()f α=π2sin 265α⎛⎫-= ⎪⎝⎭πsin 265α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴2πππ23cos 4cos 2212sin 2136655ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.21．已知函数21()cos2sin 12sin 22x f x x x ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭，其中x ∈R .（1）求使得1()2f x ≥的x 的取值范围； （2）若函数3()224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且对任意的12,[0,]x x t ∈，当12x x <时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求正实数t 的最大值.【解析】（1）由题意得，21()cos212sin sin 22224x f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令12242x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，得sin 242x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭即3222444k x k πππππ+≤+≤+，故x 的取值范围为,,4k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦（2）由题意得，()()()()1122f x g x f x g x -<-令3()()()2sin 22424h x f x g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos 22cos 2222222x x x x ⎫⎫=+--+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭sin 2x = 即()()12h x h x <故()h x 在区间[0,]t 上为增函数 由22222k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈得出，44k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈则函数()h x 包含原点的单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦即4t π≤故正实数t 的最大值为4π. 22．某班级欲在半径为1米的圆形展板上做班级宣传，设计方案如下：用四根不计宽度的铜条将圆形展板分成如图所示的形状，其中正方形ABCD 的中心在展板圆心，正方形内部用宣传画装饰，若铜条价格为10元/米，宣传画价格为20元/平方米，展板所需总费用为铜条的费用与宣传画的费用之和．（1）设OPA α∠=，将展板所需总费用表示成α的函数；（2）若班级预算为100元，试问上述设计方案是否会超出班级预算？ 【解析】（1）过点O 作OH AB ⊥，垂足为H ，则cos PH α=，sin OH α=，正方形ABCD 的中心在展板圆心，∴铜条长为相等，每根铜条长2cos α，22sin AD OH α∴==，∴展板所需总费用为280cos 80sin 02y πααα⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭．（2）2280cos 80sin 80cos 80cos 80y αααα=+=-++2180cos 1001002α⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭，当1cos 2α=时等号成立.∴上述设计方案是不会超出班级预算．。
2023最新人教版高中数学必修一第五章《三角函数》单元测试(附答案解析)
试卷第 4 页，共 4 页
1．C
参考答案：
【解析】运用诱导公式，结合特殊角的三角函数值即可化简求解.．
【详解】 cos
150
cos150 cos(1800 300 ) cos 300
3， 2
故选：C．
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关三角函数化简求值问题，正确解题的关键是熟练应 用诱导公式以及熟记特殊角三角函数值. 2．A
答案第 2 页，共 12 页
【详解】 f (x) sin x cos
2
sin( x
π 4
)
，因为
x
a
,
b
，所以
x
π 4
a
π 4
,
b
π 4
，因
为 1
2
sin( x
π 4
)
2 ，所以
2 2
sin( x
π 4
)
1.
正弦函数
y
sin
x
在一个周期
π 2
,
3π 2
内，要满足上式，则
x
π 4
π 4
f
x
sin x
的图象过点
1 3
,1
，若
f
x 在2, a 内有
5
个
零点，则 a 的取值范围为______.
四、解答题
17．在① sin
6 3
，②
tan 2
2 tan 4 0 这两个条件中任选一个，补充到下面的
问题中，并解答.
已知角 a 是第一象限角，且___________.
(1)求 tan 的值；
S1 S2
2
1 2
可求得
三角函数》单元测试卷含答案
三角函数》单元测试卷含答案三角函数》单元测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（。
）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.集合M={x|x=kπ/2±π/4，k∈Z}与N={x|x=kπ/4，k∈Z}之间的关系是（。
）A.M∩NB.M∪NC.M＝ND.M∩N=∅3.若将分针拨慢十分钟，则分针所转过的角度是（。
）A.60°B.－60°C.30°D.－30°4.已知下列各角（1）787°，(2)－957°，(3)－289°，(4)1711°，其中在第一象限的角是（。
）A.（1）（2）B.（2）（3）C.（1）（3）D.（2）（4）5.设a＞0，角α的终边经过点P（－3a，4a），那么sinα＋2cosα的值等于（。
）A.5/21B.－1/55C.－5/13D.－2/56.若cos(π＋α)＝－3/22，π＜α＜2π，则sin(2π－α)等于（。
）A.－2/3B.3/2C.－2/5D.3/47.若是第四象限角，则απ－α是（。
）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角8.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（。
）A.2B.2sin1C.2cos1D.sin29.如果sinx＋cosx＝4/3，且π/4＜x＜π/2，那么cotx的值是（。
）A.－3/4B.－4/3或－3/4C.－4/3D.3/4或－3/410.若实数x满足log2x＝2＋sinθ，则|x＋1|＋|x－10|的值等于（。
）A.2x－9B.9－2xC.11D.9二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.tan300°＋cot765°的值是_____________.12.若sinα＋cosα=2，则sinαcosα的值是_____________.13.不等式（lg20)2cosx＞1，(x∈(0，π))的解集为_____________.14.若θ满足cosθ＞－1/2，则角θ的取值集合是_____________.15.若cos130°＝a，则tan50°＝_____________.16.已知f(x)=sin2x+cosx，则f(π/6)为_____________.sinα＝√(1-cos^2α)＝√(1-(2x^2/(x^2+5^2)))＝√((25-x^2)/(x^2+25))，tanα＝sinα/cosα＝(25-x^2)/(2x)。
北师大版数学八年级上第一章三角函数单元检测题含答案
北师大版数学八年级上第一章三角函数单
元检测题含答案
一、选择题
1. 下面那个角不是锐角？
A. 40°
B. 75°
C. 120°
D. 160°
答案：D
2. 在一个三角形中，如果一个角是直角，则其余两个角的和是多少度？
A. 45°
B. 90°
C. 120°
D. 180°
答案：C
二、填空题
1. 在单位圆上，角θ对应的弧长为$\frac{\pi}{6}$，则$\sinθ$的值是\_\_\_\_\_\_\_。
答案：0.5
2. 若$\cosθ = -0.8$，则角θ的终边位于哪个象限？
答案：第二象限
三、解答题
1. 已知直角三角形的一条直角边的长度为5cm，斜边的长度为13cm，求另一个直角边的长度。
答案：12cm
2. 已知$\sinθ = \frac{3}{5}$，求$\cosθ$和$\tanθ$的值。
答案：$\cosθ = \frac{4}{5}$，$\tanθ = \frac{3}{4}$
四、计算题
1. $\sin30° + \cos45°$的值等于\_\_\_\_\_\_\_。
答案：$\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$
2. $\sin(30° + 45°)$的值等于\_\_\_\_\_\_\_。
答案：$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
以上是北师大版数学八年级上第一章三角函数单元检测题的内容和答案。
希望对你有帮助！。
人教版高一上学期数学必修一《第五章三角函数》章节检测卷-含答案
人教版高一上学期数学必修一《第五章三角函数》章节检测卷-含答案1.已知cos θ·tan θ＜0,那么角θ是第 3,4 象限角.2.已知θ∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ且sin θ+cos θ=a ，其中a ∈(0，1），则关于tan θ的值，以下四个答案中，可能正确的是 3 （填序号）. ①-3 ②3或31③-31 ④-3或-313.设θ为第三象限角，试判断2cos2sin θθ的符号为 负号 .4.已知sin(π-α)-cos(π+α)=⎪⎭⎫⎝⎛<<παπ232.求下列各式的值： （1）sin α-cos α=34; （2）)2(cos )2(sin 33a a ++-ππ= 2722-5. 已知函数f (x )=1cos 21cos 3cos 2224-+-x x x 的定义域为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,42ππ值域为 ]0,1[- ，奇偶性为 偶 .6.函数f (x )=tan ωx (ω＞0)的图象的相邻的两支截直线y =4π所得线段长为4π,则f （4π）的值是 0 .7.为了得到函数y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+63πx ，x ∈R 的图象，只需把函数y =2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点向 平移单位，再把所有各点的横坐标变为原来的 倍.8.函数y =2sin （6π-2x ）(x ∈［0，π］)为增函数的区间是 ]65,3[ππ .10.给出下列命题：①函数y =cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+232πx 是奇函数；②存在实数α,使得sin +cos =;③若、是第一象限角且α＜β,则tan α＜tan β; ④x =8π是函数y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+452πx 的一条对称轴方程；⑤函数y =sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π成中心对称图形. 其中命题正确的是 1，4 （填序号）.11 如图为y =A sin （ωx +ϕ）的图象的一段，求其解析式为 .12.方程x e ＋x=2的根所在的一个区间是( )A.(－2，－1)B.(－1,0)C.(0,1)D.(1,2)13.设定义域为),0(+∞的单调函数)(x f ,若对任意的),0(+∞∈x ,都有11)log )((21=+x x f f ,则方程xx f 2)(=解的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．014.已知函数()x f 为R 上的奇函数，当时αα23αβ)322sin(3π-=x y 0>x )cos 3cos 2cos (21)(ααα++++=x x x f(),若对任意实数,则实数的取值范围是（ ）A ．B ．5π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．D ．15.已知函数y =3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-421πx（1）用五点法作出函数的图象；（2）说明此图象是由y =sin x 的图象经过怎么样的变化得到的； （3）求此函数的振幅、周期和初相； （4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心.16、已知定义域R 的函数的奇函数.（1）求；（2）若对任意的，不等式恒成立，求k 的取值范围.ππα-≤≤,(()x f x f x ∈-R 都有≤恒成立α2ππ,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦2π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦abx f x x ++-=+122)(的值b a ,R t ∈0)2()2(22<-+-k t f t t f参考答案1.已知cos θ·tan θ＜0,那么角θ是第 象限角. 答案 三或四2.已知θ∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ且sin θ+cos θ=a ，其中a ∈(0，1），则关于tan θ的值，以下四个答案中，可能正确的是 （填序号）. ①-3 ②3或31③-31④-3或-31答案 ③3.设θ为第三象限角，试判断2cos2sin θθ的符号为 . 解 ∵θ为第三象限角∴2k π+π＜θ＜2k π+(k ∈Z )k +(k ∈Z ). 当k -2n (n ∈Z )时，2n +ππθπ43222+<<n此时在第二象限. ∴sin2θ＞0,kos 2θ＜0. 因此＜0. 当k =2n +1(n ∈Z )时(2n +1)π+2π＜2θ＜(2n +1)π+43π(n ∈Z ) 即2n π+23π＜2θ＜2n π+47π(n ∈Z )此时2θ在第四象限. ∴sin2θ＜0,cos2θ＞0,因此2cos2sin θθ＜0 综上可知：2cos2sin θθ＜0. 4.已知sin(π-α)-cos(π+α)=⎪⎭⎫⎝⎛<<παπ232.求下列各式的值： （1）sin α-cos α= ;（2）)2(cos )2(sin 33a a ++-ππ=5.已知函数f (x )=1cos 21cos 3cos 2224-+-x x x ,求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性.解 由题意知cos2x ≠0，得2x ≠k π+2π解得x ≠42ππ+k （k ∈Z ）. 所以f (x ）的定义域为2cos2sin θθ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈k k x x x ,42ππ且,. 又f （x )= x x x 2cos 1cos 3cos 224+-=xx x 2cos 1cos )1cos 2(22--=cos 2x -1=-sin 2x .又定义域关于原点对称，∴f （x ）是偶函数. 显然-sin 2x ∈［-1，0］，但∵x ≠42ππ+k ,k ∈Z . ∴-sin 2x ≠-21. 所以原函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<--<≤-021211|y y y 或.6.函数f (x )=tan ωx (ω＞0)的图象的相邻的两支截直线y =4π所得线段长为4π,则f （4π）的值是 . 答案 07.为了得到函数y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+63πx ，x ∈R 的图象，只需把函数y =2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点向 平移单位，再把所有各点的横坐标变为原来的 倍. 答案 左6π3 8.函数y =2sin （6π-2x ）(x ∈［0，π］)为增函数的区间是 . 答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,3ππ 9.函数f (x )=lg(sin2x +3cos2x -1)的定义域是 . 答案 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧Z ∈+<<-k k x k x ,412|ππππ 10.给出下列命题：①函数y =cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+232πx 是奇函数；②存在实数α,使得sin α+cos α=23;③若α、β是第一象限角且α＜β,则tan α＜tan β; ④x =8π是函数y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+452πx 的一条对称轴方程；⑤函数y =sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π成中心对称图形. 其中命题正确的是 （填序号）. 答案 ①④11 如图为y =A sin （ωx +ϕ）的图象的一段，求其解析式. 解 方法一 以N 为第一个零点Z R则A=-3，T =2⎪⎭⎫⎝⎛-365ππ=π ∴ω=2，此时解析式为y =-3sin （2x +ϕ）.∵点N ⎪⎭⎫⎝⎛-0,6π，∴-6π×2+ϕ=0，∴ϕ=3π所求解析式为y =-3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx .①方法二 由图象知A =3以M ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,3π为第一个零点，P ⎪⎭⎫⎝⎛0,65π为第二个零点. 列方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+•=+•πϕπωϕπω6503 解之得⎪⎩⎪⎨⎧-==322πϕω. ∴所求解析式为y =3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-322πx .15.已知函数y =3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-421πx（1）用五点法作出函数的图象；（2）说明此图象是由y =sin x 的图象经过怎么样的变化得到的； （3）求此函数的振幅、周期和初相；（4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 解 （1）列表：描点、连线,如图所示：（2）方法一 “先平移，后伸缩”. 先把y =sin x 的图象上所有点向右平移4π个单位，得到y =sin ⎪⎭⎫⎝⎛-4πx 的图象；再把y =sin ⎪⎭⎫⎝⎛-4πx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-421πx 的图象，最后将y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-421πx 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y =3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-421πx 的图象.方法二 “先伸缩，后平移”先把y =sin x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y =sin 21x 的图象；再把y =sin21x 图象上所有的点向右平移2π个单位 得到y =sin 21(x -2π)=sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-42πx 的图象，最后将y =sin ⎪⎭⎫⎝⎛-42πx 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y =3sin ⎪⎭⎫⎝⎛-421πx 的图象.（3）周期T =ωπ2=212π=4π，振幅A =3，初相是-. (4)令=+k (k ∈Z ) 得x =2k +(k ∈Z ),此为对称轴方程. 令x -=k (k ∈Z )得x =+2k (k ∈Z ). 对称中心为(k ∈Z ).4π421π-x 2πππ23π214ππ2ππ⎪⎭⎫⎝⎛+0,22ππk。
