2024年秋新青岛版7年级上册数学 6.6 余角和补角 教学课件
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(1)图中互余的角有几对？各是哪些？
知1－练
(2)图中互补的角有几对？各是哪些？
解：由已知得∠1＋∠BOD＝180°，∠4＋∠AOE＝180°. 因为∠1＋∠2＝90°， ∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠3.所以∠3＋∠BOD＝180° .因为∠3＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，所以∠2＝∠4 . 所以∠2＋∠AOE＝180°.
知1－讲
3. 一个角的余角(或补角)可以有多个，但它们的度数是相等的，互余、互补是指具有一定数量关系的两个角.
知1－讲
特别提醒1. 互余、互补是指两个角之间的数量关系，它们是成对出现的.2. 互余、互补只与数量有关，与位置无关.互余和互补揭示的是两个角之间的数量关系：一个锐角α的余角为90°－α，补角为180°－α.3. 若两个角互余，则这两个角都是锐角，若两个角互补，则这两个角可能都是直角，也可能一个是锐角，另一个是钝角.
知2－练
解：OE平分∠BOC. 理由如下：因为∠DOE＝90°，∠AOB＝180°，所以∠DOC＋∠COE＝90°，∠AOD＋∠BOE＝90°.因为OD平分∠AOC，所以∠AOD＝∠DOC.所以∠COE＝∠BOE.所以OE平分∠BOC .
同角的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角相等
同角的补角相等
同角的补角相等
知2－练
3-1. 如图，直线AB与CD 相交于O，OD是∠BOE的平分线.
知2－练
(1)∠ AOC 与∠ DOE相等吗？请说明理由.
解：∠AOC与∠DOE相等．理由如下：因为∠DOB＋∠AOD＝∠AOC＋∠AOD＝180°，所以∠BOD＝∠AOC.因为OD是∠BOE的平分线，所以∠DOE＝∠BOD. 所以∠AOC＝∠DOE.
2
1. 余角的性质同角或等角的余角相等.(1)如果∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，那么∠2＝∠3；(2) 如果∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，且∠1＝ ∠3，那么∠2＝∠4.
∠2是∠1的余角
∠3是∠1的余角
∠2是∠1的余角
∠4是∠3的余角
知2－讲
2. 补角的性质同角或等角的补角相等.(1)如果∠1＋ ∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，那么∠2＝∠3；(2)如果∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°， 且∠1＝ ∠3，那么∠2＝∠4.
知1－练
又因为∠AOC＋∠BOC＝180°， ∠AOC＋∠DOE＝ 180°，∠DOE＋∠BOC＝180° ，所以图中互补的角有7对，分别是∠1和∠BOD，∠4和∠AOE，∠3和∠BOD，∠2和∠AOE，∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠DOE，∠DOE和∠BOC.
知1－练
D
知2－讲
知识点
余角、补角的性质
A
D
知1－练
如图6.6－3，点O为直线AB上一点， ∠AOC＝∠DOE＝90°.
例 2
解题秘方：由已知条件，结合余角、补角的定义解答.
知1－练
解：因为点O为直线AB上一点，所以∠BOC＋∠AOC＝180°，∠DOE＋∠1＋∠4＝180°.因为∠AOC＝∠DOE＝90°，所以∠1＋∠2＝90°， ∠2＋∠3＝90°， ∠BOC＝∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠4＝9 0°. 所以图中互余的角有4 对，分别是∠1和 ∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠1和∠4 .
知2－练
(2)直接写出∠ DOE的补角.
解：∠COE，∠AOD，∠BOC是∠DOE的补角．
知2－练
如图6.6-5， 已知O是直线AB上一点， OC是一条射线， OD平分∠AOC， ∠DOE＝90°， OE平分∠BOC 吗？为什么？
例 4
解题秘方：紧扣角平分线的定义，利用余角的性质说明两个角相等.
钝角没有余角.
知1－讲
2. 互为补角若两个角的和为180°，就说这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫作另一个角的补角。数学语言：若∠3＋∠4＝180°，就说∠3是∠4的补角，或∠4是∠3的补角，或∠3与∠4互为补角，如图6.6－2.延伸拓展：若两个角有一条公共边，另一条边互为反向延长线，就说这两个角互为邻补角。
解题秘方：先找出与∠ 1 和∠ 2 互补的角，然后利用互补的关系找出与∠2 相等的角.
