2019年江苏省南通市高考数学模拟试卷(5月份)-教师用卷

2019年江苏省南通市高考数学模拟试卷（5月份）
副标题
一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）
1.集合，则集合A中所有元素之和为______．
【答案】
【解析】解：集合0，，
集合A中所有元素之和为，
故答案为．
用列举法表示出集合A，再把集合A中的所有元素相加求和．
本题考查一元二次不等式的解法，用列举法表示集合．
2.设复数，，若为实数，则x为______．
【答案】4
【解析】解：，，故答案为：4．
利用两个复数代数形式的乘法法则可得，由它为实数可得．
本题考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘法，是一道基础题．
3.已知函数为奇函数，则______．
【答案】0
【解析】解：利用奇函数的定义，求．
当时，则，所以，所以，，
故．
故答案为：0．
利用函数是奇函数得到，然后利用方程求解a，b．
本题考查了函数奇偶性的应用比较基础．
4.用系统抽样方法从400名学生中抽取容量为20的样本，将400名学生随机地编号
为～，按编号顺序平均分为20个组若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为11，则第20组抽取的号码为______．
【答案】391
【解析】解：第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为11，样本组距为20，
抽查号码对应的关系为，
则当时，，
故答案为：391．
根据系统抽样的定义可知，抽查号码对应的关系为，让，即
可得到结论．
本题主要考查系统抽样的定义和应用，比较基础．
5.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台的整点报时，则他等待的时
间不多于5分钟的概率为______．
【答案】
【解析】解：设电台的整点报时之间某刻的时间x，
由题意可得，
等待的时间不多于5分钟的概率为
故答案为：
由于电台的整点报时之间的间隔60分，等待的时间不多于5分钟，根据几何概率的计算公式可求
本题主要考查了几何概率中与区间长度有关的概率的求解，几何概率常见的度量有长度面积体积．
6.在锐角中，，，的对边长分别是b，c，则的取值范围
是______．
【答案】
【解析】解：在锐角中，
，，
由正弦定理可知：，
故答案为
由可得，由A，B，可先确定B的范围，利用正弦定理化简表达式，求出范围即可．
本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，注意锐角三角形中角的范围的确定，是本题解答的关键，考查计算能力，逻辑推理能力．
7.已知是正三棱锥，其外接球O的表面积为，且
，则三棱锥的体积为______．
【答案】
【解析】解：
如图，由，可得，
即，
又，
，
，，
，
，
故答案为：．
由球O的表面积求得半径，结合及等腰三角形求得测棱长，进一步求得高和底面边长，得解．
此题考查了三棱锥外接球问题，难度不大．
8.在平面直角坐标系xOy中，双曲线的一条渐近线与准线的交点到另一条
渐近线的距离为______．
【答案】
【解析】解：双曲线的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为：．
故答案为：．
求出准线方程与渐近线方程，得到交点坐标，然后利用点到直线的距离求解即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
9.已知函数，，则的解集是______．
【答案】
【解析】解：根据题意，当时，，
当时，，为增函数，
；
其图象如图：
若，则有，
解可得：，
即不等式的解集为；