三角函数全章综合测试卷(提高篇)(解析版)
三角函数全章综合测试卷（提高篇）参考答案与试题解析第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（2024高三·北京·专题练习）下列说法中，正确的是（）A．第二象限角都是钝角B．第二象限角大于第一象限角C．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合D．若角α与角β的终边在一条直线上，则−＝b180°(∈Z)【解题思路】根据终边相同的角判断A，B，C，再根据终边在一条直线上列式判断D.【解答过程】A错，495°＝135°+360°是第二象限角，但不是钝角；B错，=135°是第二象限角，＝360°+45°是第一象限角，但<；C错，=360°,=720°，则≠，但二者终边重合；D正确，α与β的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差180°的整数倍，故−＝b180°(∈Z).故选：D.2．（5分）（24-25高二上·湖北荆州·阶段练习）已知cos=−∈0,则sin2=（）A B C D【解题思路】以+π4为整体，利用诱导公式结合倍角公式求sin2s cos2，结合两角和差公式运算求解.【解答过程】因为∈0,+π4且cos+=−sin+=4=则sin2=sin2+=−cos2=1−2+45，cos2=cos2+−+cos+=−35，所以sin2=12sin2=故选：A.3．（5分）（2024·四川·模拟预测）已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，若其终边经过点−2,5，则sin2cos2r1）A．B．−C．D．【解题思路】根据切弦互化和齐次化以及同角的三角函数基本关系式即可求解.【解答过程】由题意知tan则原式=2sinvos2cos2rsin2=2tan2+tan2=52+54=−故选：B.4．（5分）（23-24高一上·全国·课后作业）已知cos=−13，且为第二象限角,tan=2，则）A BC D【解题思路】先根据同角三角函数关系求正弦，再弦化切应用tan=2，结合诱导公式代入求值即可.【解答过程】因为cos=−13，且为第二象限角，所以sin==sinvos+3cosLin−cosvos−3sinLinsin+3cosMan−cos−3sinMan=211故选:C.5．（5分）（23-24高一下·四川·期中）筒车亦称“水转筒车”，是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）．假设在水流量稳定的情况下，一个半径为8m的筒车按逆时针方向做4min一圈的匀速圆周运动，已知筒车的轴心O到水面的距离为43m，且该筒车均匀分布有8个盛水筒（视为质点），以筒车上的某个盛水筒P刚浮出水面开始计时，设转动时间为t（单位：min），则下列说法正确的是（）①=1min时，盛水筒P到水面的距离为4+43m；②=43min与=2min时，盛水筒P到水面的距离相等；③经过34min，盛水筒P共8次经过筒车最高点；④记与盛水筒P相邻的盛水筒为Q，则P，Q到水面的距离差的最大值为43m．A．①②B．②③C．①③④D．①②④【解题思路】建立直角坐标系，依题意作图，分析其中的几何关系判断①②，利用周期判断③，求出距离差的表达式结合三角变换求最值判断④即可．【解答过程】依题意作图如下：以水车的轴心为原点建立直角坐标系如图，由题可知水车旋转一周的时间为4min，当刚露出水面时，与轴的夹角是30°，相邻盛水桶之间的夹角是45°，当旋转=1min时，旋转了360°4=90°，旋转到点，此时点到水面的距离为43+8sin30°=4+43，所以①正确；②当=43min时，旋转了13周，即120°，此时的位置是点，与轴正半轴的夹角是180°−(30°+120°)=30°，当=2min时，旋转了180°，即点，与轴正半轴的夹角也是30°，点与点到水面的距离相等，所以②正确；③经过34min，则水车转过了344=8.5个周期，所以盛水桶共9次经过最高点，故③错误；④设在的上方，B与轴负方向的夹角为，(0∘<<180∘)，则B与轴负方向的夹角为+45°，相邻两筒到水面的距离差为：43−+(438cosp=8[cos−cos(45°+p]=81−+2−2cos(−p，其中cos=sin=22−当=时取最大值为82−2，故④错误；故选：A．6．（5分）（24-25高三上·天津北辰·期中）函数=cos3sin−cos，则下列结论正确的有（）①函数的最大值为12；②函数0；③函数在−π6④=sin2，将图象向右平移π12单位，再向下平移12个单位可得到的图象.A．①③B．①④C．②③D．③④【解题思路】先化简函数为=sin2−6−12，再利用正弦函数的性质逐项判断.【解答过程】=cos3sin−cos=3sinvos−cos2=−1+cos22=sin2−12cos2−12=sin2−12，①函数的最大值为12，故正确；②易知函数的对称中心的纵坐标为−12，故错误；③由∈−π62−π6∈−π2因为=sin在−π2在−π6④由=sin2，将图象向右平移π12单位得到=sin2−=sin2−再向下平移12个单位可得到=sin2−12的图象，故正确；故选：B.7．（5分）（23-24高一下·福建福州·期末）函数=Lin B+>0,>0,<的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．=2sin2B．在−π4C．的图象向右平移π4个单位长度后得到的函数是奇函数D．在−π,π上的零点有4个【解题思路】由图象确定所对应的解析式，可判断A，然后根据正弦函数的性质即可判断BCD，从而可得结果.【解答过程】由图可知=2,2=5π8−π8=π2，又>0，所以=2π=π，解得=2，所以=2sin2+2，所以=2sin+=2，即sin4+=1<π2，所以π4+=π2，则=π4，所以=2sin2A错误；当∈−π42+π4∈−π4=sin在−π4所以在−π4B错误；将的图象向右平移π4个单位长度后得到=2sin2−+=2sin2C错误：令=0，即2sin2=0，即2+π4=χ,∈，解得=−π8+χ2,∈，所以在−π,π上的零点有−5π8,−π8,3π8,7π8共4个，故D正确．故选：D.8．（5分）（23-24高一上·天津滨海新·期末）若函数=sin B−（>0，<π2）的最小正周期为，且给出下列判断：①若=3，则函数的图象关于直线=π4对称②若在区间的取值范围是0,6③若在区间π,2π内没有零点，则的取值范围是0,∪④若的图象与直线=−1在0,2π上有且仅有1个交点，则其中，判断正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】由题设可得=sin B−−π4<χ8−π4≤π2求参数范围判断②；由区间零点及正弦函数性质，讨论2χ−π4≤0、χ−π4≥0研究参数范围判断③；由题设B−π4∈[−π4,2χ−π4]，结合题设及正弦函数性质有3π2≤−π4<7π2求参数范围判断④.【解答过程】由=2π，则=sin2π−=−sin sin=<π2，所以=π4，故=sin B当=3，则=sin3×π4−=1，故函数的图象关于直线=π4对称，①对；当∈B−π4∈[−π4,χ8−π4]，且在区间所以−π4<χ8−π4≤π2，可得0<≤6，②对；当∈π,2π，则B−π4∈χ−π4,2χ−在区间π,2π内没有零点，若2χ−π4≤0，则0<≤18，此时满足题设；若χ−π4≥0，则≥14，故χ−π4≥χ2χ−π4≤(+1)π，可得≥r14≤2+58且∈N，所以=0，可得14≤≤5；综上，的取值范围是0,∪当∈[0,2π]，则B−π4∈[−π4,2χ−π4]，又的图象与直线=−1在0,2π上有且仅有1个交点，故3π2≤2χ−π4<7π2，所以78≤<158，即.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
人教版高一上学期数学必修一《第五章三角函数》章节检测卷-带答案
人教版高一上学期数学必修一《第五章三角函数》章节检测卷-带答案1.已知θ2sin )21(＜1,则θ所在象限为第 象限.2.已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第 象限.3.已知sin θ=a a+-11,cos θ=aa +-113,若θ是第二象限角，则cot a = .4.sin 2(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1的值为 .5.如果cos α=51,且α是第四象限的角,那么cos ⎪⎭⎫⎝⎛+2πα= .6.已知cos(π+α)=-21,且α是第四象限角，计算： (1)sin(2π-α)= ; (2) [][])2cos()2sin()12(sin )12(sin παπαπαπαn n n n -•++-+++ (n ∈Z )= .7.化简：αααα6644sin cos 1sin cos 1----= .8.已知函数f (x )=2sin ωx (ω＞0)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,3ππ上的最小值是-2，则ω的最小值等于 .9.函数y =A sin(ωx +ϕ)(ω＞0,|ϕ|＜ 2π,x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为 .10. 某三角函数图象的一部分如下图所示，则该三角函数为 .11.若函数f (x )=2sin(ϕω+x )对任意x 都有f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 6π=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 6π，则f ⎪⎭⎫⎝⎛6π= .12.函数y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的单调减区间为 .13.求f (x )=)2cos(21x --π的定义域和值域.14.已知函数y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象可由y =sin x 的图象经过怎样的变换而得到.15.已知函数f (x )=2A - 2A cos(2ωx +2ϕ) (A ＞0, ω＞0,0＜ϕ＜2π),且y =f (x )的最大值为2，其图象相邻 两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）. （1）求ϕ;(2)计算f (1)+f (2)+…+f (2 008).参考答案1.已知θ2sin )21(＜1,则θ所在象限为第 象限.答案 一或三2.已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第 象限. 答案 二3.已知sin θ=a a+-11,cos θ=aa +-113,若θ是第二象限角，则cot a = . 解 ∵θ是第二象限角，∴sin θ＞0,cos θ＜0∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-=<-<+-=<0113cos 1111sin 0a a a a θθ，解得0＜a ＜31.又∵sin 2θ+cos 2θ=1∴11131122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a a a a解得a =91或a =1(舍去），故实数a 的值为91.4.sin 2(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1的值为 .答案 25.如果cos α=51,且α是第四象限的角,那么cos ⎪⎭⎫⎝⎛+2πα= .答案562 6.已知cos(π+α)=-21,且α是第四象限角，计算： (1)sin(2π-α)= ; (2)[][])2cos()2sin()12(sin )12(sin παπαπαπαn n n n -•++-+++ (n ∈Z )= .解 ∵cos(π+α)=-21,∴-cos α=-21,cos α=21又∵α是第四象限角，∴sin α=-23cos 12-=-α. （1）sin(2π-α)=sin ［2π+(-α)］ =sin(-α)=-sin α=23. （2）[][])2cos()2sin()12(sin )12(sin παπαπαπαn n n n -•++-+++=)2cos()2sin()2sin()2sin(απαπαππαππ+-•++--+++n n n n=αααπαπcos sin )sin()sin(•+-++=αααπαcos sin )sin(sin •---=αααcos sin sin 2•-=αcos 2-=-4.7.化简：αααα6644sin cos 1sin cos 1----= .解 方法一 原式=αααααααα6632244222sin cos )sin (cos sin cos )sin (cos --+--+=32)sin (cos sin cos 3sin cos 2222222=+•αααααα. 方法二 原式=ααααααα6422422sin )cos cos 1)(cos 1(sin )cos 1)(cos 1(-++--+-8.已知函数f (x )=2sin ωx (ω＞0)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,3ππ上的最小值是-2，则ω的最小值等于 .答案 239.函数y =A sin(ωx +ϕ)(ω＞0,|ϕ|＜2π,x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为 . 答案 y =-4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+48ππx10.某三角函数图象的一部分如下图所示，则该三角函数为 .答案 y =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-62πx11.若函数f (x )=2sin(ϕω+x )对任意x 都有f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 6π=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 6π，则f ⎪⎭⎫⎝⎛6π= .答案 -2或212.求函数y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的单调减区间为 .解 方法一 y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π化成y =-2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx .1分∵y =sin u (u ∈R )的递增、递减区间分别为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππk k （k ∈Z ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++232,22ππππk k (k ∈Z ) ∴函数y =-2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx 的递增、递减区间分别由下面的不等式确定2k π+2π≤x -4π≤2k π+23π（k ∈Z ) 即2k π+43π≤x ≤2k π+47π（k ∈Z ) 2k π-2π≤x -4π≤2k π+2π（k ∈Z )即2k π-4π≤x ≤2k π+43π（k ∈Z ).∴函数y=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π的单调递减区间、单调递增区间分别为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-432,42ππππk k （k ∈Z ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++472,432ππππk k （k ∈Z ).方法二 y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π可看作是由y =2sin u 与u =x -4π复合而成的.又∵u =x -4π为减函数∴由2k π-2π≤u ≤2k π+2π（k ∈Z ) -2k π-4π≤x ≤-2k π+43π (k ∈Z ). 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---432,42ππππk k （k ∈Z ）为y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的递减区间. 由2k π+2π≤u ≤2k π+23π(k ∈Z ) 即2k π+2π≤4π-x ≤2k π+23π (k ∈Z )得 -2k π-45π≤x ≤-2k π-4π(k ∈Z ) 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡----42,452ππππk k （k ∈Z )为y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的递增区间.综上可知：y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡----42,452ππππk k （k ∈Z ）； 递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---432,42ππππk k （k ∈Z ）.13.求f (x )=)2cos(21x --π的定义域和值域.解 由函数1-2cos ⎪⎭⎫⎝⎛-x 2π≥0,得sin x ≤22,利用单位圆或三角函数的图象，易得所求函数的定义域是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤-k k x k x ,42452|ππππ. 当sin x =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-x 2π=22时，y min =0; 当sin x =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-x 2π=-1时，y max =21+.所以函数的值域为［0，21+］.Z14.已知函数y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象可由y =sin x 的图象经过怎样的变换而得到.解 （1）y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的振幅A =2,周期T =22π=π 初相ϕ=3π. （2）令X =2x +3π,则y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx =2sin X .