广东高二高中数学开学考试带答案解析

广东高二高中数学开学考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.圆x2+y2﹣6x+4y+12=0与圆（x﹣7）2+（y﹣1）2=36的位置关系是（）
A．外切B．相交C．内切D．外离
2.盒中共有形状大小完全相同的5个球，其中有2个红球和3个白球．若从中随机取2个球，则概率为的事件是
（）
A．都不是红球B．恰有1个红球
C．至少有1个红球D．至多有1个红球
3.已知函数f（x）的图象是连续不间断的，且有如下的x，f（x）对应值表：
A．2个 B．3个 C．至少3个 D．至多2个
4.已知k=﹣6，则函数y=cos2x+kcosx+6的最小值是（）
A．1B．﹣1C．-11D．13
5.设α角属于第二象限，且|cos|=﹣cos，则角属于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6.若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（）
A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥
7.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）
A．1B．2C．3D．4
8.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（）
A．B．
C．D．
9.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（）
A．B．C．﹣D．﹣
10.张先生知道清晨从甲地到乙地有好、中、差三个班次的客车．但不知道具体谁先谁后．他打算：第一辆看后一定不坐，若第二辆比第一辆舒服，则乘第二辆；否则坐第三辆．问张先生坐到好车的概率和坐到差车的概率分别是（）
A．、B．、C．、D．、
11.已知向量=（sinα，cos2α），=（1﹣2sinα，﹣1），α∈（，），若=﹣，
的值为（）
A．B．C．D．
12.曲线x2+y2﹣6x=0（y＞0）与直线y=k（x+2）有公共点,则k的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题
1.函数y=3sin（﹣2x）的单调增区间是．
2.等边△ABC的边长为1，记=， =，=，则•﹣﹣•等于．
3.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．
4.已知圆C：（x﹣2）2+（y+m﹣4）2=1，当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是．
三、解答题
≤1}，B={x|x2﹣2x+1﹣k2≥0}．
1.已知集合A={x|log
2
（1）求集合A；
（2）若A∩B≠∅，求实数k的取值范围．
2.已知向量与互相垂直，其中．
（1）求sinθ和cosθ的值；
（2）若，求cosφ的值．
3.某校高一（2）班共有60名同学参加期末考试，现将其数学学科成绩（均为整数）分成六个分数段[40，50），
[50，60），…，[90，100]，画出如如图所示的部分频率分布直方图，请观察图形信息，回答下列问题： （1）求70～80分数段的学生人数；
（2）估计这次考试中该学科的优分率（80分及以上为优分）、中位数、平均值；
（3）现根据本次考试分数分成下列六段（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第六组）为提高本班数学整体成绩，决定组与组之间进行帮扶学习．若选出的两组分数之差大于30分（以分数段为依据，不以具体学生
分数为依据），则称这两组为“最佳组合”，试求选出的两组为“最佳组合”的概率．
4.如图，已知长方形ABCD 中，AB=2，AD=1，M 为DC 的中点．将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面
ABCM ，E 为BD 的中点．
（1）求证：BM ⊥平面ADM ；
（2）求直线AE 与平面ADM 所成角的正弦值．
5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，3），直线l ：y=2x ﹣4．设圆C 的半径为1，圆心在l
上．
（1）若圆心C 也在直线y=x ﹣1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MA=2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．
6.已知函数f （x ）=
，g （x ）=f （x ）﹣a
（1）当a=2时，求函数g （x ）的零点；
（2）若函数g （x ）有四个零点，求a 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，记g （x ）得四个零点分别为x 1，x 2，x 3，x 4，求x 1+x 2+x 3+x 4的取值范围．
广东高二高中数学开学考试答案及解析
一、选择题
1.圆x 2+y 2﹣6x+4y+12=0与圆（x ﹣7）2+（y ﹣1）2=36的位置关系是（ ）
A．外切B．相交C．内切D．外离
【答案】C
