区分快慢变子系统的柔性机械臂组合控制

第５期２０１８年５月组合机床与自动化加工技术
ＭｏｄｕｌａｒＭａｃｈｉｎｅＴｏｏｌ＆ＡｕｔｏｍａｔｉｃＭａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇＴｅｃｈｎｉｑｕｅ
Ｎｏ.５Ｍａｙ２０１８
文章编号:１００１－２２６５(２０１８)０５－０１１６－０４㊀㊀㊀㊀ＤＯＩ:１０.１３４６２/ｊ.ｃｎｋｉ.ｍｍｔａｍｔ.２０１８.０５.０３０
收稿日期:２０１７－１２－２６ꎻ修回日期:２０１８－０１－２５
㊀∗基金项目:国家自然科学基金资助项目(５１３７５４３３)
作者简介:方俊(１９８４ )ꎬ男ꎬ安徽旌德人ꎬ北京京北职业技术学院讲师ꎬ硕士ꎬ研究方向为汽车制造工艺㊁汽车检修㊁整车控制ꎬ(Ｅ－ｍａｉｌ)
１０１０７４９５９０＠ｑｑ.ｃｏｍꎮ
区分快慢变子系统的柔性机械臂组合控制
∗
方㊀俊
(北京京北职业技术学院ꎬ北京㊀１０１４００)
摘要:为了提高柔性机械臂控制精度ꎬ文章设计了区分快变子系统与慢变子系统的组合控制器ꎮ使用拉格朗日方程和假设模态法建立了动态方程ꎬ使用奇异摄动分解法将系统分为快变子系统与慢变子系统ꎻ提出了自适应滑膜变结构控制ꎬ设计慢变子系统控制器ꎻ使用极值原理求解了快变子系统最优控制问题ꎬ从而给出了快慢变子系统组合控制ꎮ通过仿真验证ꎬ相比于传统滑膜变组合控制ꎬ自适应组合控制器的调节时间短㊁跟踪过程无震荡ꎬ且自适应组合控制器输出平滑无抖振ꎮ关键词:柔性机械臂ꎻ组合控制器ꎻ自适应滑膜变结构ꎻ极值原理ꎻ最优控制中图分类号:ＴＨ１６５ꎻＴＧ６５９㊀㊀㊀文献标识码:Ａ
ＦｌｅｘｉｂｌｅＭａｎｉｐｕｌａｔｏｒＣｏｍｂｉｎａｔｉｏｎＣｏｎｔｒｏｌｂｙＤｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｉｎｇＦａｓｔａｎｄＳｌｏｗＳｕｂｓｙｓｔｅｍｓ
ＦＡＮＧＪｕｎ
(ＮｏｒｔｈｅｒｎＢｅｉｊｉｎｇＶｏｃａｔｉｏｎａｌＥｄｕｃａｔｉｏｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅꎬＢｅｉｊｉｎｇ１０１４００ꎬＣｈｉｎａ)
Ａｂｓｔｒａｃｔ:Ｔｏｉｍｐｒｏｖｅｆｌｅｘｉｂｌｅｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒｃｏｎｔｒｏｌｐｒｅｃｉｓｉｏｎꎬｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｂｙｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｉｎｇｆａｓｔａｎｄｓｌｏｗｓｕｂｓｙｓｔｅｍｉｓｄｅｓｉｇｎｅｄ.