列表，并描点画出图象：（3）方法一 把y =sin x 的图象上所有的点向左平移3π个单位，得到y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πx 的图象，再把y =sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πx 的图象上的点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象，最后把y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象. 方法二 将y =sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的21倍，纵坐标不变，得到y =sin2x 的图象； 再将y =sin2x 的图象向左平移6π个单位； 得到y =sin2⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πx =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象；再将y =sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象.15.已知函数f (x )=2A - 2A cos(2ωx +2ϕ) (A ＞0, ω＞0,0＜ϕ＜2π),且y =f (x )的最大值为2，其图象相邻 两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）.（1）求ϕ;(2)计算f (1)+f (2)+…+f (2 008). 解 （1）∵y =2A - 2Acos(2ωx +2ϕ) 且y =f (x )的最大值为2，A ＞0 ∴2A +2A=2,A =2. 又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2,ω＞0 ∴21⎪⎭⎫ ⎝⎛ωπ22=2, ω=4π.∴f (x )= 22-22cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕπ22x =1-cos ⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ22x .∵y =f (x )过(1,2)点，∴cos ⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ22=-1.ϕπ22+=2k π+π,k ∈Z .∴ϕ=k π+4π,k ∈Z . 又∵0＜ϕ＜2π，∴ϕ=4π.(2)∵ϕ=4π,∴f (x )=1-cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+22ππx =1+sin x 2π.∴f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=2+1+0+1=4.又∵y =f (x )的周期为4，2 008=4×502∴f （1）+f （2）+…+f （2 008）=4×502=2 008.。
《第五章 三角函数》章节复习与单元检测试卷(共四套)
《第五章三角函数》单元复习同角三角函数基本关系和诱导公式的应用【例1】(1)已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝________.(2)已知f(α)＝sin2(π－α)·cos(2π－α)·tan(－π＋α) sin(－π＋α)·tan(－α＋3π).①化简f(α)；②若f(α)＝18，且π4＜α＜π2，求cos α－sin α的值；③若α＝－47π4，求f(α)的值．[思路点拨] 先用诱导公式化简，再用同角三角函数基本关系求值．(1)13 [由已知得－sin θ－2cos θ＝0，故tan θ＝－2，则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝－2＋1－2－1＝13.](2)[解] ①f (α)＝sin 2α·cos α·tan α(－sin α)(－tan α)＝sin α·cos α.②由f (α)＝sin α·cos α＝18可知，(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2α ＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34，又∵π4＜α＜π2，∴cos α＜sin α， 即cos α－sin α＜0， ∴cos α－sin α＝－32. ③∵α＝－474π＝－6×2π＋π4， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－474π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－474π·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－474π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4＝cosπ4·sin π4＝22×22＝12.1．将本例(2)中“18”改为“－18”“π4＜α＜π2”改为“－π4＜α＜0”求cos α＋sin α.[解] 因为－π4＜α＜0，所以cos α＞0，sin α＜0且|cos α|＞|sin α|， 所以cos α＋sin α＞0，又(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－18＝34，所以cos α＋sin α＝32. 2．将本例(2)中的用tan α表示1f (α)＋cos 2α.[解]1f (α)＋cos 2α＝1sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋1tan α＋1.1．牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α.2．诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z )的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．三角函数的图象变换问题【例2】 (1)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2(2)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.π2B.π4 C ．0 D ．－π4(1)D (2)B [(1)因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以曲线C 1：y ＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线y ＝cos 2x ，再把得到的曲线y ＝cos 2x 向左平移π12个单位长度，得到曲线y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.故选D.(2)y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后 得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ.若该函数为偶函数， 则π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，故φ＝k π＋π4.当k ＝0时φ＝π4.故选B.]1．函数y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 图象的两种方法2．对称变换(1)y ＝f (x )的图象――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象．(2)y ＝f (x )的图象――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象．(3)y ＝f (x )的图象――――→关于(0，0)对称y ＝－f (－x )的图象．1．将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3D [函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D.]三角函数的性质【例3】 (1)若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，则f (x )在[0，π]上的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π (2)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数)． ①求f (x )的单调区间；②若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值．[思路点拨] (1)先根据函数f (x )是偶函数，求θ，再依据单调性求增区间，最后与[0，π]求交集．(2)①由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 求增区间，由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z 求减区间．②先求f (x )的最大值，得关于a 的方程，再求a 的值． (1)B [因为函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数， 所以θ＝π2，f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝3cos 2x ，令2k π－π≤2x ≤2k π，得k π－π2≤x ≤k π，可得函数f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z ，所以f (x )在[0，π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.](2)[解] ①由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )，由π2＋2k π≤2x＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ， ∴函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )． ②∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，∴f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4，∴a ＝1.1．求本例(2)中函数y ＝f (x )，x ∈R 取最大值时x 的取值集合． [解] 当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π2＋2k π， ∴2x ＝π3＋2k π，∴x ＝π6＋k π，k ∈Z . ∴当f (x )取最大值时，x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝π6＋k π，k ∈Z. 2．在本例(2)的条件下，求不等式f (x )＜1的解集． [解] 由f (x )＜1得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2＜1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＜－12所以2k π－5π6＜2x ＋π6＜2k π－π6，k ∈Z . 解得k π－π2＜x ＜k π－π6，k ∈Z . 所以不等式f (x )＜1的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π－π2＜x ＜k π－π6，k ∈Z.三角恒等变换的综合应用【例4】 已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性．[解] (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增， 当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减．三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.(1)求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问题，一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变形为y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k 或y ＝A cos (ωx ＋φ)＋k 等形式，让角和三角函数名称尽量少，然后再根据正、余弦函数基本性质和相关原理进行求解.(2)要注意三角恒等变换中由于消项、约分、合并等原因，函数定义域往往会发生一些变化，所以一定要在变换前确定好原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析问题.2．已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．[解] (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }． 因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin 2x －cos 2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－1， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递减区间为2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． 由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈Z )， 得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )．三角函数的平面几何中的应用【例5】 直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2米，过点P 的一直线与走廊的外侧两边交于A ，B 两点，且与走廊的一边的夹角为θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2.(1)将线段AB 的长度l 表示为θ的函数；(2)一根长度为5米的铁棒能否水平(即铁棒与地面平行)通过该直角走廊？并说明理由．(铁棒的粗细忽略不计)[思路点拨] (1)长度l 可分成PA ，PB 两段分别用θ表示．(2)判断铁棒能否水平通过该直角走廊需要比较铁棒长度与AB 长度的最小值．[解] (1)由题意可知：l ＝2sin θ＋2cos θ＝2(sin θ＋cos θ)sin θ·cos θ， 其中0＜θ＜π2. (2)l ＝2(sin θ＋cos θ)sin θ·cos θ，设t ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，因为0＜θ＜π2， 所以π4＜θ＋π4＜3π4，所以t ∈(1，2]，所以l＝4tt2－1＝4t－1t.因为t－1t在(1，2]上是增函数，所以t－1t的最大值为22，所以l＝4t－1t的最小值为4 2.因为42＞5，所以长度为5米的铁棒能水平通过该直角走廊．三角函数的实际应用多与最值有关，解决这类问题的一般步骤如下：(1)审读题意，合理地选取“角”为自变量，建立三角函数关系式.(2)利用和、差、倍、半角公式进行化简整理，通常要整理为y＝A sin(ωx＋φ)＋b的形式.(3)在符合实际问题意义的情形下求目标式的最值.3．福建沿海的超强台风过后，当地人民积极恢复生产，焊接工王师傅每天都很忙碌．今天他遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1米，圆心角θ＝π3，施工要求按图中所画的那样，在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC，要求使裁下的钢板面积最大．试问王师傅如何确定A的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？[解] 连接OA，设∠AOP＝α，过A作AH⊥OP，垂足为点H，在Rt△AOH中，OH＝cos α，AH＝sin α，所以BH＝AHtan 60°＝33sin α，所以OB ＝OH －BH ＝cos α－33sin α，设平行四边形ABOC 的面积为S ，则S ＝OB ·AH ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－33sin α·sin α＝sin αcos α－33sin 2α＝12sin 2α－36(1－cos 2α)＝12sin 2α＋36cos 2α－36＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2α＋12cos 2α－36＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6－36.由于0＜α＜π3，所以π6＜2α＋π6＜56π，当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，S max ＝13－36＝36，所以当A 是PQ 的中点时，所裁钢板的面积最大，最大面积为36平方米．《第五章 三角函数》单元检测试卷（一）(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合M ＝{x |x ＝45°＋k ·90°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝90°＋k ·45°，k ∈Z }，则( )A ．M ＝NB ．M NC ．M ND ．M ∩N ＝∅C [M ＝{x |x ＝45°＋k ·90°，k ∈Z }＝{x |x ＝(2k ＋1)·45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝90°＋k ·45°，k ∈Z }＝{x |x ＝(k ＋2)·45°，k ∈Z }．因为k ∈Z ，所以k ＋2∈Z ，且2k ＋1为奇数，所以M N ，故选C.]2．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( ) A.62B.32C.54D ．1＋34C [∵cos 75°＝sin 15°，∴原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15° ＝1＋12sin 30°＝1＋12×12＝54.]3．化简cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α得( ) A ．sin 2α B ．－sin 2α C ．cos 2αD ．－cos 2αA [原式＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin 2α.]4．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为( ) A ．－47B.47C.18D ．－18A [tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝3＋51－3×5＝－47.]5．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝45，且β在第三象限，则cosβ2的值等于( ) A ．