故答案为：．
根据题意，将函数的解析式变形为；分析其图象，据此原不等式可以转化为，解可得x的取值范围，即可得答案．
本题考查分段函数以及函数单调性的判断以及应用，关键是求出的解析式，属于基础题．
10.设是等比数列的前n项和，若满足，则______．
【答案】
【解析】解：设的公比为q，显然．
，
，
．
，，
．
故答案为：．
根据通项公式得出，再代入求和公式计算即可．
本题考查了等比数列的通项公式，求和公式，属于基础题．
11.若函数是偶函数，则实数a的值为______．【答案】
【解析】解：
为偶函数，
，
，
．
故答案为：．
将转化为，利用
偶函数的概念可求得a的值．
本题考查三角函数的化简，考查函数的奇偶性，求得
是关键，属于中档题．
12.如图，已知正方形ABCD的边长是2，E是CD的中点，
P是以AD为直径的左侧半圆上任意一点，则的
取值范围是______．
【答案】
【解析】解：建立如图所示的直角坐标系，
则，，，，
，，，
所以，，
所以，
其中且为锐角
所以，
所以当时，
取最大值2，
当即时，取最小值，
即，
故答案为：．
由三角函数的辅助角公式及平面向量数量积的运算得：
，其中且为锐角所以，
所以当时，取最大值2，当即时，取最小值，即
，得解．
本题考查了三角函数的辅助角公式及平面向量数量积的运算，属中档题．
13.在平面直角坐标系xOy中，圆O：，直线l：，过直线l
上一点Q作圆O的切线，切点为P，N，且，则正实数a的取值范围是
______．
【答案】
【解析】
解：设点Q到圆心的距离为，，
则，，
则，
则由，
得，
即，
解得，
即圆心到直线的距离小于等于，
即，
又，
解得，
故答案为：
由平面向量数量积的运算得：设点Q到圆心的距离为d，，，则由，得，即，解得，由点
到直线的距离得：圆心到直线的距离小于等于，即，又，
解得．
本题考查了平面向量数量积的运算及点到直线的距离，属中档题．
14.已知函数满足，当时，若在区间上，函
数恰有一个零点，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】解：当时，．
，
函数的图象图象：
当直线与相切时，设切点为
则切线方程为
代入点，可得，即切线的斜率为．
函数恰有一个零点曲线与直线有一个交点．
根据图象可得则实数a的取值范围是，
故答案为：．
当时，，函数恰有一个零点
曲线与直线有一个交点．
根据图象可得则实数a的取值范围．
本题考查了函数的零点，考查了数形结合、函数与方程思想，属于中档题．
二、解答题（本大题共11小题，共150.0分）
15.已知中，，，，．
求；
设，且已知，，求．
【答案】解：由已知，即，
，，分
，，分
在中，，
又，，分
分
在中，，分
即，，分
而，分
则，分
，分
【解析】先由已知，得到再根据向量的数量积为得
到最后利用直角三角形：在中，求得BC的长度即可；
先在中，，得到从而，
利用角的限制条件得出，最后结合三角变换公式即可求得
．
本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值，解答的关键是灵活应用三角变换的公式进行转换．
16.如图，在直四棱柱中，底面ABCD为等
腰梯形，，，，，E，
分别是棱AD，的中点．
设F是棱AB的中点，证明：直线平面；
证明：平面平面C.
【答案】证明：方法一：取的中点为，连接，，
由于，所以平面，因此平面即为平
面．
连接，，由于，所以四边形为平
行四边形，因此C.
又，得，而平面，平面，故EE平面．方法二：因为F为AB的中点，，，，所以CD綊AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以又，，平面，平面，所以平面平面，又平面，所以平面．
连接AC，取F为AB的中点，在中，，
又F为AB的中点，所以，因此，
即又，且，所以平面，
而平面，故平面平面C.