Ｌａｇｒａｎｇｅｅｑｕａｔｉｏｎａｎｄａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｍｏｄｅｍｅｔｈｏｄａｒｅｕｓｅｄｔｏｅｓｔａｂｌｉｓｈｄｙ￣ｎａｍｉｃｅｑｕａｔｉｏｎ.Ｓｉｎｇｕｌａｒｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｓｔｒａｔｅｇｙｉｓｕｓｅｄｔｏｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｆａｓｔａｎｄｓｌｏｗｓｕｂｓｙｓｔｅｍ.Ａｄａｐｔｉｖｅｓｙｎｏ￣ｖｉａｌｓｔｒｕｃｔｕｒｅｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄꎬａｎｄｓｌｏｗｓｕｂｓｙｓｔｅｍｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｉｓｄｅｓｉｇｎｅｄ.Ｆａｓｔｓｕｂｓｙｓｔｅｍｏｐｔｉｍｕｍｃｏｎｔｒｏｌｉｓｓｏｌｖｅｄｂｙｅｘｔｒｅｍｕｍｐｒｉｎｃｉｐｌｅꎬｓｏｔｈａｔｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｃｏｎｔｒｏｌｏｆｆａｓｔａｎｄｓｌｏｗｓｕｂｓｙｓｔｅｍｉｓｇｉｖｅｎ.Ｂｙｔｒｉａｌꎬｃｏｍｂｉｎｅｄｗｉｔｈｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｓｙｎｏｖｉａｌｓｔｒｕｃｔｕｒｅｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒꎬｓｅｔｔｉｎｇｔｉｍｅｏｆａｄａｐｔｉｖｅｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｉｓｓｈｏｒｔꎬａｎｄｎｏｓｈｏｃｋｉｎｔｒａｃｋｉｎｇｐｒｏｃｅｓｓ.Ｂｅｓｉｄｅｓꎬａｄａｐｔｉｖｅｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｏｕｔｐｕｔｉｓｓｍｏｏｔｈａｎｄｃｈａｔ￣ｔｅｒｉｎｇｆｒｅｅ.
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:ｆｌｅｘｉｂｌｅｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒꎻｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒꎻａｄａｐｔｉｖｅｓｙｎｏｖｉａｌｓｔｒｕｃｔｕｒｅꎻｅｘｔｒｅｍｕｍｐｒｉｎｃｉｐｌｅꎻｏｐｔｉｍｕｍｃｏｎｔｒｏｌ