±55B ．±255C ．－55D ．－255A [由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝45，得sin β＝－45.∵β在第三象限，∴cos β＝－35，∴cosβ2＝±1＋cos β2＝±15＝±55.] 6．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( )A ．关于原点对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x ＝π6对称 B [因为当x ＝0时，y ＝2sin π3＝3， 当x ＝π6时，y ＝2sin 2π3＝3， 当x ＝－π6时，y ＝2sin 0＝0. 所以A 、C 、D 错误，B 正确．]7．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象(部分)如图所示，则ω和φ的取值是( )A ．ω＝1，φ＝π3B ．ω＝1，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π6C [由图象知，T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π3＝4π＝2πω，∴ω＝12. 又当x ＝2π3时，y ＝1， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2π3＋φ＝1，π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝π6.] 8．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝45，－π2＜α＜0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α等于( )A ．－435B ．－335C.335 D.435A [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝32sin α＋32cos α＝3sin⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3－π2＝－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝－3×45＝－435.]9．已知sin α＋cos α＝23，α∈(0，π)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12的值为( )A.3＋226B.3－226C.1＋266D.1－266A [∵sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝23，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，∵α∈(0，π)，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4，又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，∴α＋π4∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－223.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sinπ6＝13×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×12＝22＋36.]10．已知tan α和tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，则a ，b ，c的关系是( )A ．b ＝a ＋cB ．2b ＝a ＋cC ．c ＝a ＋bD ．c ＝abC [由根与系数的关系得：tan α＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－b a ，tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝ca ， tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝tan α＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α1－tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－ba 1－c a ＝1，得c ＝a ＋b .]11．函数f (x )＝A sin ωx (ω＞0)，对任意x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－a ，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94等于( )A ．aB ．2aC ．3aD ．4a A [由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，得f (x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12－12＝f (x )，即1是f (x )的周期．而f (x )为奇函数， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝a .]12．甲、乙两人从直径为2r 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿水池做匀速圆周运动，已知甲的速度是乙的速度的两倍，乙绕水池一周停止运动，若用θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数，l 表示甲、乙两人的直线距离，则l ＝f (θ)的大致图象是( )B [由题意知θ＝π时，两人相遇排除A ，C ，两人的直线距离大于等于零，排除D ，故选B.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知tan α＝－3，π2＜α＜π，那么cos α－sin α的值是________．－1＋32 [因为tan α＝－3，π2＜α＜π，所以α＝2π3， 所以cos α＝－12，sin α＝32，cos α－sin α＝－1＋32.] 14．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上一点，且cos α＝x5，则tan 2α＝________.247[因为α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，所以x ＜0， 因为cos α＝x 5＝xx 2＋16，所以x ＝－3，所以tan α＝y x ＝－43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247.]15．已知α满足sin α＝13，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为________．718 [∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝12cos 2α＝12(1－2sin 2α)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝718.] 16．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列说法：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，13π24上单调递减； ④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是________．(把你认为正确的说法的序号都填上) ①②③ [∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 ＝2cos⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12， ∴f (x )max ＝2，即①正确．T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确． f (x )的递减区间为2k π≤2x －π12≤2k π＋π(k ∈Z )， 即k π＋π24≤x ≤k π＋13π24(k ∈Z )，k ＝0时，π24≤x ≤13π24，即③正确．将函数y ＝2cos 2x 向左平移π24个单位得 y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π24≠f (x )， 所以④不正确．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知cos(π＋α)＝－12，且角α在第四象限，计算：(1)sin(2π－α)； (2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin (π＋α)sin (π－α)·cos (α＋2n π)(n ∈Z )．[解] 因为cos(π＋α)＝－12，所以－cos α＝－12，cos α＝12.又角α在第四象限，所以sin α＝－1－cos 2α＝－32. (1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)] ＝sin(－α)＝－sin α＝32. (2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin (π＋α)sin (π－α)·cos (α＋2n π)＝sin (α＋2n π＋π)－sin αsin αcos α＝sin (π＋α)－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4. 18．(本小题满分12分)已知α，β为锐角，sin α＝17，cos(α＋β)＝35.(1)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6的值；(2)求cos β的值．[解] (1)∵α为锐角，sin α＝17，∴cos α＝1－sin 2α＝437，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin αcos π6＋cos αsin π6＝17×32＋437×12＝5314. (2)∵α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)，由cos(α＋β)＝35得，sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝45，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝35×437＋45×17＝4＋12335. 19．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？[解] (1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，知k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )． 所以所求函数的最小正周期为π，所求的函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)变换情况如下：y ＝sin 2x ――――――――――――→向左平移π12个单位长度y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12―――――――――――→将图象上各点向上平移32个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32. 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．[解] (1)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )， 得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )， 故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )． (2)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上为减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝－2cos π4＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2. 21．(本小题满分12分)已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且满足sin 2(A ＋C )＝3sin B cos B ，cos(C －A )＝－2cos 2A .(1)试判断△ABC 的形状；(2)已知函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )，求f (A ＋45°)的值． [解] (1)∵sin 2(A ＋C )＝3sin B cos B ，∴sin 2B ＝3sin B cos B ，∵sin B ≠0，∴sin B ＝3cos B ，∴tan B ＝3， ∵0°＜B ＜180°，∴B ＝60°， 又cos(C －A )＝－2cos 2A ， 得cos(120°－2A )＝－2cos 2A ，化简得sin 2A ＝－3cos 2A ，解得tan 2A ＝－3， 又0°＜A ＜120°，∴0°＜2A ＜240°， ∴2A ＝120°，∴A ＝60°，∴C ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． (2)∵f (x )＝sin x －3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x＝2(sin x cos 60°－cos x sin 60°) ＝2sin(x －60°)，∴f (A ＋45°)＝2sin 45°＝ 2.22．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 的长AD ＝23，宽AB ＝1，A ，D 两点分别在x ，y 轴的正半轴上移动，B ，C 两点在第一象限，求OB 2的最大值．[解] 过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H .设∠OAD ＝θ⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，则∠BAH ＝π2－θ，OA ＝23cos θ，BH ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝cos θ， AH ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ，∴B (23cos θ＋sin θ，cos θ)，OB 2＝(23cos θ＋sin θ)2＋cos 2θ＝7＋6cos 2θ＋23sin 2θ＝7＋43sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3.由0＜θ＜π2，知π3＜2θ＋π3＜4π3， 所以当θ＝π12时，OB 2取得最大值7＋4 3.《第五章 三角函数》单元检测试卷（二）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1．已知角α的终边经过点(,3)P x -，且3tan 4α=-，则cos α=（ ）A ．35±B ．45±C ．45-D ．452．已知3cos 4x =，则cos2x = A ．14- B ．14C ．18- D ．183．如果函数y ＝3cos （2x +φ）的图象关于点（43π，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（ ）A ．6πB ．4πC ．3π D ．2π4．已知函数()sin 3f x x x =，则在下列区间使函数()f x 单调递减的是（ ）A ．3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．5,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．若,αβ为锐角，45sin ,cos()513ααβ=+=，则sin β等于（ ）A ．1665B ．5665C ．865D ．47656．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）A ．()f x 的最小正周期是2πB ．()f x 在1931,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 在175,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．直线1712x π=-是曲线()y f x =的一条对称轴7．已知7sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=（ ） A ．23-B ．13-C ．23 D ．138．将函数()2sin 2cos 2cos sin sin 22f x x x ππθθθθ⎛⎫=+--<< ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x ，()g x 的图象都经过点P ⎛ ⎝⎭，则ϕ的值可以是（ ）A ．53πB ．56πC ．2πD ．6π二、多选题（每题有多个选项为正确答案，每题5分，共20分）9．设函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，给出下列命题，不正确的是（ ）．A ．()f x 的图象关于直线3x π=对称B ．()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．把()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到一个偶函数的图象D ．()f x 的最小正周期为π，且在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数10．设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x ( ) A ．是偶函数B ．在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．最大值为2D ．其图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称11．如图是函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点（ ）．A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标仲长到原来的12，纵坐标不变C ．把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变12．函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将函数()f x 的图像向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图像，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 的最小正周期为πC ．