【解析】此题主要考查圆与圆的位置关系，首先计算出两圆的圆心距为5等于两半径之差5，所以两圆内切，故选C
【考点】圆与圆的位置关系
2.盒中共有形状大小完全相同的5个球，其中有2个红球和3个白球．若从中随机取2个球，则概率为的事件是
（）
A．都不是红球B．恰有1个红球
C．至少有1个红球D．至多有1个红球
【答案】B
【解析】由题意可得，从中随机取2个球，基本事件总数n=10,分别求出都不是红球的概率，恰好有1个红球的概率，至少有1个红球的概率，至多有1个红球的概率，由此能求出概率为的事件是恰有1个红球故选B
【考点】古典概型及其概率计算
3.已知函数f（x）的图象是连续不间断的，且有如下的x，f（x）对应值表：
x123456
A．2个 B．3个 C．至少3个 D．至多2个
【答案】C
【解析】由表格可得，
，同理可得，，又因为只是连续函数并非单调函数，所以在定义域至少有3个零点，故选C
【考点】函数与方程，零点问题；
4.已知k=﹣6，则函数y=cos2x+kcosx+6的最小值是（）
A．1B．﹣1C．-11D．13
【答案】A
【解析】由题意得，将k=-6代入函数中，则y=cos2x-6cosx+6，利用二倍角公式对函数进行化简得
,t=x,t,
，故选A
【考点】二倍角公式化简及换元法，二次函数求最值；
5.设α角属于第二象限，且|cos|=﹣cos，则角属于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】由题意得，是第二象限的角，可知在第一象限或者第三象限，再由|cos|=﹣cos，知cos<0,故在第三象限，故选C
【考点】角所在象限的判断
6.若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（）
A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥
【答案】D
【解析】若正六棱锥底面边长与侧棱长相等，正六棱锥侧面构成正三角形，侧面的六个顶角都为60度，六个顶角之和为360度，这是不可能的，故不能是六棱锥，选D
【考点】棱锥的结构特征
7.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】由题意可知这组数据的平均数为10，方差为2可得到关于x,y的一个方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因此最好不要直接求出x,y，用换元法来解出结果，选D
【考点】统计学中的数字特征运算；平均数和方差的运算公式的应用；
8.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知，把三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用这三个基向
量表示出来即可得出答案，选B
【考点】向量的加减混合运算及其意义；
9.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（）
A．B．C．﹣D．﹣
【答案】A
【解析】可作出图形，由条件=2及向量加法和减法的几何意义，以及向量的数乘运算便可以得到
，这样根据平面向量基本定理即可得到λ的值，选A
【考点】向量的三角形法则和向量共线定理；
10.张先生知道清晨从甲地到乙地有好、中、差三个班次的客车．但不知道具体谁先谁后．他打算：第一辆看后一定不坐，若第二辆比第一辆舒服，则乘第二辆；否则坐第三辆．问张先生坐到好车的概率和坐到差车的概率分别是（）
A．、B．、C．、D．、
【答案】C
【解析】由题意得，张先生乘车可分为6种情况，差，中，好他没乘上好车；差，中，好他乘上好车；中，差，好他乘上好车；中，好，差他乘上好车；好，差，中他没乘上好车；好，中，差他没乘上好车；代入古典概型公式计算，即可得到答案，选C
【考点】古典概型求等可能事件的概率；
11.已知向量=（sinα，cos2α），=（1﹣2sinα，﹣1），α∈（，），若=﹣，
的值为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，通过=﹣得到关于的三角函数方程，求出，然后结合α∈（，）求出，利用两角差的正切公式求解即可得到答案，选C
【考点】1.数量积的坐标运算；2.二倍角公式的运用；3三角函数的基本关系式
12.曲线x2+y2﹣6x=0（y＞0）与直线y=k（x+2）有公共点,则k的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，曲线x2+y2﹣6x=0（y＞0）是圆心为（3，0），半径为3的半圆，它与直线y=k（x+2）有公
共点成立的条件就是圆心（3，0）到直线y=k（x+2）的距离，且，即可得到答案，选C
【考点】1.直线与圆的位置关系的应用；2.点到直线的距离公式的灵活运用；
二、填空题
1.函数y=3sin（﹣2x）的单调增区间是．
【答案】[kπ+，kπ+]（k∈Z）
【解析】:由y=3sin（﹣2x）=-3sin（2x-），要求y=3sin（﹣2x）就是求y=3sin（﹣2x）的递增区间就
是求y=-3sin（2x-）的递减区间，由正弦函数的单调减区间可得到答案
【考点】正弦函数的单调区间
2.等边△ABC的边长为1，记=， =，=，则•﹣﹣•等于．
【答案】
【解析】:由题意可得，，故•﹣﹣•=
【考点】平面向量数量积的运算
3.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．