０㊀引言
机械臂可以代替人类完成劳动强度大㊁安全风险高㊁操作复杂的工作ꎬ传统的刚性机械臂基座粗壮㊁臂杆短ꎬ存在灵活性差㊁能耗大㊁定位精度低㊁反应速度慢等问题[１]ꎬ不适应航天㊁医疗等领域ꎮ灵活性好㊁能耗低㊁响应快的柔性机械臂在航空航天㊁高精密制造中越来越受到重视ꎬ但是柔性机械臂在使用中会发生形变和振动ꎬ对系统稳定性和操作精确性影响很大[２]ꎮ因此研究柔性机械臂控制方法ꎬ对提高系统稳定性和操作精确性具有现实意义ꎮ
机械臂的控制方法可以分为以下几种:①基本控制方法ꎬ也就是基于模型的控制方法[３]ꎻ②自适应控制ꎬ在线估计未知参数并调整控制策略[４]ꎻ③ＰＩＤ控制[５]ꎻ④变结构控制[６]ꎻ⑤鲁棒控制[７]ꎻ⑥模糊控制ꎻ⑦迭代学习控制[８]ꎻ⑧神经网络控制ꎻ⑨最优控制ꎻ⑩奇异摄动控制[９]等ꎮ这些方法各有优缺点ꎬ比如ＰＩＤ控制简单㊁无需建模ꎬ但是稳定性较差ꎻ模糊控制优点是不需要系统模型ꎬ缺点是控制精度低等ꎮ
本文目的是提高柔性机械臂控制精度ꎬ使用拉格朗方程建立了动力学方程ꎬ使用奇异摄动法将系统分解为
快变和慢变子系统ꎬ分别设计了快慢变子系统控制器ꎮ通过仿真结果看出ꎬ自适应滑膜变组合控制器具有跟踪速度快㊁跟踪过程无震荡㊁控制器输出平稳等优势ꎮ
１㊀柔性机械臂建模
本文研究对象为双连杆柔性机械臂ꎮ柔性机械臂包括关节柔性和臂杆柔性两个方面ꎬ其中关节柔性非常复杂ꎬ本文忽略关节柔性ꎬ只研究臂杆柔性ꎬ臂杆柔性包括弹性形变㊁剪切形变和轴向形变三个方面ꎬ而柔性机械臂的臂长远远大于截面直径ꎬ因此剪切形变和轴向形变相对于弹性形变可以忽略不计ꎬ基于以上分析ꎬ本文将柔性机械臂简化为Ｅｕｌｅｒ￣Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁ꎮ
１.１㊀拉格朗日方程
本文使用拉格朗日方程和假设模态法建立柔性机械臂动力学方程ꎮ
拉格朗日方程描述为:ｄｄｔ(∂Ｌ∂̇ｚ)－∂Ｌ∂ｚ
＝Ｑ(１)
式中ꎬＬ为拉格朗日函数ꎬＱ为广义力ꎬｚ为广义坐标变量ꎮ拉格朗日函数Ｌ＝Ｔ－Ｖ－Ｕꎬ式中Ｔ为系统总动能ꎬＶ为总势能ꎬＵ为总应变能ꎮ
１.２㊀柔性机械臂力学分析
建立柔性机械臂的割线坐标系如图１所示ꎮ图中ＯＸＹ为惯性坐标系ꎬＯｉＸｉＹｉ为连杆Ｌｉ的割线坐标系ꎬｑｉ为第ｉ个连杆的转角ꎬｍｉ为连杆ｉ的末端集中质量ꎬｗｉ(ｘｉꎬｔ)为ｔ时刻㊁连杆ｉ在ｘｉ处的横向形变ꎮ记连杆ｉ的长度为Ｌｉ㊁质量为Ｍｉꎮ
图１㊀双连杆柔性机械臂割线坐标系
根据假设模态法[１０]和振动分析理论ꎬｗｉ(ｘｉꎬｔ)
为:
ｗｉ(ｘｉꎬｔ)＝
ð
ｎｊ＝１
ｐｉｊ(ｔ)ｓｉｎ
ｊπｘｉＬｉ
(２)
其中ꎬｐｉｊ(ｔ)为弹性模态坐标矢量ꎬｊ为模态标号ꎬｎ为模态数ꎮ
连杆１任意一点坐标可表示为:
ｒ１＝[ｘ１ｃｏｓｑ１－ｗ１ｓｉｎｑ１ꎬｘ１ｓｉｎｑ１＋ｗ１ｃｏｓｑ１]Ｔ(３)