函数()g x 的图像的对称轴为直线()6x k k ππ=+∈ZD ．函数()g x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．14．函数()f x =sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭cos x 的最小值为_________．15．已知1sin 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 16．已知函数()tan(),(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的相邻两个对称中心距离为32π，且()f π=，将其上所有点的再向右平移3π个单位，纵坐标不变，横坐标变为原来的13，得()g x 的图像，则()g x 的表达式为_______四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．已知1tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求()()22sin 22sin 21cos 2sin παπαπαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭--+的值．18．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455--，）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．19．已知函数()2cos sin()f x x x x R x π=-∈.（1）求f (x )的最小正周期； （2）求f (x )在[,]84ππ-上的值域.20．一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间.（1）以水轮所在平面与水面的交线为x 轴，以过点O 且与水面垂直的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P 距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t （单位：秒）的函数；（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P 距水面的高度超过2米？21．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()02x ,和()0,2x +π-.若将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到的图象关于原点对称.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()10y f kx k =+>的周期为23π，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()1f kx m +=恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围.22．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的图象如图所示.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作()y g x =.（i ）求函数()()2x h x f g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值；（ii ）若函数()2()()2F x g x mg x m R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭在()()0,n n N π+∈内恰有2015个零点，求m 、n 的值.【答案解析】 第I 卷（选择题）一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1．已知角α的终边经过点(,3)P x -，且3tan 4α=-，则cos α=（ ）A ．35±B ．45±C ．45-D ．45【答案】D【解析】角α的终边经过点(),3P x -，由3tan 4α=-，可得334x -=-，所以4x =.所以4cos 5α==.故选D.2．已知3cos 4x =，则cos2x = A ．14-B ．14C ．18-D ．18【答案】D【解析】由3cos 4x =得2231cos 22cos 12148x x ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，故选D ．.3．如果函数y ＝3cos （2x +φ）的图象关于点（43π，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π【答案】A【解析】∵函数y ＝3cos （2x +φ）的图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称.∴4232k ππϕπ⋅+=+∴13()6πϕπ=-∈k k Z 当2k =时，有min ||6πϕ=.故选：A.4．已知函数()sin 3f x x x =，则在下列区间使函数()f x 单调递减的是（ ）A ．3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．5,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】依题意，函数()2sin(3)3f x x π=-，令3232,232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解得52211,183318k k x k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数 在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 上先增后减，在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递增，在5,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上先增后减.故选C . 5．若,αβ为锐角，45sin ,cos()513ααβ=+=，则sin β等于（ ）A ．1665B ．5665C ．865D ．4765【答案】A【解析】由角的关系可知根据同角三角函数关系式，可得()312cos ,sin 513ααβ=+=()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦ ()()sin cos cos sin αβααβα=+-+ 12354135135=⨯-⨯ 1665=所以选A 6．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）A ．()f x 的最小正周期是2πB ．()f x 在1931,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 在175,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．直线1712x π=-是曲线()y f x =的一条对称轴 【答案】C【解析】由图可知，2A =，该三角函数的最小正周期7233T πππ=-=，故A 项正确；所以21Tπω==，则()2sin()f x x ϕ=+. 因为563f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎝ ⎝⎭⎭⎪，所以该函数的一条对称轴为5736212x πππ+==， 将7,212π⎛⎫⎪⎝⎭代入2sin()y x ϕ=+，则72()122k k ππϕπ+=+∈Z ，解得2()12k k πϕπ=-+∈Z ，故()2sin 22sin 1212f x x k x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令22()2122k x k k πππππ--+∈Z ，得5722()1212k x k k ππππ-≤≤+∈Z ，令1k =，则1931,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故函数()f x 在1931,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.故B 项正确； 令322()2122k x k k πππππ+≤-≤+∈Z ， 得71922()1212k x k k ππππ+≤≤+∈Z ， 令1k =-，175,1212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦ 故函数()f x 在175,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减.故C 项错误； 令()122x k k πππ-=+∈Z ，得7()12x k k ππ=+∈Z ， 令2k =-，1712x π=-故直线1712x π=-是()f x 的一条对称轴.故D 项正确.故选C.7．已知7sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭2cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=（ ） A ．23-B ．13-C ．23 D ．13【答案】B【解析】由题意7sin sin sin 666πππαπαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以sin 63πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以2cos 2cos 2cos 2cos 23336ππππαπααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2212sin 12163πα⎛⎛⎫=+-=⨯-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭． 故选B ．8．将函数()2sin 2cos 2cos sin sin 22f x x x ππθθθθ⎛⎫=+--<< ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x ，()g x 的图象都经过点P ⎛ ⎝⎭，则ϕ的值可以是（ ）A ．53πB ．56π C ．2π D ．6π【答案】B 【解析】易得()()2sin 2cos 2cos sin sin sin 2cos cos2sin sin 2f x x x x x x θθθθθθ=+-=+=+.因为函数()f x 的图象过点P ⎛ ⎝⎭,22ππθ-<<,所以代入函数解析式得3πθ=. 所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.根据题意,得()()sin 23g x x πϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦,又因为()g x 的图象也经过点P ⎛ ⎝⎭,所以代入得sin 23πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭将53πϕ=、56π、2π或6π代入sin 232πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,只有56π成立.故选B.二、多选题（每题有多个选项为正确答案，每题5分，共20分）9．设函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，给出下列命题，不正确的是（ ）．A ．()f x 的图象关于直线3x π=对称B ．()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．把()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到一个偶函数的图象D ．()f x 的最小正周期为π，且在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数【答案】ABD【解析】因为sin 03f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以A 不正确；因为sin 1122f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以B 不正确；因为函数()f x 的最小正周期为π，但sin 112226f f πππ⎛⎫⎛⎫==>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 不正确；把函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到函数sin 2sin 2cos21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，函数cos 2y x =为偶函数，所以C正确．故选：ABD.10．设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x ( )A ．是偶函数B ．在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．最大值为2D ．其图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】AD 【解析】()sin 2cos 2224444f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .选项A ：()2))()f x x x f x -=-== ，它是偶函数，正确；选项B ：0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，所以()20,x π∈，因此()f x 是单调递减，错误；选项C ：()2f x x = ，错误； 选项D ：函数的对称中心为(,0)24k ππ+ ，k Z ∈，当0k =，图象关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，错误. 故选：AD11．如图是函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点（ ）．A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标仲长到原来的12，纵坐标不变C ．把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【答案】AC【解析】由图象知，A=1,T=π，所以ω=2，y=sin （2x+ϕ），将（6π-，0）代入得：sin(ϕ3π-)=0，所以ϕ3π-=kπ，k z ∈，取ϕ=3π，得y=sin （2x+3π），sin y x =向左平移3π，得sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．然后各点的横坐标缩短到原来的12，得sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故A 正确．sin y x =各点的横坐标缩短到原来的12，得sin 2y x =．然后向左平移6π个单位，得sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故C 正确．故选：AC12．函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将函数()f x 的图像向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图像，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 的最小正周期为πC ．函数()g x 的图像的对称轴为直线()6x k k ππ=+∈ZD ．函数()g x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】BD【解析】由图象可知3A =，33253441234ππππω⎛⎫=⋅=--= ⎪⎝⎭T ，∴2ω=，则()3sin(2)f x x ϕ=+.将点5,312π⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入()3sin(2)f x x ϕ=+中，整理得5sin 2112πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， ∴522,Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈，即2,Z 3k k πϕπ=-∈.||2ϕπ<，∴3πϕ=-，∴()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.∵将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象，∴()3sin 23sin 2,333πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦g x x x x R .∴()g x 既不是奇函数也不是偶函数，故A 错误； ∴()g x 的最小正周期22T ππ==，故B 正确. 令2,32x k k πππ+=+∈Z ，解得,122k x k ππ=+∈Z .则函数()g x 图像的对称轴为直线,122k x k ππ=+∈Z .故C 错误； 由222,232k x k k πππππ-++∈Z ，可得5,1212k x k k ππππ-+∈Z ，∴函数()g x 的单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.故D 正确. 故选：BD.第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【答案】二【解析】因为点P （tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0， 则角α的终边在第二象限，故答案为二．14．函数()f x =sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭cos x 的最小值为_________．【答案】34-【解析】由函数()211sin()cos cos )cos cos cos 622f x x x x x x x x x π=-=-=-1112(1cos 2)sin(2)4264x x x π=-+=--， 当sin(2)16x π-=-时，即,6x k k Z ππ=-+∈时，函数取得最小值34-.15．已知1sin 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．【答案】14【解析】因为1sin()34πα+=，则1cos()sin(())sin()62634ππππααα-=--=+=．16．已知函数()tan(),(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的相邻两个对称中心距离为32π，且()f π=，将其上所有点的再向右平移3π个单位，纵坐标不变，横坐标变为原来的13，得()g x 的图像，则()g x 的表达式为_______【答案】2()tan()9g x x π=+. 【解析】由题意，函数()tan()f x x ωϕ=+的相邻两个对称中心距离为1322w ππ⋅=，解得13w =，且()f π=，即tan()3πϕ+=02πϕ<<，解得3πϕ=，所以1()tan()33f x x π=+，将()f x 图象上的点向右平移3π个单位，可得112()tan[()]tan()33339f x x x πππ=-+=+，再把所得图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的13，可得2()tan()9f x x π=+的图象，即函数()g x 的解析式为2()tan()9f x x π=+. 故答案为：2()tan()9f x x π=+. 四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．已知1tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求()()22sin 22sin 21cos 2sin παπαπαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭--+的值．【答案】（Ⅰ）1tan =-3α；（Ⅱ）15-19.【解析】解：（Ⅰ）tantan 1tan 14tan()41tan 21tan tan 4παπααπαα+++===--，解得；（Ⅱ）22sin(22)sin ()21cos(2)sin παπαπαα+----+=22sin 2cos 1cos 2sin αααα-++ 2222sin cos cos 2cos sin ααααα-=+22tan 1152tan 19αα-==-+． 18．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455--，）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值． 【答案】（Ⅰ）45；（Ⅱ）5665- 或1665.【解析】Ⅰ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得4sin 5α=-， 所以()4sin πsin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得3cos 5α=-，由()5sin 13αβ+=得()12cos 13αβ+=±. 由()βαβα=+-得()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=. 19．已知函数()2cos sin()f x x x x R x π=-∈.（1）求f (x )的最小正周期； （2）求f (x )在[,]84ππ-上的值域. 【答案】（1）π；（2）1[122---. 【解析】（1）由题意，函数2()cos sin()f x x x x π=-+-21sin cos sin 21)2x x x x x =-=-+1sin 22sin(2)23x x x π==--， 所以函数()f x 的最小正周期为222T w πππ===。
