等比数列2

等比数列（2）
教学目标：1．明确等比中项概念；
2．进一步熟练掌握等比数列通项公式；
3．培养学生应用意识。

教学重、难点：1．等比中项的理解与应用、等比数列定义及通项公式的应用；
2．灵活应用等比数列定义及通项公式解决一些相关问题。

教学过程：
（一）复习：等比数列定义：
1(0)n n a q q a +=≠和等比数列通项公式：)0,(111≠⋅=-q a q a a n n ． （二）新课讲解：
1．等比数列性质：与等差数列对照，看等比数列是否也具有类似性质？
（1）等比中项：如果在b a 与中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做b
a 与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。

如果在b a 与中间插入一个数G ,使b G a ,,成等比数列，即
G b a G = ∴2G ab =， ∴b G a ,,成等比数列2 G ab ⇒=（注意这里不是充要条件，为什么？）
（2）由定义得：111n 1 , m n m a a q a a q --==，111q 1 ,p q p a a q
a a q --==⋅， 故221m n m n a a a q +-⋅=且221p q p q a a a q +-⋅=
若m n p q +=+(,,,)m n q p N +∈，则q p n m a a a a ⋅=⋅；
（3）由等比数列的通项公式知：若{}n a 为等比数列，则
m n m n a q a -= ．
2．例题分析：
例1．已知{}n a 为GP ，且578,2a a ==，该数列的各项都为正数，求{}n a 的通项公式。

解：设该数列的公比为q ，由7575a q a -=得22184q ==，又数列的各项都是正数，故12q =， 则58118()
()22
n n n a --=⨯= ． 例2．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。

解：由题意可以设这三个数分别为,,a a aq q
，得：
222222791a a aq q a a a q q
⎧⋅⋅=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩⇒22231(1)91a a q q =⎧⎪⎨++=⎪⎩ ∴4298290q q -+=，即得29q =或219
q =， ∴3q =±或13
q =±， 故该三数为：1，3，9或1-，3，9-或9，3，1或9-，3，1-． 说明：已知三数成等比数列，一般情况下设该三数为
,,a a aq q ．
例3． 已知；{}n a 为等比数列，{}n k 是等差数列且n k N +∈求证：{}n k a 是等比数列。

证明：设{}n a 的公比为q ，则11n n a a q -=⋅；{}n k 的公差为d ，则1(1)n k k n d =+-
∴1((1)1)1n k n d k a a q
+--= ， ∴111((1)1)1((2)1)1n
n k n d k d k n d k a a q q a a q
-+--+--==（与n 无关的常数）， 所以，{}n k a 是等比数列。

例4．若,,,a b c b c a c a b a b c +++-+-+-成等比数列，公比为q ，求32
q q q ++的值。

解：由题意得：23()(1)()(2)()(3)
b c a a b c q c a b a b c q
a b c a b c q +-=++⎧⎪+-=++⎨⎪+-=++⎩ （1）+（2）+（3）得：23()()a b c a b c q q q ++=++++
∵0a b c ++≠，
所以，32
q q q ++=1．
课堂练习：
1．已知{}n a 是G P ⋅且0n a >，243546225a a a a a a ++=则35a a += ．
2．已知{}n a 是G P ⋅且0n a >，569a a =，
则3132310log log log a a a +++=L ．
3．已知{}n a 是G P ⋅，47512a a ⋅=-，38124a a +=，且公比为整数，则10a = ．
4．已知在等比数列中，34a =-，654a =，则9a = ．
小结：等比中项及等比数列的性质（要和等差数列的性质进行类比记忆）。

作业补充：
1．在等比数列{}n a 中，1233a a a ++=-，1238a a a =，求该数列的通项公式。

2．有四数，其中前三数成等差数列，后三数成等比是列，且第一个数与第四个数之和为16，第二个数与第三个数和为12，求这四个数。