残数演算

残数演算
术语“残数”首次出现于柯西在1826年写的一篇论文中(文献[1]，(2)15)．他认为残数演算已成为“一种类似于微积分的新型计算方法”，可以应用于大量问题，“例如……直接推出拉格朗日插值公式，等根或不等根情形下分解有理函数，适合于确定定积分值的各种公式，大批级数尤其是周期级数的求和．具有有限或无限小差分和常系数、末项带或不带变量的线性方程的积分，拉格朗日级数或其他类似级数，代数或超越方程的解，等等．”
他给出了m阶极点x1处的残数公式
他先后得到关于矩形、圆和一般平面区域的残数定理
∫f(z)dz=2πiEf(z)，
其中E表示“提取残数”即求f(z)在区域内所有极点处残数之和．他还详细讨论了极点位于矩形边界时如何适当修正系数2πi(文献[1]，(2)6，pp．124—145)．
1843年，柯西向科学院递交了很多短论，表明残数演算可用于椭圆函数论．次年刘维尔发表了有界双周期函数恒等于一常数的定理后，柯西立即指出它可以从残数理论推出并可推广到一般情形．1855年，他证明了
其中Z(z)是在区域S中只有孤立极点的函数，积分沿S的边界，N，P分别为Z(z)在S中零点和极点的个数(文献[1]，(1)12，pp．285—292)．他对残数演算的兴趣终生不减，去世前三月还发表题为《残数新理论》(Théorie nouvelle des residues，见文献［1］，(1)12)的论文．残数演算很快引起了同时代数学家的注意，越出了法国国界．1834与1837年在意大利和英国分别出现了有关的综述．M．P．H．洛朗(Laurent)于1865年出版了专著《残数理论》(Théorie des residues)．俄国第一篇关于复变函数的论文是Ю．索霍茨基(Сохоцкий)1868年发表的关于残数及其应用的学位论文．。