三角函数章节习题附答案
必修4三角函数单元测试题（一）一、选择题1、若sin cos 0θθθ>，则在（ ）A 、第一、二象限B 、第一、三象限C 、第一、四象限D 、第二、四象限2、若13sin()=,-)22A A ππ+-则cos （的值是（ ）A 、12-B 、12C 、 32D 、32- 3、给出的下列函数中在2ππ（，）上是增函数的是（ ）A 、sin y x =B 、cos y x =C 、sin 2y x =D 、cos 2y x = 4、要得到sin(2)3y x π=-的图象，只要将sin 2y x =的图象（ ）A 、向左平移3π B 、向右平移3π C 、向左平移6π D 、向右平移6π5、若θ是第四象限的角，则-2πθ是（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限6、已知函数[]3cos 02y x π=在，的图象和直线3y =围成一个封闭的平面图形，这个封闭图形的面积是( )A 、4πB 、6πC 、9D 、67、下列关于函数2()log cos()f x x π=-的说法中正确的是（ ） A 、是偶函数，但不是周期函数 B 、是周期函数，但不是偶函数 C 、是偶函数，也是周期函数 D 、不是偶函数，也不是周期函数 8、函数()sin()(0)3f x x πωω=+>的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）A 、关于点03π（，）对称 B 、关于点04π（，）对称C 、关于直线3x π=对称 D 、关于直线4x π=对称9、三角形ABC 中角C 为钝角，则有 （ ） A .sin A >cos B B. sin A <cos B C. sin A =cos B D. sin A 与cos B 大小不确定10、把函数y ＝sin(2x ＋3π)的图像上各点的横坐标变为原来的31，再把所得图像向右平移8π，则 所 得 图 像 的 周 期 和 初 相 分 别 为 （ ） A.3π，4π B. 3π，1213π C.3π，125π- D.3π，512π二、填空题11、函数33sin(2),,334y x x πππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的值域是 12、已知tan α=3,则sin 2α-3sin αcos α+4cos 2α的值是______.13、若扇形的中心角为3π,则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为______. 14、已知函数(=sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ+>><）的图象如图所示，则其解析式 是2-2-45101511π125π11-221三、解答题15、已知sin α是方程5x 2-7x -6=0的根，求)(cos )23sin()2cos()2cos()23sin(2απαπαπαππα-⋅--⋅+⋅--的值.16求函数y=-x 2cos +x cos 3+45(x ∈[0,2π) )的最大值及最小值，并写出x 取何值时函数有最大值和最小值。
章末检测卷3：第一章 三角函数
章末检测卷(一)一、选择题1．已知cos α＝12，α∈(370°，520°)，则α等于( )A ．390°B ．420°C ．450°D ．480°答案 B2．sin ⎝⎛⎭⎫－196π的值等于( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32 答案 A解析 sin ⎝⎛⎭⎫－196π＝－sin 196π＝－sin 76π＝sin 16π＝12. 3．若sin x·tan x <0，则角x 的终边位于( ) A ．第一、二象限 B ．第二、三象限 C ．第二、四象限 D ．第三、四象限答案 B4．函数y ＝tan x2是( )A ．周期为2π的奇函数B ．周期为π2的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数 答案 A5．已知函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图，那么ω等于( )A ．1B ．2 C.12 D.13答案 B解析 由图象知2T ＝2π，T ＝π，∴2πω＝π，ω＝2.6．函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ等于( ) A ．－π2B ．2k π－π2(k ∈Z )C ．k π(k ∈Z )D ．k π＋π2(k ∈Z )答案 D解析 若函数f(x )＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称，则f(0)＝cos φ＝0， ∴φ＝kπ＋π2(k ∈Z )．已知f(x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g(x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，则f(x)的图象( ) A ．与g(x )的图象相同 B ．与g(x)的图象关于y 轴对称 C ．向左平移π2个单位，得g(x)的图象D ．向右平移π2个单位，得g(x)的图象答案 D解析 因为f(x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，故将其图象向右平移π2个单位，得y ＝g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2的图象．8．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )A ．－310B.310 C ．±310D.34答案 B解析 ∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝2，∴tan θ＝3.∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝310.9．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20 答案 C解析 函数y ＝sin x 向右平移\π5个单位长度 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10. 在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋3π2(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝12的交点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4答案 C解析 函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋3π2＝sin x 2，x ∈[0,2π]，图象如图所示，直线y ＝12与该图象有两个交点．11．函数y ＝tan(sin x)的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π4，π4 B.⎣⎡⎦⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1] D ．以上均不对 答案 C解析 ∵－1≤sin x ≤1，∴sin x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. 又∵y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增， ∴tan (－1)≤y ≤tan 1，即y ∈[－tan 1，tan 1]． 12．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( ) A ．a<b<c B ．a<c<b C ．b<c<aD ．b<a<c答案 D 解析 ∵a ＝sin5π7＝sin(π－5π7)＝sin 2π7. 2π7－π4＝8π28－7π28>0. ∴π4<2π7<π2. 又α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，sin α>cos α. ∴a ＝sin2π7>cos 2π7＝b. 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin α<tan α. ∴c ＝tan2π7>sin 2π7＝a. ∴c>a.∴c>a>b. 二、填空题13．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20 cm ，则扇形的周长为________ cm. 答案 6π＋40解析 ∵圆心角α＝54°＝3π10，∴l ＝|α|·r ＝6π. ∴周长为(6π＋40) cm.14．已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f(7π12)＝________.答案 0解析 方法一 由图可知，32T ＝5π4－π4＝π，即T ＝2π3，∴ω＝2πT ＝3.∴y ＝2sin(3x ＋φ)，将(π4，0)代入上式sin(3π4＋φ)＝0. ∴3π4＋φ＝kπ，k ∈Z ，则φ＝kπ－3π4，k ∈Z . ∴f(7π12)＝2sin(7π4＋kπ－3π4)＝0.方法二 由图可知，32T ＝5π4－π4＝π，即T ＝2π3.又由正弦图象性质可知，f(x 0)＝－f(x 0＋T2)，∴f(7π12)＝f(π4＋π3)＝－f(π4)＝0.已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是________． 答案 8 解析T ＝6，则5T4≤t ，∴t ≥152，∴t min ＝8.16．有下列说法：①函数y ＝－cos 2x 的最小正周期是π；②终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝kπ2，k ∈Z ；③在同一直角坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和函数y ＝x 的图象有三个公共点；④把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度得到函数y ＝3sin 2x 的图象；⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2在[0，π]上是减函数．其中，正确的说法是________． 答案 ①④解析 对于①，y ＝－cos 2x 的最小正周期T ＝2π2＝π，故①对；对于②，因为k ＝0时，α＝0，角α的终边在x 轴上，故②错；对于③，作出y ＝sin x 与y ＝x 的图象，可知两个函数只有(0,0)一个交点，故③错；对于④，y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度后，得y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝3sin 2x ，故④对；对于⑤，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x ，在[0，π]上为增函数，故⑤错． 三、解答题17．(12分)(1)已知角α的终边经过点P(4，－3)，求2sin α＋cos α的值； (2)已知角α的终边经过点P(4a ，－3a)(a ≠0)，求2sin α＋co s α的值；(3)已知角α终边上一点P 与x 轴的距离与y 轴的距离之比为3∶4，求2sin α＋cos α的值．解 (1)∵r ＝x 2＋y 2＝5，∴sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，∴2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25.(2)∵r ＝x 2＋y 2＝5|a|，∴当a>0时，r ＝5a ， ∴sin α＝－3a 5a ＝－35，cos α＝45，∴2sin α＋cos α＝－25；当a<0时，r ＝－5a ，∴sin α＝－3a －5a ＝35，cos α＝－45，∴2sin α＋cos α＝25.(3)当点P 在第一象限时，sin α＝35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝2；当点P 在第二象限时，sin α＝35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝25；当点P 在第三象限时，sin α＝－35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝－2；当点P 在第四象限时，sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝－25.18．(12分)已知f(α)＝sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α)sin (－π＋α)·tan (－α＋3π).(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝18，且π4<α<π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－31π3，求f(α)的值．解 (1)f(α)＝sin 2α·cos α·tan α(－sin α)(－tan α)＝sin α·cos α.(2)由f(α)＝sin αcos α＝18可知(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α ＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34.又∵π4<α<π2，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0.∴cos α－sin α＝－32. (3)∵α＝－31π3＝－6×2π＋5π3，∴f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－31π3·sin ⎝⎛⎭⎫－31π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3·sin ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3 ＝cos5π3·sin 5π3＝cos(2π－π3)·sin(2π－π3)＝cos π3·⎝⎛⎭⎫－sin π3＝12·⎝⎛⎭⎫－32＝－34. 19．(12分)已知f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32，x ∈R . (1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间．(2)函数f(x)的图象可以由函数y ＝sin 2x(x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？ 解 (1)T ＝2π2＝π，由2kπ－π2≤2x ＋π6≤2kπ＋π2，k ∈Z 知kπ－π3≤x ≤kπ＋π6(k ∈Z )．所以所求的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤kπ－π3，kπ＋π6(k ∈Z )． (2)变换情况如下：y ＝sin 2x 错误! y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π12)――→将图象上各点向上平移32个单位 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32. (12分)设函数f(x)＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f(x)图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f(x)的单调增区间；(3)画出函数y ＝f(x)在区间[0，π]上的图象．解 (1)∵x ＝π8是函数y ＝f(x)的图象的对称轴，∴sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋φ＝±1. ∴π4＋φ＝kπ＋π2，k ∈Z . ∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4. 由题意得2kπ－π2≤2x －3π4≤2kπ＋π2，k ∈Z .∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调增区间为⎣⎡⎦⎤kπ＋π8，kπ＋5π8，k ∈Z .