【答案】9
【解析】:由题意可得，a是在不断变大的，b是在不断变小，当程序运行两次时，a=9,b=5，a>b,跳出程序，输出
a="9;"
【考点】算法的流程图的计算
4.已知圆C：（x﹣2）2+（y+m﹣4）2=1，当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是．
【答案】1
【解析】:由题意可得，圆C圆心为（2，4-m），半径为1的圆，圆C上的点与原点的最短距离是圆心与原点连线的距离减去半径1，即d=求最小值，当m=4时，d最小，
【考点】圆外一点到圆上一点距离最短问题；
三、解答题
1.已知集合A={x|log
2
≤1}，B={x|x2﹣2x+1﹣k2≥0}．
（1）求集合A；
（2）若A∩B≠∅，求实数k的取值范围．
【答案】（1） A={x|x＜﹣4或x≥2};（2）﹣1≤k≤1
【解析】（1）利用集合A中，log
2≤1=log
2
2再利用对数函数的单调性得到0＜≤2，解此不等式组可求解；
（2）由题意得，A∩B≠∅得到x2﹣2x+1﹣k2≥0在x∈（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）上有解,参变分离可求出实数k的取值范围；
试题解析：
（1）由A中不等式变形得：log
2≤1=log
2
2，即0＜≤2，
解得： x＞﹣1或x＜﹣4且x≤﹣1或x≥2，
∴不等式的解集为x＜﹣4或x≥2，
则A={x|x＜﹣4或x≥2}；
（2）依题意A∩B≠∅，得到x2﹣2x+1﹣k2≥0在x∈（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）上有解，
∴k2≤x2﹣2x+1在x∈（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）上有解，
∴k2≤1，解得：﹣1≤k≤1．
【考点】1.对数函数的定义域；2.一元二次不等式的求解；3.集合间的交并运算
2.已知向量与互相垂直，其中．
（1）求sinθ和cosθ的值；
（2）若，求cosφ的值．
【答案】（1）;（2）
【解析】（1）由与互相垂直得到，即可得出sinθ=2cosθ，代入sin2θ+cos2θ=1综合考虑
可求出sinθ和cosθ的值；（2）由题意得，通过（1）（2）中已知条件可求出cos（θ﹣φ）的值，进而对cosφ=cos[θ﹣（θ﹣φ）]=cosθcos（θ﹣φ）+sinθsin（θ﹣φ）变形可求解；
试题解析：
（1）∵与互相垂直，则，即sinθ=2cosθ，代入sin2θ+cos2θ=1得
，又，
∴
（2）∵0＜φ＜，，
∴﹣＜θ﹣φ＜，则cos（θ﹣φ）==，
∴cosφ=cos[θ﹣（θ﹣φ）]=cosθcos（θ﹣φ）+sinθsin（θ﹣φ）=
【考点】1.向量的数量积的运算；2.三角函数的基本关系式的运用；
3.某校高一（2）班共有60名同学参加期末考试，现将其数学学科成绩（均为整数）分成六个分数段[40，50），[50，60），…，[90，100]，画出如如图所示的部分频率分布直方图，请观察图形信息，回答下列问题：
（1）求70～80分数段的学生人数；
（2）估计这次考试中该学科的优分率（80分及以上为优分）、中位数、平均值；
（3）现根据本次考试分数分成下列六段（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第六组）为提高本班数
学整体成绩，决定组与组之间进行帮扶学习．若选出的两组分数之差大于30分（以分数段为依据，不以具体学生
分数为依据），则称这两组为“最佳组合”，试求选出的两组为“最佳组合”的概率．
【答案】（1）18（人）；（2）优分率为30%，中位数为75分，平均值为71分；（3）
【解析】（1）通过频率分布直方图，可算出70～80分数段的频率，乘以60即可算出来；（2）根据可求得成绩在80分及以上的学生人数，以此人数处以总数即为所求优分率，中位数是平分频率分布
直方图面积数，平均数为各组中点数乘以这组的频率之各；（3）将这6组两两一组的所有组合一一列举，再将两
组分数之差大于30分的所有组合一一列举，根据古典概型公式可求得所求概率。

试题解析：
（1）根据题意得：60×[1﹣（0.005+0.010+0.015×2+0.025）×10]=18（人）；
（2）成绩在80分及以上的学生有60×（0.005+0.025）×10=18（人），
∴估计这次考试中该学科的优分率为×100%=30%；
该学科40～50分数段人数为60×0.01×10=6（人）；50～60分数段人数为60×0.015×10=9（人）；60～70分数
段人数为60×0.015×10=9（人）；
70～80分数段人数为18人；80～90分数段人数为60×0.025×10=15（人）；90～100分数段人数为
60×0.005×10=3（人）；
∴估计这次考试中位数为70～80分数段，即75分；
平均值为（45×6+55×9+65×9+75×18+85×15+95×3）=71（分）；
（3）所有的组合数：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），即n=5+4+3+2+1=15，符合“最
佳组合”条件的有：（1，4），（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，6），即m=6，则P＝ = =．