例 3
知2－练
解： 因为∠1＋∠3＝180°，∠1＋∠2＝180°，所以∠3＝∠2.因为∠1＋∠4＝180°，∠1＋∠2＝180°，所以∠4＝∠2 .因为∠2＋∠5＝180°，∠6＋∠5＝180°，所以∠2＝∠6 .所以图中与∠2相等的角有∠3，∠4，∠6 .
∠2是∠1的补角
∠3是∠1的补角
∠2是∠1的补角
∠4是∠3的补角
知2－讲
特别提醒1. 如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角.2. “ 同角”指同一个角，“等角”指度数相等的角，同角一定是等角，但等角不一定是同角.3. 余角、补角的性质是说明两个角相等的重要依据.
知2－练
如图6.6－4， 直线AB 与∠ COD的两边OC， OD 分别相交于点E， F，∠ 1＋ ∠ 2＝180°. 找出图中与∠ 2 相等的角， 并说明理由.
知1－练
例 1
已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数.
解题秘方：紧扣余角和补角的定义，结合它们之间的数量关系列方程解答.
知1－练
解：设这个角的度数是x，则这个角的补角为(180°－x)，余角为(90°－x).根据题意得(180°－x)－ 3(90°－x)＝10°，解这个方程得x＝50°.所以这个角的度数为50°.
知1－练
1-1. 若∠A＝40°，则∠ A的余角的大小是( )A. 50° B. 60°C. 140° D. 160°1-2. 若∠ α 与∠ β 互为补角，∠ β 是∠ α 的2 倍，则∠ α 的度数为( )A. 20° B. 30° C. 40° D. 60°
6.6 余角和补角
第6章 基本的几何图形
逐点导讲练
课堂总结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
互为余角与互为补角的概念余角、补角的性质
知识点
互为余角与互为补角的概念
知1－讲
1
1. 互为余角若两个角的和为90°，就说这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫作另一个角的余角.数学语言：若∠1＋∠2＝90°，就说∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角，或∠1与∠2互为余角，如图6.6－1.
知1－练
(2)图中互补的角有几对？各是哪些？
解：由已知得∠1＋∠BOD＝180°，∠4＋∠AOE＝180°. 因为∠1＋∠2＝90°， ∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠3.所以∠3＋∠BOD＝180° .因为∠3＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，所以∠2＝∠4 . 所以∠2＋∠AOE＝180°.
知1－讲
3. 一个角的余角(或补角)可以有多个，但它们的度数是相等的，互余、互补是指具有一定数量关系的两个角.
知1－讲
特别提醒1. 互余、互补是指两个角之间的数量关系，它们是成对出现的.2. 互余、互补只与数量有关，与位置无关.互余和互补揭示的是两个角之间的数量关系：一个锐角α的余角为90°－α，补角为180°－α.3. 若两个角互余，则这两个角都是锐角，若两个角互补，则这两个角可能都是直角，也可能一个是锐角，另一个是钝角.
知2－练
解：OE平分∠BOC. 理由如下：因为∠DOE＝90°，∠AOB＝180°，所以∠DOC＋∠COE＝90°，∠AOD＋∠BOE＝90°.因为OD平分∠AOC，所以∠AOD＝∠DOC.所以∠COE＝∠BOE.所以OE平分∠BOC .
同角的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角相等
同角的补角相等
同角的补角相等
知2－练
3-1. 如图，直线AB与CD 相交于O，OD是∠BOE的平分线.
知2－练
(1)∠ AOC 与∠ DOE相等吗？请说明理由.
解：∠AOC与∠DOE相等．理由如下：因为∠DOB＋∠AOD＝∠AOC＋∠AOD＝180°，所以∠BOD＝∠AOC.因为OD是∠BOE的平分线，所以∠DOE＝∠BOD. 所以∠AOC＝∠DOE.
2
1. 余角的性质同角或等角的余角相等.(1)如果∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，那么∠2＝∠3；(2) 如果∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，且∠1＝ ∠3，那么∠2＝∠4.