(3)由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4，知 x 0 π8 3π8 5π8 7π8 π y－22－11－22故函数y ＝f(x)在区间[0，π]上的图象是(12分)在已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A>0，ω>0,0<φ<π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f(x)的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f(x)的值域． 解 (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2得A ＝2. 由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2. 由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝－2， 即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2kπ－π2(k ∈Z )， ∴φ＝2kπ－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π6，故f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6， 当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f(x)取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f(x)取得最小值－1，故f(x)的值域为[－1,2]．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x<π，且方程f(x)＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和． 解 (1)观察图象，得A ＝2，T ＝⎝⎛⎭⎫11π12－π6×43＝π. ∴ω＝2πT ＝2，∴f(x)＝2sin(2x ＋φ)．∵函数经过点⎝⎛⎭⎫π6，2， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1. 又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴函数的解析式为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.(2)∵0<x<π，∴f(x)＝m 的根的情况，相当于f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6与g(x)＝m 的交点个数情况，且0<x<π，∴在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6和y ＝m(m ∈R )的图象．由图可知，当－2<m<1或1<m<2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根． ∴m 的取值范围为－2<m<1或1<m<2；当－2<m<1时，此时两交点关于直线x ＝23π对称，两根和为43π；当1<m<2时，此时两交点关于直线x ＝π6对称，两根和为π3.。
三角函数章节检测试卷
三角函数章节检测试卷班级 姓名 座位号一、选择题（每小题5分，共计60分）1．已知角θ的终边过点43-（，），则cos()πθ-=（ ） A ．54 B ． 54-C ．53 D ．53-2．函数sin cos 2,([0,])2y x x x π=++∈的最小值是（ ）A.2－2 B.2＋2C.3D.1 3．函数)252sin(π+=x y 的一条对称轴方程是 （ ）A ．2π-=x B ．4π-=x C ．8π=x D ．45π=x4．设00sin 14cos14a =+，00sin 16cos16b =+，62c =，则,,a b c 大小关系（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）a c b <<5．已知tan α＝－，则的值是 （ ）A. B.C. D.6．已知函数()3sin cos ,f x x x x R =-∈，若，则x 的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．7．若函数()()2f x sin x ωϕ=+()0ω≠的图象关于直线6x π=对称，则6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．0B ．3C ．2-D ．2或2-5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈5{|,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈|22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭|,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭()1f x ≥5±51±5151-αααcos sin sin 2+218．若)0,2(,21)sin(πααπ-∈=+，则αtan 等于( )A . 21-B .23- C .3- D . 33-9．tan 2tan 3tan 4⋅⋅的值（ ） A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在 10．函数2sin 2y x =是（ ）A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ． 周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数11．已知1cot 2α=，则sin cos 2sin cos αααα-+的值为（ ）A ．15B ．16C ．14-D ．1-12．函数),0(),32sin(3)(πϕϕπ∈++=x x f 满足)()(x f x f =，则ϕ的值为（ ）A.6πB.3πC.12π D.32π二、填空题（每小题5分，共计20分）13． 函数sin 2y x =的图象向右平移ϕ( ϕ>0)个单位,得到的图象恰好关于是6x π=对称,则ϕ的最小值是 14．函数的单调增区间__________________．15．给出下列命题：① 函数)23sin(x y +=π是偶函数；②函数cos 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象的一条对称轴方程为8x π=；③对于任意实数x ，有,0)(',0)(',0),()(),()(>>>=--=-x g x f x x g x g x f x f 时且 则);(')(',0x g x f x ><时 ④若对,R x ∈∀函数f （x ）满足)()2(x f x f -=+，则4是该函数的一个周期。
第五章 三角函数单元检测试卷(基础巩固)(解析版)
第五章 三角函数（基础巩固） 单元检测试卷一、单选题 1．ππππcossin cos sin 12121212⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．B ．12-C ．12D 【答案】D【解析】22πππππππcossin cos sin cos sin cos 1212121212126⎛⎫⎛⎫-+=-==⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故选D 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 分别对应边a ，b ，c ，且cos cos ,a B b A =则此三角形的形状为（ ） A ．等边三角形. B ．等腰三角形. C ．直角三角形. D ．等腰直角三角形【答案】B 【解析】cos cos ,a B b A =∴由正弦定理可得sin cos sin cos A B B A =，()sin 0A B -=，又A B ππ-<-<，0A B ∴-=，故△ABC 的形状是等腰三角形. 故选：B3．为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ）A ．向左平行移动π3个单位长度 B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度 D ．向右平行移动π6个单位长度 【答案】D【解析】由题意，为得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点向右平行移动π6个单位长度，故选D. 4．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，<2πϕ）的部分图象如图所示，为得到()cos 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度【答案】D【解析】由图象可知，1A =，函数()y f x =的最小正周期为23471T πππ⎛⎫-=⎪⎝⎭=⨯，22Tπω∴==， 777sin 2sin 112126f ππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，22ππϕ-<<，275363πππϕ∴<+<，7362ππϕ∴+=，得3πϕ=，()sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()cos 2sin 2sin 2sin 23326123g x x x x x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，因此，只需将函数()y f x =的图象向右平移12π个单位可得到函数()y g x =的图象.故选：D.5．已知2sin()cos()33ππαα+=+，则sin 2α=（ ） A ．1- B ．1C ．12D ．0【答案】A【解析】2sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11cos sin cos 2222αααα∴-=-，可得)(1cos 1sin αα=，tan 1α∴=-.因此，()222212sin cos 2tan sin 22sin cos 1sin cos tan 12ααααααααα⨯-=====-++. 故选：A.6．已知函数()2sin(1)f x x π=+，若对于任意的x ∈R ，都有()()12()f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为（ ）A ．2B ．1C ．4D ．12【答案】B【解析】对任意的x ∈R ,()()12()f x f x f x ≤≤成立,所以()1min ()2f x f x ==-,()2max ()2f x f x ==,所以12min2T x x -=, 又()2sin(1)f x x π=+的周期22T ππ==,所以12min1x x -=,故选:B .7．若将函数y ＝sin （2x 4π+）的图象向右平移6π个单位长度，平移后所得图象为曲线y ＝f （x ），下列四个结论：①f （x ）＝sin （2x 12π-）②f （x ）＝sin （2x 712π+） ③曲线y ＝f （x ）的对称中心的坐标为（224k ππ+，0），（k ∈Z ） ④曲线y ＝f （x ）的对称中心的坐标为（7224k π+π，0）（k ∈Z ） 其中所有正确的结论为（ ） A ．①④ B ．②③C ．②④D ．①③【答案】D【解析】y ＝sin （2x 4π+）的图象向右平移6π个单位得到f （x ）＝sin[2（x 6π-）4π+]＝sin （2x12π-），即①正确，②错误；令2x 12π-=k π，得224k x k Z ππ=+∈，，即③正确，④错误， 故选：D ．8．如图是函数()sin y x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫><<⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像，将该图像向右平移()0m m <个单位长度后，所得图像关于直线4x π=对称，则m 的最大值为（ ）．A ．12π-B ．6π-C ．4π-D ．3π-【答案】B【解析】解：由题意可知，25()66T ππππω==--=，所以2ω=， 根据五点作图法可得2()06πϕ⨯-+=，解得3πϕ=，所以sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将该函数图像向右平移()0m m <个单位长度后， 得到sin 223y x m π⎛⎫=-+⎪⎝⎭的图像， 又sin 223y x m π⎛⎫=-+⎪⎝⎭的图像关于直线4x π=对称，所以22432m k ππππ⨯-+=+，即,26k m k Z ππ=-+∈，因为0m <，所以当0k =时，m 取最大值6π-， 故选B.9．已知函数()π2sin (04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭)的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，则ω的取值范围为A ．19π27π,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．9π13π,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．17π25π,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．[)4π,6π 【答案】C【解析】因为函数()π2sin (04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭)的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点, 所以函数()π2sin (04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭)的图象在区间[]0,1上至少有两个周期加八分之一周期,少于三个周期加八分之一周期,所以4ππ6ππ144ωωωω+≤<+, 所以17π25π44ω≤< 本题选择C 选项.二、多选题10．将曲线()23sin sin 2y x x x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭上每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．()g x 的图象关于直线23x π=对称 B ．()g x 在[]0,π上的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()g x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()g x 的图象可由1cos 2y x =+的图象向右平移23π个单位长度得到【答案】ABD 【解析】()231cos 2sin sin cos 22xy x x x x x ππ-⎛⎫=-+=⎪⎝⎭1112cos 2sin 222262x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭. ()1sin 62g x x π⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭，对于A ，当23x π=时，62x ππ-=，()g x ∴关于直线23x π=对称，A 正确；对于B ，当[]0,x π∈时，7,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin ,162x π⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()30,2g x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，B 正确；对于C ，当6x π=时，06x π-=，162g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()g x ∴关于点1,62π⎛⎫⎪⎝⎭对称，C 错误； 对于D ，1cos 2y x =+向右平移23π个单位得：21cos 32y x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭cos 62x ππ⎛⎫--⎪⎝⎭()11sin 262x g x π⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，D 正确.故选：ABD .11．已知函数||()sin x f x e x =，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是周期为2π的奇函数B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数 C ．()f x 在(10,10)ππ-内有21个极值点D ．()f x ax 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立的充要条件是1a 【答案】BD 【解析】()f x 的定义域为R ，()sin()()x f x e x f x --=-=-，()f x ∴是奇函数，但是22(2)sin(2)sin ()x x f x ex ex f x ππππ+++=+=≠，()f x ∴不是周期为2π的函数，故选项A 错误；当(,0)4x π∈-时，()sin x f x e x -=，(cos ()sin )0x x f x e x -'-=>，()f x 单调递增，当3(0,)4x π∈时，()sin x f x e x =， (sin ))0c (os x x f x e x +'=>，()f x 单调递增，且()f x 在3(,)44ππ-连续，故()f x 在3(,)44ππ-单调递增， 故选项B 正确；当[0,10)x π∈时，()sin x f x e x =，(sin c )s ()o xf x e x x +'=，令()0f x '=得，(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)4x k k ππ=-+=，当(10,0)x π∈-时，()sin xf x e x -=，(co (s )sin )x x f x e x -=-'，令()0f x '=得，(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)4x k k ππ=+=----------,因此，()f x 在(10,10)ππ-内有20个极值点，故选项C 错误； 当0x =时，()00f x ax =≥=，则a R ∈，当(0,]4x π∈时，sin ()x e xf x ax a x≥⇔≤，设sin ()x e x g x x =，2(sin cos sin )()x e x x x x x g x x+-'∴=， 令()sin cos sin h x x x x x x =+-，(0,]4x π∈()sin (cos sin )0h x x x x x '∴=+->，()h x 单调递增，()(0)0h x h ∴>=，()0g x '∴>，()g x 在(0,]4π单调递增，又由洛必达法则知：当0x →时，0sin (sin cos )()11x x x e x e x x g x x =+=→=1a ∴≤，故答案D 正确.故选：BD.12．某同学通过研究函数()44sin cos f x x x =+，得到以下结论，你认为正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期是2π B ．函数的最大值是1C ．函数在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 D ．