【解析】取的中点为，连接，，要证明直线
平面，只需证明，就证明了平面内的直线，即可推得结论；
要证明平面平面，只需证明，，即可．
本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．
17.如图，我市市区有过市中心O南北走向的解放路，为了解决南徐新城的交通问题，
市政府决定修建两条公路，延伸从市中心O出发北偏西方向的健康路至B点；
在市中心正南方解放路上选取A点，在A、B间修建徐新路．
如果在A点看市中心O和点B视角的正弦值为，求在点B处看市中心O和点A 视角的余弦值；
如果区域作为保护区，已知保护区的面积为，A点距市中心的
距离为3km，求南徐新路的长度；如果设计要求市中心O到南徐新路AB段的距离为4km，且南徐新路AB最短，请你确定两点A、B的位置．
【答案】解：由题可得，为锐角，，
故，
，，
，由余弦定理可得
，
，
，
，等号成立条件是
答：当AB最短时，A，B距离市中心O为8公里．
【解析】由题意，为锐角，，由于；
，故由差角公式求值即可；
如图在三角形AOB中用余弦定理求解即可．
根据题设条件用余弦定理将南徐新路AB的长度表示出来，再结合基本不等式求最值即可．
本题考查在实际问题中建立三角函数的模型，利用三角函数模型解决实际问题，三角函数模型是一个非常重要的模型，在实际生活中有着很广泛的运用．
18.设圆：，动圆：
，
Ⅰ求证：圆、圆相交于两个定点；
Ⅱ设点P是椭圆上的点，过点P作圆的一条切线，切点为，过点
P作圆的一条切线，切点为，问：是否存在点P，使无穷多个圆，满足？
如果存在，求出所有这样的点P；如果不存在，说明理由．
【答案】解：Ⅰ将方程化为
，
令得或，
所以圆过定点和，分
将代入，
左边右边，
故点在圆上，同理可得点也在圆上，
所以圆、圆相交于两个定点和；分
设，则，分
，分
即，
整理得分
存在无穷多个圆，满足的充要条件为有解，
解此方程组得或，分
故存在点P，使无穷多个圆，满足，点P的坐标为或分
【解析】Ⅰ化简动圆确定它过的定点，在圆上即可．
Ⅱ设存在，再设P的坐标，求出，令其相等，求得关系式，P适合椭圆方程，可求得P的坐标．
本题考查圆与圆的位置关系，考查存在性问题，分析问题和解决问题的能力，是难题．
19.从数列中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列
的一个子数列设数列是一个首项为、公差为的无穷等差数列．若，，成等比数列，求其公比q．
若，从数列中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为的无穷等比子数列，请说明理由．
若，从数列中取出第1项、第项设作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当t为何值时，该数列为的无穷等比子数列，请说明理由．
【答案】解：由题设，得，即，得，又，
于是，故其公比．
设等比数列为，其公比，，
由题设．
假设数列为的无穷等比子数列，
则对任意自然数，都存在，使，
即，
得，
当时，，与假设矛盾，
故该数列不为的无穷等比子数列．
设的无穷等比子数列为，其公比，得，
由题设，在等差数列中，，，
因为数列为的无穷等比子数列，
所以对任意自然数，都存在，使，
即，
得，
由于上式对任意大于等于3的正整数r都成立，且n，均为正整数，
可知必为正整数，
又，
故t是大于1的正整数．
再证明：若t是大于1的正整数，则数列存在无穷等比子数列．
即证明无穷等比数列中的每一项均为数列中的项．
在等比数列中，，
在等差数列中，，，
若为数列中的第k项，则由，得，
整理得，
由t，均为正整数，得k也为正整数，
故无穷等比数列中的每一项均为数列中的项，得证．
综上，当且仅当t是大于1的正整数时，数列存在无穷等比子数列．
【解析】由题设知，由此可求出其公比．设等比数列为，其公比，，由题设
再由反证法能够推出该数列不为的无穷等比子数列．设的无穷等比子数列为，其公比，得，由此入
手能够推导出t是大于1的正整数．
再证明：若t是大于1的正整数，则数列存在无穷等比子数列即证明无穷等比数列中的每一项均为数列中的项综上，当且仅当t是大于1的正整数时，数列
存在无穷等比子数列．
本题考查数列的综合运用，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．
20.对于正整数a，b，存在唯一一对整数q和r，使得，特别地，
当时，称b能整除a，记作，已知2，3，，．
Ⅰ存在，使得，试求q，r的值；
Ⅱ求证：不存在这样的函数f：2，，使得对任意的整数，，若
2，，则；
Ⅲ若，指集合B中的元素的个数，且存在a，，，，则称B为“和谐集”求最大的，使含m的集合A的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由．
【答案】解：Ⅰ因为，所以，分
Ⅱ证明：假设存在这样的函数f：2，，使得对任意的整数x，y，若2，，则．
设，2，，，2，，由已知，由于，，所以，．