【考点】1.频率分布直方图的应用；2.古典概型及其概率的计算；
4.如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，E为BD的中点．
（1）求证：BM⊥平面ADM；
（2）求直线AE与平面ADM所成角的正弦值．
【答案】（1）BM⊥平面ADM;（2）
【解析】（1）根据平面几何知识得AM⊥BM，据面面垂直的性质得出BM⊥平面ADM（2）以M为原点，MA，MB为x,y轴，以平面AMCD的垂线为z轴建立空间立体直角坐标系，设AD=1，求出和平面DM的法向量，
则即为所求
试题解析：
（1）△ABM中，AB=2，，∴AM⊥BM，
又平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，且BM⊆平面ABCM，
∴BM⊥平面ADM
（2）如图，以M点为坐标原点，MA所在直线为x轴，MB所在直线为y轴建立空间直角坐标系，则M（0，0，
0），，，，
∵E为BD中点，∴，，
由（1）知，为平面ADM的一个法向量，，
，
∴直线AE与平面ADM所成角的正弦值为
【考点】1.直线与平面垂直的性质；2.直线与平面所成的角；
5.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l
上．
（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
【答案】（1）y=3或y=﹣x+3;（2）0≤a≤．
【解析】（1）联立直线与直线y=2x﹣4解析式得到方程组，求出方程组的解即得到圆心C坐标，根据A坐标设出切线方程，由圆心到切线的距离等于半径，列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，确定出切线方程即可；（2）设M（x,y），由MA=2MO,利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0,1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得到两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式即可求出a的范围；
试题解析：
（1）联立得：，
解得：，∴圆心C（3，2）．
若k不存在，不合题意；
若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即=1，
解得：k=0或k=﹣，
则所求切线为y=3或y=﹣x+3；
（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知： =2，
化简得：x2+（y+1）2=4，
∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，
又∵点M在圆C上，C（a，2a﹣4），
∴圆C与圆D的关系为相交或相切，
∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，
∴1≤≤3，
解得：0≤a≤．
【考点】1.圆的切线方程；2.点到直线的距离公式的运用；3.圆与圆位置关系的判定。

6.已知函数f （x ）=，g （x ）=f （x ）﹣a
（1）当a=2时，求函数g （x ）的零点；
（2）若函数g （x ）有四个零点，求a 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，记g （x ）得四个零点分别为x 1，x 2，x 3，x 4，求x 1+x 2+x 3+x 4的取值范围． 【答案】（1）x=e 2或x=
，x=﹣2﹣
;（2）0＜a≤1；（3）（﹣2，e+
﹣4]
【解析】（1）根据函数零点的定义对f （x ）分x ＞0和x≤0列方程分别求出x 的值；（2）函数g （x ）=f （x ）﹣a 的零点个数即f （x ）的图象与a 的图象的交点个数，作函数f （x ）的图象y=a 的图象，结合两函数图象可知，利用数形结合进行判断求解；（3）根据函数的图象结合函数的对称性进行判断,不妨设x 1＜x 2＜x 3＜x 4，结合图象知x 1+x 2=﹣4且0＜x 3＜1，x 4＞1,由|lnx 3|=|lnx 4|=a ，知x 3x 4=1且x 4∈（1，e]可得出x 3+x 4范围，进而可求解出x 1+x 2+x 3+x 4的取值范围。

试题解析：
（1）当x ＞0时，由|lnx|=2解得x=e 2或x=，
当x≤0时，由x 2+4x+1=2解得x=﹣2+
（舍）或x=﹣2﹣
， ∴函数g （x ）有三个零点，分别为x=e 2或x=
，x=﹣2﹣
．
（2）函数g （x ）=f （x ）﹣a 的零点个数即f （x ）的图象与a 的图象的交点个数， 作函数f （x ）的图象y=a 的图象，结合两函数图象可知， 函数g （x ）有四个零点时a 的取值范围是0＜a≤1；
（3）不妨设x 1＜x 2＜x 3＜x 4，结合图象知x 1+x 2=﹣4且0＜x 3＜1，x 4＞1， 由|lnx 3|=|lnx 4|=a ，知x 3x 4=1且x 4∈（1，e]， ∴x 3+x 4=
+x 4∈（2，e+
]，
故x 1+x 2+x 3+x 4的取值范围是∈（﹣2，e+
﹣4]
【考点】1.函数的零点与方程根的关系；2.分段函数的应用；3.数形结合思想，化归与转化思想的应用。