对上式求导ꎬ得到连杆１上任意一点速度为:
̇ｒ１＝－ｘ１̇ｑ１ｓｉｎｑ１－ｗ１̇ｑ１ｃｏｓｑ１－∂ｗ１∂ｔｓｉｎｑ１ｘ１̇ｑ１ｃｏｓｑ１－ｗ１̇ｑ１ｓｉｎｑ１＋∂ｗ１
∂ｔｃｏｓｑ１éëêêê
ùû
úúú(４)将ｘ１＝Ｌ１代入到上式ꎬ可以得到连杆１末端位置速度为:
̇ｒｍ１
＝̇ｒ１ｘ１＝Ｌ１
＝[－Ｌ１̇ｑ
１ｓｉｎｑ１ꎬＬ１̇ｑ１ｃｏｓｑ１]Ｔ经过以上分析ꎬ连杆１的动能为:
Ｔ１＝
１２
(ʏ
Ｌ１
０
Ｍ１Ｌ１
̇ｒＴ
１̇ｒ１ｄｘ１＋ｍ１̇ｒＴｍ１̇ｒｍ１)同理可以推导出连杆２的动能Ｔ２ꎬ则柔性机械臂
系统总动能Ｔ为:
Ｔ＝
ð
２
ｉ＝１
１２ｍｉ̇ｒＴｉ̇ｒｉ＋１２
ð２ｉ＝１
ʏ
Ｌｉ
０
ＭｉＬｉ̇ｒ
Ｔ
ｉ̇ｒｉｄｘｉ
(５)
柔性机械臂系统总势能Ｖ为重力势能ꎬ即
Ｖ＝ｍ１ｇＬ１ｓｉｎｑ１＋ｍ２ｇ(Ｌ１ｓｉｎｑ１＋Ｌ２ｓｉｎｑ２)＋
ð２
ｉ＝１
ｇʏ
Ｌｉ
０
ρｉ[０ꎬ１] ｒｉｄｘｉ(６)
其中ꎬρｉ为连杆的线密度ꎮ
柔性机械臂产生的弹性形变还会产生应变能为:
Ｕ＝
１２
ð２ｉ＝１
ʏ
Ｌｉ
０
ＥｉＩｉ(ｗᵡ(ｘｉꎬｔ))２ｄｘｉ(７)
其中ꎬＥｉ为连杆ｉ的弹性模量ꎬＩｉ为连杆ｉ的惯性矩ꎮ以上公式中点是对时间的倒数ꎬ撇是对ｘｉ的倒数ꎮ
１.３㊀建立动力学方程
拉格朗日方程在柔性机械臂系统中具体形式为:
ｄｄｔ∂(Ｔ－Ｖ－Ｕ)∂̇ｑｉ
()＋∂Ｔ∂ｑｉ－∂Ｖ∂ｑｉ－∂Ｕ∂ｑｉ＝Ｂτｉｄｄｔ∂(Ｔ－Ｖ－Ｕ)∂̇ｐ
ｉｊ()
＋∂Ｔ∂ｐｉｊ－∂Ｖ∂ｐｉｊ－∂Ｕ∂ｐｉｊ＝Ｂτｉìîí
ïïï(８)其中ꎬｉ＝１ꎬ２ꎬｊ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎꎮ将式(５)~式(７)代入到拉格朗日方程中ꎬ结合正交原理ꎬ得到柔性机械臂系统的动力学方程为:
Ｍ(ｑꎬｐ)
㊆ｑ㊆ｐ[]＋Ｃ(ｑꎬ̇ｑꎬｐꎬ̇ｐ)̇
ｑ̇ｐ[]＋００
０Ｋｉ
[]ｑｐ[]＋Ｇ(ｑ)＝τ(９)
其中ꎬＭ(ｑꎬｐ)为惯性矩阵ꎬｑ＝[ｑ１ꎬｑ２]Ｔ为连杆转角ꎬｐ＝[ｐ１１ꎬ ꎬｐ１ｎ１
ꎬｐ２１ꎬ ꎬｐ２ｎ２
]Ｔ为连杆弹性模态坐
标矢量ꎬＣ(ｑꎬ̇ｑ
ꎬｐꎬ̇ｐ)为哥氏力和离心力矩ꎬＫｉ＝ｄｉａｇ(ｋ１１ꎬ ꎬｋ１ｎ１
ꎬｋ２１ꎬ ꎬｋ２ｎ２
)为机械臂的刚度矩阵ꎬＧ(ｑ)为重力矩阵ꎬτ为输入的控制力矩ꎮ由于篇幅限
制ꎬＭ(ｑꎬｐ)㊁Ｃ(ｑꎬ̇ｑ
ꎬｐꎬ̇ｐ)㊁Ｋｉ㊁Ｇ(ｑ)的具体表达式不再给出ꎮ
２㊀组合控制器设计
首先使用奇异摄动分解法将机械臂动力学方程分为快变子系统和慢变子系统ꎮ记Ｎ为Ｍ的逆矩阵ꎬ即:
Ｎ＝
Ｎ１１(ｑꎬｐ)
Ｎ１２(ｑꎬｐ)Ｎ
２１
(ｑꎬｐ)
Ｎ２２(ｑꎬｐ)
[]＝Ｍ１１(ｑꎬｐ)
Ｍ１２(ｑꎬｐ)