∠2是∠1的余角
∠3是∠1的余角
∠2是∠1的余角
∠4是∠3的余角
知2－讲
2. 补角的性质同角或等角的补角相等.(1)如果∠1＋ ∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，那么∠2＝∠3；(2)如果∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°， 且∠1＝ ∠3，那么∠2＝∠4.
知1－练
又因为∠AOC＋∠BOC＝180°， ∠AOC＋∠DOE＝ 180°，∠DOE＋∠BOC＝180° ，所以图中互补的角有7对，分别是∠1和∠BOD，∠4和∠AOE，∠3和∠BOD，∠2和∠AOE，∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠DOE，∠DOE和∠BOC.
知1－练
D
知2－讲
知识点
余角、补角的性质
A
D
知1－练
如图6.6－3，点O为直线AB上一点， ∠AOC＝∠DOE＝90°.
例 2
解题秘方：由已知条件，结合余角、补角的定义解答.
知1－练
解：因为点O为直线AB上一点，所以∠BOC＋∠AOC＝180°，∠DOE＋∠1＋∠4＝180°.因为∠AOC＝∠DOE＝90°，所以∠1＋∠2＝90°， ∠2＋∠3＝90°， ∠BOC＝∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠4＝9 0°. 所以图中互余的角有4 对，分别是∠1和 ∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠1和∠4 .
知2－练
(2)直接写出∠ DOE的补角.
解：∠COE，∠AOD，∠BOC是∠DOE的补角．
知2－练
如图6.6-5， 已知O是直线AB上一点， OC是一条射线， OD平分∠AOC， ∠DOE＝90°， OE平分∠BOC 吗？为什么？
例 4
解题秘方：紧扣角平分线的定义，利用余角的性质说明两个角相等.
钝角没有余角.
知1－讲
2. 互为补角若两个角的和为180°，就说这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫作另一个角的补角。数学语言：若∠3＋∠4＝180°，就说∠3是∠4的补角，或∠4是∠3的补角，或∠3与∠4互为补角，如图6.6－2.延伸拓展：若两个角有一条公共边，另一条边互为反向延长线，就说这两个角互为邻补角。
解题秘方：先找出与∠ 1 和∠ 2 互补的角，然后利用互补的关系找出与∠2 相等的角.
例 3
知2－练
解： 因为∠1＋∠3＝180°，∠1＋∠2＝180°，所以∠3＝∠2.因为∠1＋∠4＝180°，∠1＋∠2＝180°，所以∠4＝∠2 .因为∠2＋∠5＝180°，∠6＋∠5＝180°，所以∠2＝∠6 .所以图中与∠2相等的角有∠3，∠4，∠6 .
∠2是∠1的补角
∠3是∠1的补角
∠2是∠1的补角
∠4是∠3的补角
知2－讲
特别提醒1. 如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角.2. “ 同角”指同一个角，“等角”指度数相等的角，同角一定是等角，但等角不一定是同角.3. 余角、补角的性质是说明两个角相等的重要依据.
知2－练
如图6.6－4， 直线AB 与∠ COD的两边OC， OD 分别相交于点E， F，∠ 1＋ ∠ 2＝180°. 找出图中与∠ 2 相等的角， 并说明理由.
知1－练
例 1
已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数.
解题秘方：紧扣余角和补角的定义，结合它们之间的数量关系列方程解答.
知1－练
解：设这个角的度数是x，则这个角的补角为(180°－x)，余角为(90°－x).根据题意得(180°－x)－ 3(90°－x)＝10°，解这个方程得x＝50°.所以这个角的度数为50°.
知1－练
1-1. 若∠A＝40°，则∠ A的余角的大小是( )A. 50° B. 60°C. 140° D. 160°1-2. 若∠ α 与∠ β 互为补角，∠ β 是∠ α 的2 倍，则∠ α 的度数为( )A. 20° B. 30° C. 40° D. 60°
6.6 余角和补角
第6章 基本的几何图形
逐点导讲练
课堂总结
作业提升
课时讲解
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课时流程
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互为余角与互为补角的概念余角、补角的性质
知识点
互为余角与互为补角的概念
知1－讲
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1. 互为余角若两个角的和为90°，就说这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫作另一个角的余角.数学语言：若∠1＋∠2＝90°，就说∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角，或∠1与∠2互为余角，如图6.6－1.