不妨令，2，，这里，且，同理，，且，
因为2，只有三个元素，所以即，但是，与已知矛盾．
因此假设不成立，即不存在这样的函数f：2，，使得对任意的整数x，y，若2，，则分
Ⅲ当时，记2，，，2，3，记，则，显然对任意，不存在，使得成立故P是非“和谐集”，此时9，10，11，12，13，14，15，17，19，21，同样的，当，10，11，12时，存在含m的集合A的有12个元素的子集为非“和谐集”因此分
下面证明：含7的任意集合A的有12个元素的子集为“和谐集”．
设，若1，14，21中之一为集合B的元素，显然为“和谐集”．
现考虑1，14，21都不属于集合B，构造集合4，8，，6，，10，，，，15，17，19，．
以上，，，，每个集合中的元素都是倍数关系考虑的情况，也即
中5个元素全都是B的元素，B中剩下6个元素必须从，，，，这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合B中至少有两个元素存在倍数关系．
综上所述，含7的任意集合A的有12个元素的子集B为“和谐集”，即m的最大值为分
【解析】Ⅰ将2011除以91，便可求相应的商与余数；
Ⅱ假设存在这样的函数，若，2，，，2，，则，，令，2，，这里，且，同理有，，且，从而引出矛盾；
Ⅲ先证明，9，10，11，12时，不存在含m的集合A的有12个元素的子集为非“和谐集”再证明：含7的任意集合A的有12个元素的子集为“和谐集”．
本题是新定义题，解答的关键是读懂题意，巧妙运用，有一定的难度．
21.在平面直角坐标系xOy中，直线在矩阵对应的变换作用下
得到直线m：，求实数a，b的值．
【答案】解：在直线上取两点，
A，B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点，
因为，所以的坐标为；
，所以的坐标为；
由题意可知，在直线m：上，所以
解得：，．
【解析】在直线上取两点，，A，B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点，，分别求出点，的坐标，代入直线m，建立方程组，解之即可．
本题主要考查了几种特殊的矩阵变换，同时考查了计算能力，属于基础题．
22.已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线
：与曲线：交于A、B两点求证：．【答案】证：曲线的直角坐标方程，曲线的直角坐标方程是抛物线，分
设，，将这两个方程联立，消去x，
得，，分
分
，分
【解析】先将极坐标方程化为普通方程，再将这两个方程联立，消去x，得
，再由韦达定理研究．
本题主要考查极坐标方程与普通方程的互化和直线与圆锥曲线的位置关系的问题．
23.设x，y，，，且，求的值．【答案】解：由柯西不等式可得，，则
，又，
，代入，
解得，，，
．
【解析】利用柯西不等式可得，然后结合条件即可得到的值．
本题考查了柯西不等式的应用，属基础题．
24.如图，在长方体中，已知，
，，E，F分别是棱AB，BC上的点，
且．
求异面直线与所成角的余弦值；
试在面上确定一点G，使平面．
【答案】解：以D为原点，，，分别为
x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，
则有0，，4，，3，，4，，
于是1，，，
设设与所成角为，
则．
异面直线与所成角的余弦值为．
因为点G在平面上，故可设y，．
y，，，1，．
由得
解得
故当点G在平面上，
且到，距离均为时，平面
【解析】以D为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，把两条直线对应的点的坐标写出来，根据两个向量之间的夹角表示出异面直线的夹角．
因为点G在平面上，故可设y，根据线面垂直，则直线的方向向量与平面内任一线段对应的向量均垂直，可构造关于x，y的方程组，解方程组可得G点位置．
本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，异面直线的夹角，其中建立空间坐标系，将空间线面关系问题转化为向量夹角问题是解答的关键．
25.如图，过抛物线C：上一点作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物
线交于点，
求的值；
若，，求面积的最大值．
【答案】解：因为，在抛物线C：上，
所以，，
同理，依题有，
所以，所以分
由知，
设AB的方程为，即，P到AB的距离为，
，
所以
，分
令，由，，，可知．，因为为偶函数，只考虑的情况，
记，，故在是单调增函数，故的最大值为，
所以的最大值为分
【解析】确定，可得，，利用，即可求得的值；
由知，可得AB的方程，计算P到AB的距离，
可得的面积，再利用换元法，构造函数，即可求得的最大值．
本题考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查换元法，考查导数知识的运用，构建函数是关键．。