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理论力学动态题库－证明题
1-1.极坐标系中，质点的径矢量定义为：
质点作平面运动，径矢量定义为：r ri ，由此推证其速度和加速度。

r ri ，
di d j j ,dj d i i ;
而 :dt dt dt dt（ 2 分）
v dr
i r
di
ri r j
dt dt（ 2 分）
a dv d
( ri )
d
( r j )
dt dt dt（ 2 分）
d(ri )ri r j d( r j )r j r j r 2i
而 :dt； dt（ 2 分）
a( r r 2 )i( r2r ) j（ 2 分）
1-2. 自然坐标系中，质点的速度矢量沿轨道的切线方向，定义为：v vi ，由此推证其加速度为：
a dv i v2j
dt
质点沿轨道运动，速度矢量定义为：v vi ， i 为切线方向．
d i d
j j ,（３分）
有 :
dt
dt
a dv dv i v di（2 分）
dt dt dt
而 :v ；di
j v j ,（３分）dt
a dv v2
j（2 分）i
dt
1-3.简述有心力的性质.并证明质点在有心力作用下只能在一个平面内运动.
证明：只要证明角动量是一个常矢量即可.
性质：（1）力线始终通过一定点；
(2) 角动量守恒 ,或掠面速度守恒；
(3) 有心力是保守力 , 或机械能守恒 .
1-4. 质点作平面运动，其速率保持常数，试证其速度矢量
v 与加速度矢量 a 正交。

证明 :
质点作平面运动，速度总沿轨道切线方向。

v
vi
（2 分） 而 : a
dv i v 2 j
（2 分）
dt
又 v 为常数，
dv
0 ，
（2 分）
dt
a
v 2 j
（2 分）
故 v
a ,
证毕。

（2 分）
1-5. 根据牛顿第二定律导出质点的角动量定理的数学表达式
.
1-6. 根据牛顿第二定律导出质点的动能定理微分形式的数学表达式 .
2-1. 根据牛顿第二定律导出
质点组 动量定理的数学表达式，并写出分量形式 .
2-2. 根据牛顿第二定律导出
质点组 对原点的角动量定理的数学表达式
.
解 :： m i d 2r i
F i ( i ) F i ( e )
dt 2
n
d 2 r i
n
( i ) ( e )
( r i m i
)
r i
F i
dt
2 ( F i
)
1
1
n
( i )
d 2 r i d
dr i
1
r i F i
0 ， r i
m i dt
2
dt
( r
i
dt )
d dt
即：
dJ
dt n
dr
i )
n
( r i
m i
r i F i ( e ) ,
1
dt
1
M .
2-3. 根据牛顿第二定律导出 质点组 的动能定理微分形式的数学表达式 .
解：
d 2r i
(i ) (e )
dt 2
F i F i
m i
m i d 2r i
dr i ( F i (i )
F i (e ) ) dr i ,
dt 2 dt
dt
v i dv i
v i i d( v i i ) v i i ( dv i
i
v i di ) v i dv i
d( 1
v i 2 )
2
n
1
m i r i 2
) n
F i (e )
n
F i (i )
dr i .
d (
dr i
1
2
1
1
2-4. 一光滑球 A 与另一静止的光滑球 B 发生斜碰。

如两者均为完全弹性体，且两球的质
量相等，则两球碰撞后的速度互相垂直，试证明之。

证明： 1. 动量守恒
m A v A m A v A m B v B
（ 3 分）
m A
m B
v A v A v B
(1)
2. 机械能守恒
1
m A v A
2
1
m A v A
2
1
m B v B 2
（ 3 分）
2
2
2
即:
v A 2 v A 2
B v B 2
(2)
由 (1) 式 , 有
(v A
v B )2 v A 2
B v B
2
即:
2v A
v
B
（ 2 分）
v A v B
证毕
（ 2 分）
3-1. 均质实心圆球和一外形相等的空心球壳沿着一斜面同时自同一高度自由滚下，证明它
们经过相等距离所需的时间比是
21 : 5 . （已知实心球、空心球的绕直径的转动惯量
分别为： I s
2 mR 2 , I k 2 m R 2 , 其中 R 是半径， m 是质量） 53
证明：
（ 1）确定刚体运动类型：平面平行运动。

（1 分）
（ 2）分析并写出平面平行运动的运动规律方程及其约束方程：
mx c mgsinf
0 N mgcos
（3 分）
mk
2
fa x c a
（ 3）解出得 x
g sin
（3 分）
c 1 k 2 / a 2
（ 4）则实心球和空心球的质心都作匀速直线运动，其大小分别为： a 实
g sin
5
g sin ，
1 2 / 5 7
a
空
g sin
3
g sin （ 2 分）
1
2 /
3 5
S ，则：
（ 5）设两球都经过相同的距离
1
2
＝ 1
2
S
2
a 实
t
实
2 a 空 t 空
所以得：
t 实
2
a 空
25 ，
t 空2
＝
a 实
＝
21
所以得：
t 实 ＝ 5
t 空 21
（ 2 分） （ 1 分） （ 1 分）
3-2. 棒的一端置于光滑水平面上，另一端则靠在光滑墙上，且棒与地面的倾角为 ，如任
其自此位置开始下滑，则当棒与地面的倾角变为
arcsin(
2
sin )
3
时，棒将与墙分离，试证明之。

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们经过相等距离所需的时间比是 21 : 5 .（已知实心球、 空心球的绕直径的转动惯量分别为：
I 实
2 m R 2 , I 空 2 m R 2
，其中 R 是半径， m
是质量）
5 3
证明：
（ 1）确定刚体运动类型：平面平行运动。