Ｍ
２１
(ｑꎬｐ)
Ｍ２２(ｑꎬｐ)
[]
－１
记ｋ＝
ｍｉｎ
ｉ＝１ꎬ２ｊ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎｉ
ｋｉｊ
{}
ꎬ引入一个小参数μ＝
１ｋ
ꎬ Ｋ
＝μＫ１ꎬｚ＝１μ
ｐꎬ则将式(９)展开为柔性机械臂的奇异摄动模型为:
㊆ｑ＝－Ｎ１１(ｑꎬμｚ)Ｃ１(ｑꎬ̇ｑꎬμｚꎬμ̇ｚ)－Ｎ１２(ｑꎬμｚ)Ｃ１(ｑꎬ̇ｑꎬμｚꎬμ̇ｚ)－Ｎ１１(ｑꎬμｚ)Ｇ１(ｑ)－Ｎ１２(ｑꎬμｚ)Ｇ２(ｑ)－Ｎ１２(ｑꎬμｚ) Ｋｚ＋Ｎ１１(ｑꎬμｚ)τ＋Ｎ１２(ｑꎬμｚ)τμ㊆ｚ＝－Ｎ２１(ｑꎬμｚ)Ｃ１(ｑꎬ̇ｑ
ꎬμｚꎬμ̇ｚ)－Ｎ２２(ｑꎬμｚ)Ｃ２(ｑꎬ̇ｑꎬμｚꎬμ̇ｚ)－Ｎ２１(ｑꎬμｚ)Ｇ１(ｑ)－Ｎ２２(ｑꎬμｚ)Ｇ２(ｑ)－Ｎ２２(ｑꎬμｚ) Ｋｚ
＋Ｎ２１(ｑꎬμｚ)τ＋Ｎ２２(ｑꎬμｚ)τ
ìîíïïïïïï由于小参数μ的存在ꎬ上式在快变量中显示边界
层现象ꎬ令μ＝０可以得到慢变子系统动力方程为:
Ｍｓ１１(ｑꎬ０)㊆ｑｓ＋Ｃｓ１(ｑꎬ̇ｑ)̇ｑｓ＋Ｇｓ１(ｑ)＝τｓ
(１０)
其中ꎬ上标ｓ表示此变量为慢变量ꎬ慢变子系统描述柔性臂的刚性运动ꎮ
在边界层上引入伸长时标σ＝ｔ
μ
ꎬ在靠近边界层区域取μң０ꎬ且将慢变量视为常数ꎬ得到快变子系统为:
ｄ２ｚｆｄσ
２＝－Ｎｆ２２(ｑꎬ０) Ｋｚｆ＋[Ｎｆ２１(ｑꎬ０)＋Ｎｆ２２(ｑꎬ０)]τｆ(１１)其中上标ｆ表示此变量为快变量ꎬ快变量子系统描述
柔性机械臂的弹性振动ꎮ
基于式(１０)和式(１１)ꎬ组合控制器设计原理如图２所示
ꎮ
图２㊀组合控制器原理
图中ｑｄ为柔性机械臂期望输出ꎬｑ为实际输出ꎬτｓ㊁τｆ分别为慢变量和快变量控制力矩ꎮ
３㊀快慢变子系统设计
３.１㊀慢变子系统控制器
本文使用滑膜变结构控制慢变子系统ꎬ但是当系
７１１ ２０１８年５月㊀㊀
方㊀俊:区分快慢变子系统的柔性机械臂组合控制
统存在较大不确定性和较大干扰时ꎬ系统会产生较大的抖振ꎬ甚至影响系统稳定性ꎬ因此本文提出了自适应滑膜变结构控制ꎬ就是使用自适应算法估计系统未知参数ꎬ再根据估计值和滑膜运动条件设计控制器ꎬ具体如图３所示
ꎮ
图３㊀自适应滑膜变结构控制器
定义角度跟踪误差为 ｑ
＝ｑ－ｑｄꎬ式中ｑｄ为连杆期望角度ꎬｑ为实际角度ꎬ ｑ为角度误差ꎮ定义滑膜面
为ｓ＝ ｑ
＋Λ ｑꎬ式中Λ＝ｄｉａｇ(λ１ꎬλ２)为常数矩阵ꎮ定义̇ｑ
ｒ(ｔ)＝̇ｑｄ(ｔ)－Λ ｑ(ｔ)ꎮ由式(１０)可知ꎬ柔性机械臂的慢变子系统与刚性机械臂一样ꎬ具有线性特性ꎬ也就是说ꎬ如果将机械臂
参数未知常数向量记为αꎬ则必然存在矩阵ϕ(ｑꎬ̇ｑ
ꎬ̇ｑｒꎬ㊆ｑ
ｒ)ꎬ使下式成立[１１]ꎮＭｓ(ｑ)㊆ｑ