函数的图象关于直线4x π=对称【答案】ABD【解析】解：()()222224421sin cos sin cos 2sin cos 1sin 22f x x x x x x x x =+=+-⋅=-=11cos 4311cos 42244x x -⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭所以最小正周期为：242T ππ==，故A 选项正确； 函数的最大值为31+=144，故B 选项正确； 当04x π≤≤，即0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 单调递减，故C 选项不正确； ()f x 的对称轴为：4x k π=，即4k x π=，故4x π=是()f x 的对称轴，故D 选项正确. 故选：ABD . 三、填空题13．设函数()2sin sin 3f x x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是奇函数，其中(0,)ϕπ∈，则ϕ=____ 【答案】6π； 【解析】因为函数()f x 为定义在R 上的奇函数，而sin y x =是奇函数，故sin 3y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭πϕ为偶函数，所以,32ππφk πk Z +=+∈，又(0,)ϕπ∈，所以6π=ϕ． 故答案为：6π 14．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，当0x ≥时，()424,,n 04x x f x x x ππππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭⎛⎫≤⎧⎪⎪=⎨≤ ⎪⎝⎭，关于x的方程()()f x m m R =∈有且仅有四个不同的实数根，若α是四个根中的最大根，则sin()2πα+=____.【答案】2-【解析】当0x ≥时，函数在区间0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭和,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数，在区间,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是减函数，()f x的极大值为4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭极小值为02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π， 作出函数当0x ≥时的图像如图， 函数函数()y f x =是R 上的偶函数，∴当0x <时()y f x =的图像与当0x ≥时的图像关于y 轴对称，故函数x ∈R 的图像如图所示，将()()f x m m R =∈进行平移，可得当1m =时， 两图像有且仅有四个不同的实数根， 令1y =，可得12,44x x ππ=-=，334x π=-，434x π=， 所以34πα=，3sin()cos cos242ππαα∴+===-故答案为：2-15．规定：行列式a b c d=ad -bc ，则函数y =2sin cos 1cos x x x的最小正周期是__________.【答案】π【解析】由题意可得2sin 2cos 211sin cos cos 2222242x x y x x x x π⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭， 所以22T ππ==. 故答案为：π16．函数()sin()2f x x x π=++的最大值是__________.【答案】2【解析】()sin()cos 2sin 26f x x x x x x ππ⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭， 所以()max 2f x =.故答案为：217．关于函数()4sin(2)(),3f x x x R π=+∈有下列命题：①由12()()0f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍；②()y f x =的图象关于点(,0)6π-对称；③()y f x =的表达式可改写为4cos(2);6y x π=-④()y f x =的图象关于直线6x π=-对称.其中正确命题的序号是_________.【答案】②③【解析】①中12,x x 是()f x 的两个零点，即12x x -是2π的整数倍，①错误； ②中06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，②正确；故④错误； ③中4sin 24cos 2cos 23236y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，③正确； 所以正确命题序号是②③. 故答案为：②③. 四、解答题18．已知偶函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的最大值为3，其图象与直线3y =-的某两个交点的横坐标为12,x x ，且12x x -的最小值为π．（1）求函数()f x 的解析式，并写出()f x 单调递减区间；（2）设函数()8g x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，求()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】（1）()3cos 2f x x =，单调递减区间为,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦；（2）22⎡-⎢⎣⎦【解析】（1）由题意，得3,,2A T πω===，故()3sin(2)f x x ϕ=+，又()f x 是偶函数，即(0)2k πϕπϕπ=+<<，故2ϕπ=，所以()3cos 2f x x =， 令222k x k πππ≤≤+，所以()f x 的单调递减区间为,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦．（2）因为()3cos 23cos 2884g x f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令32,444t x πππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，则3cos 2y t ⎡=∈-⎢⎣，所以函数()g x 的值域是⎡⎢⎣⎦． 19．已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x A πωφωφ=+>><<的最大值为2，且图像过点（1，1），相邻两对称轴间的距离为2. （1）求()f x 的解析式. （2）求()f x 的单调增区间. （3）计算(1)(2)(2012)f f f +++的值.【答案】（1）()2sin 23f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）()514,433k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（3）0【解析】（1）由题意可得2A =，4T =所以24T πω==，解得2πω=，又图像过点（1，1），所以2sin 112πφ⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭，即1cos 2φ=又02πφ<<解得3πφ=，所以()2sin 23f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（2）由()222232k x k k Z ππππππ-≤+≤+∈，解得()514433k x k k Z -≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调增区间为()514,433k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（3）由（1）()2sin 23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()()()()12340f f f f +++= 故(1)(2)(2012)50300f f f +++=⨯=.20．已知函数2()(sin cos )cos2f x x x x =++ （Ⅰ）求()f x 最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅱ）最大值为10【解析】（Ⅰ）利用三角函数基本公式将函数式整理化简为()214f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数的周期为222T ππω==；（Ⅱ）由定义域[0,]2π得到24x π+的取值范围，借助于三角函数单调性可求得函数的最大值和最小值试题解析：（Ⅰ）()f x ∴的最小正周期22T ππ== （Ⅱ）()()max min 10f x f x ∴==21．已知函数2()sin 4f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）若126f α⎛⎫=⎪⎝⎭，tan β=，,22ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求tan(2)αβ+的值；（2）若动直线[](0,)x t t π=∈与函数()f x 和函数()cos 44g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象分别交于P ，Q 两点，求线段PQ 长度的最大值，并求出此时t 的值.【答案】（1）19-；（2）最大值为32，712t【解析】（1）()1111cos 2sin22222f x x x π⎡⎤⎛⎫=--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，111sin 2226f αα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则2sin3α=，又,22ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故cos α=，tan α=.22tan tan21tan ααα==-()tan2tan tan 21tan2tan 12019αβαβαβ++===---.（2）()g x x =由题意可知()()1sin 223PQ f t g t t π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭当sin 213t π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，PQ 取到最大值32. 当PQ 取到最大值时，()32232t k k Z πππ+=+∈，又[]0,t π∈，所以712t π=. 22．若向量()3sin ,sin a x x ωω=，()cos ,sin b x x ωω=，其中0>ω，记函数()12f x a b =⋅-，若函数()f x . （I ）求()f x 的表达式；（II ）设ABC ∆三内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，若3a b +=，c =()1f C =，求ABC ∆的面积.【答案】（Ⅰ）()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；（Ⅱ）2. 【解析】（I ）()211cos sin 2cos 2sin 2226f x x x x x x x πωωωωωω⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭()f x ，即2=T π∴=，即22ππω=，解得：1ω= ()sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭（II ）由()1f C =得：sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭0C π<< 112666C πππ∴-<-<262C ππ∴-=，解得：3C π=3a b +=，c =2222cos3c a b ab π=+-()233a b ab +-=∴，即：2ab =ABC ∆∴的面积1sin 2S ab C ==。
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三角函数章节复习检测（一）
（时间：120分钟 满分：150）姓名：
一、选择题（每小题5分） 1.（07重庆）下列各式中，值为
2
3
的是 ( ) （A ）2sin15cos15︒︒ （B ）︒-︒15sin 15cos 22（C ）115sin 22-︒（D ）︒+︒15cos 15sin 22 2.若02,sin 3cos απαα≤≤>，则α的取值范围是： ( ) （Ａ）,32ππ⎛⎫
⎪⎝⎭ （Ｂ）,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｃ）4,
33ππ
⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｄ）3,32
ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭
3.函数()sin 3cos ([,0])f x x x x π=-∈-的单调递增区间是 （ ） A ．5[,]6ππ--
B ．5[,]66ππ--
C ．[,0]3π-
D ．[,0]6
π- 4．（07天津卷） 设函数()sin ()3f x x x π⎛
⎫
=+
∈ ⎪⎝⎭
R ，则()f x （ ） A ．在区间2736ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦，上是增函数
B ．在区间2π⎡
⎤
-π-
⎢⎥⎣⎦
，上是减函数 C ．在区间34
ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上是增函数
D ．在区间536
ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上是减函数
5．若函数f (x)同时具有以下两个性质：①f (x)是偶函数，②对任意实数x ，都有f (x +4
π)= f (x -4
π)，则f (x)
的解析式可以是 （ ）
A ．f (x)=cosx
B ．f (x)=cos(2x 2
π
+
) C ．f (x)=sin(4x 2
π
+
) D ．f (x) =cos6x
6.（09全国）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3
π
中心对称，那么φ的最小值为 （ ） (A)
6π (B) 4π (C) 3π (D) 2
π 7．已知函数x 2sin y ω=的图象与直线y+2=0的相邻两个公共点之间的距离为3
2π
，则ω的值为( ） A ．3
B ．
2
3 C ．
3
2 D ．
3
1 8.函数f(x)=cosx(x ∈R)的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y=-f ′(x)的图象，则m 的值可以为 ( )
A.
2
π
B.π
C.－π
D.－
2
π 9．将函数y=f （x ）sinx 的图象向右平移
4
π个单位，再作关于x 轴的对称曲线，得到函数y=1－2sin 2
x 的图象，则f(x)= ( ) A ．cosx B ．2cosx C ．sinx D ．2sinx
10．若函数()θ+=x y sin 2的图象按向量)2,6
(
π
平移后，它的一条对称轴是4
π
=
x ，则θ的一个可能的
值是 ( ) A ．125π B ．3π C ．6π D ．12
π
11.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω= （ ）
A. 1
B. 2
C. 1/2
D. 1/3 12．（2006年四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （ ）
（A ）sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （B ）sin 26y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭ （C ）cos 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （D ）cos 26y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
二、填空题（每小题4分）
13.（09江西）若函数()(13tan )cos f x x x =+，02
x π
≤<
，则()f x 的最大值为
14.（浙江卷2）函数2(sin cos )1y x x =++的最小正周期是 . 15.（08天津）把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3
π
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 16.（浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线2
1
=y 的交点个数是 17．(07安徽卷) 函数)3
2sin(3)(π
-
=x x f 的图象为C , 如下结论中正确的是
①图象C 关于直线π12
11
=
x 对称; ②图象C 关于点)0,32(π对称;
③函数12
5,12()(π
π-在区间x f )内是增函数;
④由x y 2sin 3=的图象向右平移3
π
个单位长度可以得到图象C.
三、解答题：（18---20每题8分，21题10分，22---24每题12分）
18．已知θθθπ
2
cos 22sin ,3)4
tan(-=+求的值.（8分）
19．已知βαππ
βαππβαβαβα2cos ,2cos ),2,2
3(),,2()(,54)cos(,54)cos(求且∈+∈-=+-=-的值.（8分）
20.已知033tan ,tan 2=--x x 是方程βα的两根,求)(cos 3)cos()sin(3)(sin 22βαβαβαβα+-++-+的值.（8分）
21.（06福建文）已知函数22()sin 3sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =++∈（10分） （I ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；
（II ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？
22.已知函数2
π
()sin 3sin sin 2
f x x x x ωωω⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭
（0ω>）的最小正周期为π．
（12分） （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的取值范围．
23.已知函数()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+（12分） （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122
ππ
-上的值域
24.（2009陕西卷） 已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02
A π
ωϕ>><<）的周期为π，
且图象上一个最低点为2(
,2)3
M π
-. (Ⅰ)求()f x 的解析式； （Ⅱ）当[0,]12
x π
∈，求()f x 的最值. （12分）。