（ 1 分）
（ 2）分析并写出平面平行运动的运动规律方程及其约束方程：
mx c mg sinf
0 N mgcos （ 3 分）
mk 2
fa
x c
a
（ 3）解出得：
x c
g sin。

（ 3 分）
1 k
2 / a 2
（ 4）则实心球和空心球的质心都作匀速直线运动，其大小分别为：
a 实
g sin
5 g sin ，
1 2 / 5 7 a 空
g sin
3
g sin （ 2 分）
1 2 / 3 5
（ 5）设两球都经过相同的距离
S ，则：
1 2
2
（ 2 分）
＝1
a 空t 空
S
a t
2
2
所以得：
t 实2
空
25 ，
（ 1 分）
t 空2
＝
a
＝ a 实 21
所以得：
t 实 ＝ 5 （ 1 分）
t 空
21
3-3.
4-1. 推导质点在非惯性系中的动力学方程，并说明方程中各项的含义
.
4-2 ．导出空间转动参考系中质点运动加速度的表达式，并说明每一项的物理含义。

.解：（1）质点的速度为：
dr d * r （1 分）
dt
r
dt
（2）质点的加速度：
d d * （1 分）
a
dt
dt
d 2* r d *
2
d * r
dt 2
r
r
(2 分 )
dt
dt
（3）上式子可写为：
a a a t a c
（ 1 分）
d 2* r
（4）其中： a
2
dt
是相对加速度，与质点相对转动参考系的运动有关。

（ 1 分）
d
*
r （5） a t
r
dt
是牵连加速度，与转动参考系的转动有关。

（ 1 分）
d * r （6） a c
2
dt
是科里奥利加速度，是参考系转动与质点运动共同作用的结果。

（2 分）
4-3. 应用非惯性系动力学方程导出质点组对质心的角动量定理．
5-1. 写出保守、几何约束条件下的拉格朗日方程和哈密顿原理的数学表达式，并由哈密顿
原理证明拉格朗日方程
.
5-2. 用哈密顿原理导出理想、完整约束、保守系的正则方程。

s
解：（ 1）系统哈密顿函数： HLp q
（2 分）
1
s
（ 2）所以拉格朗日函数：
L
p q H
1
t 2 s
（ 3）带入哈密顿原理表达式： p q H dt 0
t 1
1
（ 4）考虑哈密顿函数是
p, q, t 的函数 , 则：
（ 2 分） （ 2 分）
t 2
n
H
H q
p
p
q dt 0
t 1
i 1
p
q
（ 5）因 q , p 相互独立，所以有：
q
H
, p
H
p a q a
（ 2 分） （ 2 分）
5-3. 用哈密顿原理导出理想、完整约束、保守系的拉格朗日方程。

t 2 解：（ 1）哈密顿原理表达式：
Ldt 0
（2 分）
t 1
（ 2）考虑拉格朗日函数是
q, q, t
的函数 , 则：
s
L
L
L
t ]dt 0
t 2
q
q )
（2 分）
[ ( t 1
q
q
t
1
（ 3）而：
L d
L
d L （2 分）
q
(
q ) -
(
) q
q α
dt q
dt
q
还有等时变分 : t
0, 代入前式 , 得
s
1
L
t 2 s
t 2
q
t 1
q
t 1 1
d L L (
) q
q dt 0（1 分）
dt
q
q
（ 4）因是端点固定的等时变分 , 第一项为零 , 所以有
t 2 s
t 1 1
（2 分）
d
L
L
(
) q q dt 0
dt q
q
即:
d ( L
) q
L q
（1 分）
dt
q
q
5-4. 用理想、完整约束、保守系的正则方程导出哈密顿原理。

（ 1）理想、完整约束、保守系的正则方程为：
q
H
p
H
（2 分）
0,
p
q
（ 2）两方程相减、分别乘以
p , q ，并对
求和、再积分，有：
t 2
s
H
H
{ [( q
) p ( p
) q ]}dt 0
（2 分）
t 1
1
p q
（ 3）利用： d
( p q
)
p q
p q
（2 分）
dt
（ 4）代入前式 ,得：
s
t 2
s
q p p q
H p
H q dt 0
t 2
1
t 1
1
p
q
因是端点固定的等时变分
, 第一项为零 , 所以有：
t 2 s
H p H
q dt 0
q p p q
（2 分）
t 1 1 p
q
再利用 :
s
s
H q H
L
t ，
L
( ( p q
H )
(q p
p q )
p
1
1
q
p
t
t 0 ，
t 2
t 2
代入 ,得：L
L 0
（2 分）
t 1
t 1
证毕。

5-5. 用理想、完整约束、保守系的拉格朗日方程导出哈密顿原理。

（ 1）理想、完整约束、保守系的拉格朗日方程为：
d ( L
) q
L q 0
（2 分）
dt q
q
（ 2）方程两边同乘
q ，并对
求和、再积分，有：
s t 2
{
t 1
1
[ d ( L )
L
] q }dt 0
（2 分）
dt q
q
（ 3）利用： d ( L
q )
d ( L
) q
L q （2 分）
dt q
dt
q
q α
s
（ 4）代入前式 ,得：
1
L
t 2 s
q
t 2
q
t 1
1
t 1
L
q
L
q dt
q
q
因是端点固定的等时变分
, 第一项为零 , 所以有：
t 2
s
L
L
q q dt
0 （2 分）
t 1
1
q
q
s
L
L
L
t ， t
0 ，
再利用 :
L
( q
q )
1
q
q
t
t 2
t 2
代入 ,得：
L
L
（2 分）
t 1
t 1
证毕。

5-6. 用哈密顿原理导出单质点保守力系下的牛顿第二定律。

5-7. 由多质点保守力系下的牛顿第二定律导出的哈密顿原理。