ｒ＋Ｃ(ｑꎬ̇ｑ)̇ｑｒ＋Ｇ(ｑ)＝ϕ(ｑꎬ̇ｑꎬ̇ｑｒꎬ㊆ｑｒ)α其中ꎬϕ(ｑꎬ̇ｑ
ꎬ̇ｑｒꎬ㊆ｑｒ)称为回归矩阵ꎮ滑膜变结构控制率设计为:
τ＝ϕ(ｑꎬ̇ｑꎬ̇ｑｒꎬ㊆ｑｒ)φ－Ｋｄｓφｉ＝－ ηｉｓｇｎ[ð
ｎｊ＝１ｓｊ
ϕｊｉ(ｑꎬ̇ｑ
ꎬ̇ｑｒꎬ㊆ｑｒ)]{
(１２)
其中ꎬＫｄ为正定矩阵ꎬ ηｉ为上界估计值ꎬ其自适应估
计值为:
η(
ｉ＝Γｉ
ð
ｎ
ｊ＝１ｓｊ
ϕｊｉ(ｑꎬ̇ｑ
ꎬ̇ｑｒꎬ㊆ｑｒ)(１３)
式中要求Γｉ>０ꎮ
为了分析上述控制系统的稳定性ꎬ构造Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数为:
Ｖ＝１２ｓＴＭｓ＋
１２
ð２
ｉ＝１(ηｉ－ ηｉ)
２Γｉ(１４)
可以推导出̇Ｖ
ɤ－ｓＴＫｄｓ<０ꎬ由于篇幅限制ꎬ不给出推导过程ꎮ由此可以得出慢变子系统控制系统具有李雅普诺夫意义下的稳定性ꎮ
３.２㊀快变量子系统控制器
对于式(１１)描述的快变子系统ꎬ选择状态量ｘ１＝
ｚｆꎬｘ２＝̇ｚ
ｆꎬ状态向量记为Ｘ＝[ｘ１ꎬｘ２]Ｔꎬ则快变子系统状态方程为:
̇Ｘ＝ＡＸ＋ＢＵ(１５)其中ꎬＡ＝
０１－Ｎｆ２２ Ｋ０[
]ꎬＢ＝０
Ｎｆ２１＋Ｎｆ
２２
[]
ꎬＵ＝τｆꎮ控制目标是振动最小㊁控制使用能量最小ꎬ因此将性能函数设置为:
Ｊ１＝
１２
ʏ
０
ɕＸＴＱＸ
＋ＵＴＲＵ[]ｄσ(１６)
其中ꎬＲ㊁Ｑ为对称正定矩阵ꎬＸＴＱＸ为动态振动能量ꎬＵＴＲＵ为能量消耗ꎮ
由状态方程可知快变量子系统为线性系统ꎬ由式(１６)可知性能函数为状态变量和控制变量的二次型ꎬ因此快变子系统最优控制问题为线性二次型问题ꎮ根据极值原理ꎬ求解此线性二次型问题ꎬ得快变子系统最优控制为:
Ｕ＝－Ｒ－１ＢＴＰＸ
(１７)
其中ꎬＰ为常数矩阵ꎬ为ＰＡ＋ＡＴＰ－ＰＢＲ－１ＢＴＰ＋Ｑ＝０的解ꎮ
３.３㊀组合控制率
将式(１２)给出的慢变子系统控制率记为τｓꎬ依据
式(１７)给出快变子系统控制率τｆꎮ式(１７)快变子系
统控制率是在快时标σ＝ｔ
ｕ下设计的ꎬ需将其转至慢
时标下ꎮ由于ｚｆ＝ｚ－ｚｓ
㊁ｄｚｄｔ＝ｕｄｚｄσꎬｄｚｓｄσ
＝０ꎬ则:
τｆ＝－Ｒ－１Ｐ[ｚ－ｚｓꎬｕ̇ｚ
]Ｔ(１８)
由式(１２)和式(１８)可以得到柔性机械臂的混合
控制率为τ＝τｓ＋τｆꎮ
４㊀仿真验证及分析
本次实验的目的是验证设计的组合控制器对柔性
机械臂的控制效果ꎮ柔性机械臂相关参数设置为:
Ｍ(ｑ)＝
０.１＋０.０１ｃｏｓｑ２０.０１ｓｉｎｑ２
０.０１ｓｉｎｑ２０
[]
ꎬＧ(ｑ)＝０.０１ｇｃｏｓ(ｑ１＋ｑ２)０.０１ｇｃｏｓ(ｑ１＋ｑ２)
[]
ꎬｇ＝９.８ｍ/ｓ２ꎬＣ(ｑꎬ̇ｑ)＝－０.００５ｓｉｎｑ２ ̇ｑ
２０.００５ｃｏｓｑ２ ̇ｑ２０.００５ｃｏｓｑ２ ̇ｑ２０
[
]
ꎬ关节１初始状
态为[０.０８ꎬ０]ꎬ关节２初始状态为[－０.０８ꎬ０]ꎬ性能函数中Ｑ＝ｄｉａｇ(５０ꎬ１０)ꎬＲ＝１００ꎬ两关节期望轨迹为ｑｄ＝[０.０１ｓｉｎｔꎬ０.０１ｓｉｎｔ]Ｔꎮ自适应滑膜控制参数为Ｋｄ＝ｄｉａｇ(１０ꎬ１０)ꎬΛ＝ｄｉａｇ(２５ꎬ２５)ꎬΓ１＝Γ２＝０.００５ꎬη１(０)＝０.８ꎬη２(０)＝０.２ꎮ
为了验证组合控制器的优越性ꎬ同时使用传统的滑膜变结构和自适应滑膜变结构控制器对慢变子系统进行控制ꎬ采集１０ｓ的输出信号ꎬ结果分别如图
４和图５所示
ꎮ
图４㊀传统滑膜变结构组合控制效果
８１１ 组合机床与自动化加工技术㊀第５期
图５㊀自适应滑膜变结构组合控制效果
图４为传统滑膜变结构组合控制器对关节的位置跟踪效果ꎬ从图４ａ可以看出ꎬ从第６ｓ时关节１大致跟踪目标轨迹ꎬ第８ｓ时精确跟踪ꎬ从图４ｂ可以看出ꎬ关节２从第５ｓ时较精确跟踪目标轨迹ꎮ图５为自适应滑膜变结构组合控制器对关节位置的跟踪效果ꎬ从图５ａ可以看出ꎬ在１.５ｓ时关节１精确跟踪目标曲线ꎬ从图５ｂ可以看出ꎬ在１.３ｓ时关节２精确跟踪目标曲线ꎮ所以自适应滑膜变结构组合控制器在调节时间上具有明显优势ꎬ除此之外ꎬ图４所示的控制过程存在长时间震荡过程ꎬ而图５所示的控制过程不存在震荡过程ꎬ也说明了自适应滑膜变组合控制器在关节位置跟踪上的优势ꎮ
为了进一步对自适应滑膜变组合控制器的优势进行挖掘ꎬ图６给出了关节１和关节２的期望控制输入曲线ꎬ图７给出了传统滑膜变结构组合控制器输入曲线与自适应组合控制器输入曲线
ꎮ
图６㊀
各关节期望输入力矩
可以看出ꎬ滑膜变结构和自适应滑膜变结构组合控制器的输出力矩与期望输出力矩都很接近ꎬ但是滑膜变结构组合控制器输出存在明显的抖振现象ꎬ而自适应滑膜变结构组合控制器输出力矩平滑性很好ꎬ系统稳定性更强ꎬ控制效果更好ꎮ这是因为自适应滑膜变结构以误差和误差变化率为依据ꎬ对控制率进行了自适应调整ꎬ使得自适应滑膜变控制器的控制量平滑性好ꎮ
５㊀结论
本文建立了柔性机械臂的动力学方程ꎬ使用奇异摄动分解法将系统区分为快变子系统和慢变子系统ꎬ分别设计了快慢变子系统控制器ꎬ对传统滑膜变结构控制进行改进ꎬ提出了自适应滑膜变结构控制器ꎬ通过仿真可以看出:①相比于传统滑膜变结构控制ꎬ自适应滑膜变组合控制器跟踪目标轨迹更快㊁且跟踪不存在震荡过程ꎬ说明区分柔性机械臂的快慢变子系统ꎬ并分别设计控制器ꎬ对于柔性机械臂的控制非常有效ꎻ②自适应滑膜变组合控制器输出力矩平稳ꎬ不存在抖振现象ꎬ这是因为自适应滑膜变结构以误差和误差变化率为控制依据ꎬ自适应修改控制率ꎬ使控制器的输出控制量非常平滑ꎮ
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(编辑㊀李秀敏)
９１１ ２０１８年５月㊀㊀方㊀俊:区分快慢变子系统的柔性机械臂组合控制。